论文总字数：13427字

摘 要

行列式和矩阵在线性代数中有着举足轻重的地位，在量子力学的应用学习中也有着相当重要的作用。本文主要总结研究行列式和矩阵在量子力学中的应用，从而得以窥见物理与数学之间美妙的联系和转换关系。这对于我们对数学知识的运用以及更好的理解量子力学系统都有着巨大的帮助。本文内容主要包括量子力学中的表象变换理论、严格对角化方法、厄米矩阵等量子力学系统中线性代数的运用。

关键词：线性代数、量子力学、表象理论、厄米矩阵、矩阵、行列式

The application of linear algebra in quantum mechanics

Abstract

Determinants and matrix are very important parts of linear algebra, and they are also very important tools in the application of quantum mechanics. This paper mainly summarizes the application of determinant and matrix in linear algebra, so as to see the wonderful connection and transformation between physics and mathematics. This not only promotes our application of mathematical knowledge, but also enables us to better understand the quantum mechanical system.This paper mainly includes the application of linear algebra in quantum mechanical systems, such as representation transformation theory, strictly diagonalization method and Hermite matrix.

Key Words：Linear algebra; quantum mechanics theory of representation; Hermite matrix; Determinant

目录

摘要 I

Abstract II

目录 III

第一章 绪论 1

1.1 研究意义 1

1.1.1 现实意义 1

1.2 研究背景 2

1.3 量子力学发展简史及简介 2

第二章 文献综述 4

2.1 国内文献 4

2.2 国外文献 4

第三章 量子力学中的线性代数 5

3.1 矩阵、行列式在量子力学中的应用 5

3.1.1 理论基础 5

3.1.2 定义 5

3.1.3性质 5

3.1.4 n阶方阵特征值和特征向量的求法 6

3.1.5 求解矩阵特征值与特征向量在量子力学中的应用实例 6

3.2 表象变换理论中的线性代数 8

3.2.1 前言 8

3.2.2 直角坐标系和球坐标系中的基矢变换 8

3.2.3 表象变换理论 9

3.2.4 严格对角化方法 9

3.3 线性代数在Pauli自旋矩阵中的简单应用 10

3.3.1 背景知识 10

3.3.2 Pauli矩阵 11

第四章 小结 13

参考文献 14

致谢 17

第一章 绪论

1.1 研究意义

1.1.1 现实意义

在这篇论文中，我重点是对量子力学中部分用到的线性代数的方法进行整理，将物理书中省略的部分详细展开。虽然我的这些工作并不会对量子力学这门学科带来什么实质性进展，但是作为一名数学专业的学生，以及对于严谨、实事求是的科学态度，是很必要的。同时，我也相信物理语言与数学语言之间会有着难以割裂的关系和转换技巧。无论是物理中运用的数学方法，还是数学技巧对应的自然原理，无不证明着科学的严谨与统一。在物理学中，有一条著名的原理叫做“对应原理”（Corresponding principle）^[1]，正是对这种和谐美的有力佐证。当我们把微观的事物延伸至宏观，所预测的经验规律和宏观的客观规律是一一对应的。同样的，数学源于自然，源于世间万物，在牛顿时代，我们已经可以使用简洁的数学语言将宏观世界的本质表现出来，在微观世界中，每一个自然现象的本质也应与相应的数学语言对应。当然我们并不是单纯为了“美”而这样做，这样的对应关系不仅反映了“美”，更反映了“对错”，这是我们科学进展中自我纠正的“镜子”，倘若这样的对应关系出现了混乱，那么就说明我们有一方出现了错误。

1.1.2 哲学意义

科学的发展是一个不断自我更新，不断自我完善的过程，正如没有绝对的对与错，我们现在“正确”的认知也许在不久的将来就会被颠覆，就像经典的物理理论与现代的物理理论，随着我们认知的深入，科学也在不同的立场中变化，科学家们通过对现象的原因做出解释，又利用解释预测新的现象^[17]。在对现象做出解释时，难免会出现一些匪夷所思的解释，这些解释似乎根本没有现实的逻辑立足点，比如薛定谔方程，但是这些解释却完美的预测了新的现象，为人们探索新的世界打下了理论基础^[17]。但是无论如何发展，这些都不能离开数学基础，一些不同的解释之间却有着相同的数学内涵。正如波动力学与矩阵力学在物理意义本质之间的同等映照（这由Schrodinger在20世纪初证明）。探讨物理方法背后的数学逻辑，实际上是对物理方法的求证，因为数学同大多数学科不同，数学是诞生最早的学科，经过无数次验证，无数次试炼，而且是现在支撑我们现在人类科技社会最底层的东西，如果否认了数学就是在否认我们生活的这个世界^[17]。

1.2 研究背景

量子理论是描述微观粒子的形态及其相互作用的理论，相对论与量子力学并称为现代物理学建筑的两大基石，目前众多物理学理论和科学学科都是以量子力学为基础所进行的，比如Atomic physics、Solid state physics、Nuclear physics和Particle physics以及其它相关的学科。

十九世纪末的时候，在经典物理的框架下，一些物理现象已经无法得到合理的解释。于是物理学家们便寻求新的出路，终于在二十世纪初期创立量子力学的雏形，人们对于物理学中怪异的现象终于有了一个合理的解释。Quantum Theory从根本上颠覆了人们对于物质结构及其相互作用的认知。目前几乎所有基本相互作用均可以用量子力学的语言描述（就是后来发展起来的量子场论，另外相对论是个意外）。

量子力学不是一门毫无逻辑无法理解的科学，但它很有可能会成为这样子，成为一个令人头疼的数学难题。有位著名的科学家就曾说过“如果你懂了量子力学，那就证明你没懂”，从这句话我们就不难看出这门学科的怪异。在科普报道中它被描述为描述为“奇怪的”、“怪异的”、“令人难以置信的”、“高深莫测的”或以上所有特点。

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