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摘 要

在本文中，我们考虑带有不耐烦司机的出租车-乘客双端队列模型。在这个模型里，出租车司机与乘客各排一队，两队的队首一一匹配。我们假定匹配过程不是瞬时的，匹配时间服从指数分布。为了贴合实际，我们假设出租车司机带有所谓的特质“不耐烦”，这意味着每个在队列中的出租车司机都可能退出队列。我们将由连续时间马尔可夫链引入拟生灭过程的概念，并用拟生灭过程来描述这个模型。我们用矩阵几何解法来分析模型，我们得到了系统稳定的充要条件，解出了系统的平稳分布。之后我们得到了乘客队列的平均队长表达式，并由LITTLE公式得到了乘客队列的平均等待时间表达式。

关键词：双端队列； 不耐烦； 拟生灭过程； 矩阵几何解；

On a taxi-passenger double-ended queue model with impatient drivers

Abstract

In this paper, we consider a taxi-passenger double-ended queue model with impatient drivers. In this model, the taxi driver and the passenger line up separately one by one, and the head of two lines match. We assume that the matching process is not instantaneous, and the matching time follows the exponential distribution. In order to fit the reality, we assume that taxi drivers have the so-called trait "impatience", which means that every taxi driver in the queue may quit the queue. We will introduce the concept of quasi birth and death process from continuous time Markov chain, and describe the system with quasi birth and death process. We use the matrix geometry method to analyze the model. We get the necessary and sufficient conditions for the stability of the system and the stable distribution of the system state. Then we get the average queue length of the passenger queue, and get the average waiting time of the passenger queue by LITTLE’S LAW.

Key Words:a double-ended queue system; impatience; Matrix geometry solution; Quasi birth and death process

目 录

摘要…………………………………………………………………………………I

ABSTRACT………………………………………………………………………II

第一章 绪论………………………………………………………………………1

1.1 研究背景……………………………………………………………………1

1.2 研究意义……………………………………………………………………1

1.3 研究现状……………………………………………………………………2

1.4 研究内容……………………………………………………………………3

第二章 基础理论…………………………………………………………………5

2.1 连续时间马尔可夫链………………………………………………………5

2.2 Yule过程与Q矩阵 ………………………………………………………5

2.3 生灭过程与拟生灭过程……………………………………………………6

2.4 拟生灭过程的求解…………………………………………………………9

第三章 模型阐述 ………………………………………………………………11

3.1 模型简介 …………………………………………………………………11

3.2 模型阐述 …………………………………………………………………12

第四章 稳态分析 ………………………………………………………………15

第五章 总结与展望 ……………………………………………………………20

5.1 总结 ………………………………………………………………………20

5.2 展望 ………………………………………………………………………20

参考文献 …………………………………………………………………………21

致 谢………………………………………………………………………………23

1. 绪论

1.1研究背景

现实中不乏可以用排队模型描述的实例。以银行为例，当等待的客户较多而柜员较少时，柜台处就很有可能出现排队的现象。我们可以断言，在任何一个服务资源相对有限且服务要求伴有某种概率特征的随机系统中，一般就会出现排队现象。譬如在计算机通信系统中，当需要处理的数据用分组的方式传输，且数据量比较大超过CPU的瞬时处理能力时，就会出现数据等待的过程，这也是一种排队现象。一般地，我们将由按给定方式相联的服务员组成、服务于给定需求的顾客，并按给定规则确定队列次序与服务顺序的服务系统定义为排队系统。

排队论就是对排队问题进行研究的一种理论。排队论的应用非常广泛。它可以适用于一切随机服务系统。双端队列是排队论中的一个分支。一般的，在一个排队系统中，如果服务员也呈现如顾客一样的需要等待的随机特征，我们称这个排队系统为双端队列。

1.2研究意义

二十世纪中期以来，世界人口呈现爆炸式增长，各种资源的需求与日俱增。服务性资源不足会致使人们因拥挤导致的等待排队现象也越来越多。在这种背景下，对排队系统或随机服务系统进行研究具有非常重要的实际意义——这将有利于社会资源分配的优化。譬如超市排队问题中，雇佣的收银员数目多少时才能取得顾客满意度与收银员薪水开支的最佳平衡，这对于超市的管理层来说是值得思考的一个问题。在计算机通信中，用何种数据处理方式对于CPU性能的提升至关重要。一般地，我们从顾客与服务台两个角度评价排队系统——对于顾客来说，越短的滞留时间意味着越快接受服务，因此越多的服务台越快的服务效率对顾客是有利的；而服务机构需要兼顾速度与成本，越多的服务台意味着越多的投资，越少的服务台意味着越低的顾客满意度。

双端排队系统是排队系统的一个划分，本文将聚焦于双端队列的研究。双端队列的性质略有不同，其中，对于顾客与服务员具有的各种特征的研究尤为重要，本文将着眼于对于不耐烦特性的研究。

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