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摘 要

本文研究Saint-Venant方程组的精确边界能控性。首先介绍对河渠中水资源的利用在生产生活中的重要性。接着以流体在河渠中的运动建立数学模型引入Saint-Venant方程组。说明Saint-Venant方程组的研究现状与应用方向，然后利用质量守恒律和能量守恒律推导出Saint-Venant方程组推导，进而对Saint-Venant方程组的精确边界能控性进行定义。在亚临界平衡态下，在半整体解的存在唯一性的基础上，采用直接构造的方法，先后在双侧控制和单侧控制的情形下，逐次求解对应的混合初边值问题。最后对Saint-Venant方程组的应用前景进行展望。

关键词：Saint-Venant方程组 一阶拟线性双曲型方程组 混合初边值问题 半整体解 边界控制 精确边界能控性

Exact Boundary Controllability of Saint-Venant System

Abstract

In this paper, the exact boundary controllability of Saint-Venant system is studied. Firstly,the importance of water resources utilization and life is introduced, and based on the movement of fluid in the river,Saint-Venant system are introduced by establishing mathematical model . Then, the research status and application direction of Saint-Venant system are explained. Then, the mass conservation law and energy conservation law are used to deduce Saint-Venant system, and then the exact boundary controllability of Saint-Venant system is defined. next, in the subcritical equilibrium state, based on the existence and uniqueness of the semi-global solutions corresponding mixed initial boundary value problems are solved step by step , to solve the problems by using the method of direct construction in the case of two-sided controls and one-sided control. Finally, the application of Saint -Venant system is prospected.

Key Words: Saint-Venant system; first order quasilinear hyperbolic equations; mixed initial boundary value problem; semi-global solution;boundary control;exact boundary controllability

目 录

摘要…………………………………………………………………………………ⅠAbstract……………………………………………………………………………Ⅱ

目录…………………………………………………………………………………Ⅲ

第一章 引言

1.1 研究背景…………………………………………………………………………1

1.2 Saint-Venant方程组的定义……………………………………………………1

1.3 Saint-Venant方程组的国内外研究现状……………………………………… 2

1.4 总结………………………………………………………………………………3

第二章 Saint-Venant方程组的推导

2.1 连续性微分方程的推导…………………………………………………………5

2.2 运动(能量)微分方程的推导……………………………………………………6

2.3 总结………………………………………………………………………………6

第三章 Saint-Venant方程组的精确边界能控性

3.1 Saint-Venant方程组的解的存在唯一性………………………………………8

3.2 解的构造…………………………………………………………………………9

3.2.1 双侧控制……………………………………………………………………9

3.2.2 单侧控制…………………………………………………………………13

3.3 总结……………………………………………………………………………16

第四章 总结与展望

5.1 总结……………………………………………………………………………17

5.2 展望……………………………………………………………………………18

参考文献………………………………………………………………………… 19

致谢…………………………………………………………………………………21

第一章 引言

1.1研究背景

近年来，伴随持续上升的人口数目以及快速进步的经济，在工业以及生活方面的耗水量也持续提升，工业废水以及生活污水的排放量与日俱增，已经严重影响了城市输送系统和排水系统的稳定性。原有的水利系统已经无法满足人们的需求，所以为了经济的发展，人们生活的稳定，需要对城市及其周围的河道网络进行合理地调节和设置。

为了使河渠能够更好地进行的灌溉、排涝、防洪，保障人们生活安全有效地运行,河渠中的水流流量应该尽量趋于稳定。但是由于降雨，生产生活用水等因素的影响，河渠中的水流量并不稳定，由此我们需要依据河渠水流的动力学特性，对水资源利用和处理进行合理的规划，使河渠能够持续稳定的发挥功效，保证居民生活用水和工业用水的供给与排放，实现城市水利资源的可持续发展。

1.2 Saint-Venant方程组的定义

本文从流体动力学的角度，建立了流体在河渠网络中运动的数学模型。流体在无摩擦水平柱状河渠的运动可以用Saint-Venant方程组来描述

（1.1）

其中A=A（t，x）表示t时刻x处的流体的横截面积；V=V（t，x）表示t时刻x处的平均水流速度，且

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