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摘 要

进入21世纪以来，当科学技术日益发展以及计算机应用的普及，关于非线性方程组数值解法的研究也有很大的突破，其中经典的牛顿法也不断地被改进。

本文主要研究非线性方程组的数值解法问题，对Newton法进行改进，并且希望得到更高阶的收敛性。首先介绍了导数与中值定理的知识，这对之后为求解方程得到更高收敛性，用微分中值定理来近似三阶张量有很大的帮助。然后，主要阐述了一些求解非线性方程组的迭代法以及对其收敛性进行简要的概述。。本文主要基于chebyshev方法，利用雅可比矩阵的差分逼近二次项，避免了三阶张量的计算和存储。同时证明了算法具有三阶收敛性。最后我找了一些方程组和函数进行测试，数值实验结果表明该算法是可行有效的。

关键词:非线性方程组；三阶收敛性；两步迭代法

ABSTRACT

Since the beginning of the 21st century, when the development of science and technology and the popularization of computer applications, there has also been a great breakthrough in the research of numerical solutions of nonlinear equations. The classic Newton method has also been continuously improved.

This paper mainly studies the numerical solution of nonlinear equations ， makes some amendments to the Newton method, and hopes to obtain higher order convergence. The article first introduces the knowledge of derivatives and median theorem, which is of great help to the use of differential median theorem to approximate third-order tensors in order to obtain higher convergence for solving equations. Then, it mainly elaborates some iterative methods for solving nonlinear equations and briefly summarizes their convergence. This paper is mainly based on the chebyshev method, using the difference of the Jacobian matrix to approximate the quadratic term, avoiding the calculation and storage of the third-order tensor. At the same time, the third-order convergence algorithm is proposed while maintaining the local quadratic convergence under this method, and its convergence is proved. Ultimate，I found some equations and functions to test，the numerical experiment results show that the algorithm is feasible and effective.

Key words：Nonlinear equations; Cubic convergent; Two-step iterative method

目录

第一章 前言 4

1.1 研究背景及意义 4

1.2 国内外研究现状 4

1.3 本文将做的工作 5

第二章 预备知识 5

2.1 导数与中值定理 5

2.2 解非线性方程组的迭代法 8

第三章 解非线性方程组的三阶收敛性算法 10

第四章 收敛性分析 13

第五章 数值实验 18

参考文献 21

致谢 23

第一章 前言

1.1 研究背景及意义

因为社会发展的需要，非线性方程组问题得到了越来越多的关注。在生产实践，科学技术和生活学习等各个方面，非线性关系是普遍存在的关系，也是最优化研究领域重要的课题。为了使非线性关系更好地服务于社会，适用于科学研究，非线性方程组的解法一直以来都在被科学家不断的寻找，尝试和创新。不管是在生产实践，金融体系，还是在航天航空，电子信息工程中，很多数据的关系就是运用数学工具来研究的，找到其中的非线性关系从而把实际问题转化为非线性方程组的求解的数学问题。对于研究非线性方程组的数值解法，我们总是希望得到计算简单且收敛性强的算法，能够得到更加有效和稳定的数值解。

1.2 国内外研究现状

17世纪，Newton提出的Newton迭代法^[1]和Hally提出的Hally迭代法^[2]是现在解非线性方程组最基础最通用的方法，其中Newton法的优点在于它的收敛的速度是非常快的，而缺点在于它进行的每一次迭代都要计算Jacobian矩阵，从而导致计算量变得特别大，所以后来人们对它进行了修正，得到了一些修正的Newton法。为了节约Jacobian矩阵的计算，Fan^[3]在提出了改进的LM算法（MLM），该算法在局部误差阶条件下具有三阶收敛性。18世纪，非线性方程组的迭代族求解概念首先被Eular和Lagrange提出，19世纪，Cauchy提出地一种优先级技巧能够很好地帮助求解近似序列的收敛性。之后，Ostrawki^[4]对Newton迭代法进行了完善。同时，非线性方程组的求解也可以看成是非线性最小二乘问题^[5]，就可以用Gauss-Newton法和Levenberg^[6]-Marquardt^[7]法来解决。随着现代科技的发展，这些经典的方法也都暴露出自己的不足，当Jacobian矩阵奇异或者接近奇异的时候，迭代法不收敛，当函数复杂或者维数较高时，Jacobian矩阵计算量较大，收敛速度太慢等^[8]。因此，很多学者依然在 寻找更加实用和广泛的算法。我们可以通过在M.Waseem^[9]发表的文章里找到一些迭代求解的方法，W.Werner^[10]探索基于二次逼近的非线性方程组的迭代解，这些研究使得非线性方程组的数值解法得到很大的拓展，但在该邻域的探索仍然在快速发展，各种数值解法也在不断地完善。

1.3 本文将做的工作

本文主要研究非线性方程组的求解问题，对牛顿法进行改进，并且希望得到更高阶的收敛性。本文试图将目标方程组进行更高一阶的泰勒展开，对于出现的三阶张量，计算量大且形式复杂，拟利用微分中值定理来近似三阶张量。设计三阶收敛性算法来求解非线性方程组，并证明其具有三阶收敛。

预备知识

2.1 导数与中值定理

定义2.1 假定，如果对任何固定的，都有

（2.1）

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