论文总字数：14453字

摘 要

鞍点问题是一种具有特殊结构的矩阵作为系数矩阵的线性方程组的问题。在现代科学计算和工程应用中，我们经常需要解决鞍点问题。在控制论、运筹学、经济学、科学与工程计算、电子工程等领域中，通常需要求解具有大规模稀疏性质的鞍点问题。由此可以看得出，鞍点问题在实际生活的应用解决上具有很大的应用价值与理论意义。近年来，很多科学家与学者都在为优化其解决方法努力着，鞍点问题的求解方法也越来越快捷。

首先介绍了目前的通常用到的研究方法：类迭代、类迭代、 类迭代法、算法。然后从直接法和迭代法两个大类介绍其解决问题的原理，并进行收敛性分析与验证，最后通过实际例子对两个方法进行验证这些方法的收敛性。

本文的结构：

第一部分引入鞍点问题，介绍了鞍点问题在各个领域的应用；

第二章对鞍点问题的一些数值解法（类迭代、类迭代、 类迭代法、算法）进行了详细介绍；

第三章是对求解鞍点问题的直接法与迭代法的基础原理进行分析与一些引理的证明；

第四章是应用于实际，利用例子对数值解法进行收敛性分析（利用matlab）；

第五章是进行结论总结并提出了一些建议。

关键词：鞍点问题，直接法，迭代法，收敛性

Research on Numerical Method of Saddle Point Problem

Abstract

Saddle point problem is a problem of linear equations with special structure matrix as coefficient matrix.In modern scientific calculation and engineering applications, we often need to solve the saddle point problem. In cybernetics, operations research, economics, science and engineering, electronic engineering, it is usually necessary to solve saddle point problems with large-scale sparse properties.It can be seen from this that saddle point problem has great value and significance in practical life application solution. In recent years, the solution of saddle point problem is also getting faster and faster. Many scientists and scholars are trying to optimize their solutions.

The iteration , iteration , iteration and algorithm are introduced from the current research methods.Then the principle of solving the problem is introduced from two broad categories: direct method and iterative method.

Content of this article:

The first chapter introduces the saddle point problem and introduces its application in various fields.

The second chapter introduces some numerical solutions of saddle point problem in detail(The iteration , iteration , iteration and algorithm);

The third chapter is to analyze the basic principle of direct method and iterative method and some lemma proof;

The four chapter is applied to practice, using examples to analyze the convergence of numerical solutions (using matlab);

The fifth chapter summarizes the conclusions and makes some suggestions.

Keywords: Saddle point problem, direct method, iterative method，astringency

目录

摘 要 1

Abstract 2

目录 3

第一章 绪论 4

1.1 鞍点问题的背景介绍 4

1.2 相关数学符号介绍 6

1.3 本文的研究内容 7

第二章 鞍点问题的解法介绍 8

2.1 鞍点问题的数值解法及研究现状 8

类迭代 9

类迭代法 10

类迭代法 11

算法 11

第三章 鞍点问题数值解法分析 12

3.1 直接法 12

3.2 迭代法 15

第四章 数值实验 19

4.1 直接法实验 19

4.2 迭代法实验 20

第五章 结论与建议 22

致谢 24

第一章 绪论

在现代科学中，我们会经常碰到需要解决鞍点问题的实际情况。在控制论、运筹学、经济学、科学与工程计算、电子工程等领域中，一类具有大规模稀疏性质的鞍点问题通常需要被解决。例如，在科学工程的应用：、图像的配准、流体力学的计算、电磁场的计算、数值天气的预报、图像的识别等；在经济类中的应用有：最小二乘以及如何实现最优的控制等。因为这些问题是在经过一些计算方法解决后，离散系数矩阵经常会是稀疏的，这说明离散系数矩阵的计算量很大，由此可见，研究鞍点问题数值的更加快速的解法是很重要的，并且具有非常重要的现实意义。

鞍点问题的背景介绍

在线性系统中，鞍点问题是一种非常重要的问题。本文以三个领域为例进行简单介绍：最小二乘、流体力学问题、椭圆偏微分问题。

1. 最小二乘问题^[1-2]

