全文总字数：1994字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

在社会各种生产活动，尤其是工业生产之中，为保证生产过程能够正常稳定的运行，需要建立一个稳定的控制系统，即系统在受到外界扰动后，仍能返回平衡状态或限制在一个有限领域内的动态属性。从数学的角度看，就是描述控制系统的数学方程是稳定的，即被调量与规定量的差值 随时间收敛。而李雅普诺夫方法就是研究控制系统稳定性的的重要方法，因此本文将研究李雅普诺夫方法在线性和非线性系统中的具体应用，并对其进行简单的补充和推广。

国内外研究现状

1892年, Lyapunov 在其博士学位论文中, 第一次给出了运动稳定性的精确的数学定义, 建立了运动稳定性的一般理论.从19世纪末以来, Lyapunov 稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用. 不少学者遵循 Lyapunov 所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展. 一方面, Lyapunov 第二方法被推广到研究一般系统的稳定性. 例如, 1957年,B.И.Zubov 将 Lyapunov 方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性. 随后,J.P.Lasalle 等又对各种形式抽象系统的 Lyapunov 稳定性进行了研究. 在这些研究中, 系统的描述不限于微分方程或差分方程, 运动平衡状态已采用不变集合表示,Lyapunov 函数是在更一般意义下定义的. 1967年, D.Bushaw 对表征在集合与映射水平上的系统建立了 Lyapunov 第二方法. 这时, Lyapunov 函数已不在实数域上取值, 而是在有序定义的半格上取值. 另一方面, Lyapunov 第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性. 此时, Lyapunov 函数被推广为向量形式, 称为向量Lyapunov 函数. 用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件.

2. 研究的基本内容

俄国数学家李雅普诺夫于1892年建立的用于分析系统稳定性的理论被称为李雅普诺夫稳定性理论。在研究线性定常系统时，可以采用如代数稳定判据、奈奎斯特稳定判据等用以判定系统的稳定性，但是李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。李雅普诺夫稳定性理论包括李雅普诺夫第一方法和第二方法。李雅普诺夫第一方法是根据状态方程解的性质来判断系统的稳定性，而李雅普诺夫第二方法可以不必求解系统状态方程而直接判定系统的稳定性，所以相比较第一方法而言，李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。因此，本文对第一方法的运用只做简要介绍，而重点论述第二方法。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

2018,2-26至3-3，查阅相关文献，开始论文设计工作，完成论文的基本框架。

2018,3-4至3-18，在指导老师的帮助下，完成论文初稿，并由指导老师初次审核。

2018,3-18至4-1，翻译外文文献与初稿的修改润色，并由指导老师再次审核。

4. 参考文献

[1] lyapunov (alesandr mihailoviqlyapunov). a general task about the stability of motion[j]. gosudarstvennoeizdatel fstvo tehniko-teoretiqesko b literatury, moscow, 1950.

[2]秦元勋. 运动稳定性的一般问题讲义[ m]. 北京: 科学出版社, 1958.

[3]廖晓昕. 稳定性的数学理论及应用[m]. 湖北: 华中师范大学出版社, 2001.