（1.1.1）

其中。

该式子对应的拉格朗日向量函数是：

式子中的是向量参数。

最优化条件考虑后可得

令即可得下述线性系统：

（1.1.2）

1. 流体力学问题^[3-5]

非压缩流动级数流体力学中方程式的求解^[6]

（1.2.1）

其中是分段光滑边界，为有界连通的区域，为动态黏性系数。为压力场函数，并且满足条件：是中的算子，为边界算子。为未知速度场函数。代表梯度，代表散度。

是压强函数，是边界函数。

然后通过迭代对方程（1.2.1）进行处理，再利用有限元算法^[7]对方程（1.2.1）进行离散，可得：

（1.2.2）

1. 椭圆偏微分方程问题^[8-10]

为求解下列方程，需要用到混合有限元方法

（1.3.1）

求解可得

（1.3.2）

可以把它写成矩阵形式：

（1.3.3）

通过对方程（1.1.2）（1.2.2）（1.3.3）进行适当分块，把它变成的分块矩阵的线性稀疏系统：

（1.4）

此处并且。

当满足下面任意条件时，则方程（1.4）转化的式子成为鞍点问题。

1. ，即A为对称矩阵；
2. 的对称部分正定，即正定；
3. ；
4. 是对称正定矩阵；
5. 是零矩阵。

如果同时满足以上五个条件，则式子（1.4）为经典鞍点问题^[11]：

（1.5）

当时，即矩阵B为列满秩矩阵时，式子（1.5）则为非奇异鞍点问题，如果不满足，则为奇异鞍点问题。鞍点问题的一般形式为：

相关数学符号介绍

实数域

n维实空间

维实空间

复数域

n维复空间

维复空间

单位矩阵

维单位矩阵

元素属于集合

矩阵B的逆矩阵

矩阵B的共轭转置

矩阵B的转置

矩阵B的秩

矩阵B的谱半径

矩阵B的行列式

矩阵B的任意算子范数

约束条件

拉普拉斯算子

梯度算子

求最大值/最小值

以为主对角元素的对角矩阵

主对角元素为d，c与f分别为对角线两侧的元素的三对角矩阵

本文的研究内容

本文对鞍点问题的数值解决方法进行详细的分类介绍。首先从目前的通常用到的研究方法介绍了类迭代、类迭代、 类迭代法、算法。然后从直接法和迭代法两个大类介绍其解决问题的原理，并进行收敛性分析与验证，最后通过实际例子对两大类的方法进行验证这些方法的可行性。

接下来几个部分的安排：第二章介绍鞍点问题的解法；第三章是对鞍点问题数值迭代方法的直接法与迭代法进行详细的步骤分析；第四章是引入一些实际例子进行数值实验，对直接法与迭代法进行收敛性的验证（利用matlab）；第五章是进行结论总结并且提出一些建议。

第二章 鞍点问题的解法介绍

2.1 鞍点问题的数值解法及研究现状

因为鞍点问题涉及很多领域，并且对于这些领域的实际问题解决有着很大的影响，所以为了鞍点问题能够得到更加快速及有效的解决，涉及很多领域的科学家及学者都在努力研究并期望能够得到更好的解决方案。

鞍点问题的求解一般分为直接法和迭代法。其中直接法是将系数矩阵直接化为上三角形矩阵、下三角形、对角矩阵，这样就比原来的矩阵更加容易被解决，可是这种方法只对低阶矩阵的解决快速有效。对于高阶大规模的矩阵来说，计算起来就会特别冗杂，并且不太可能。因此求解鞍点问题的迭代法就应运而生。

迭代法包括定常与非定常迭代。定常迭代包括：方法、方法、方法、方法、方法等。它们是基于鞍点问题的系数矩阵的分裂技术，这种迭代法受系数矩阵的选取的影响很大，并且当且仅当其谱半径小于1时才收敛。定常迭代的形式相对简单，应用也相对广泛。非定常迭代（方法、方法、子空间方法、方法）是投影思想，系数矩阵的谱分布影响收敛速度，当分布更集中时，收敛加快。

迭代法可以用下面式子表示：

其中是迭代算子，是带入的初始值。这种方法叫步迭代法，当时，叫做单步迭代法。

将系数矩阵分裂为：

请支付后下载全文，论文总字数：14453字