全文总字数：1854字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

本文目的在于：首先给出牛顿迭代法的基本形式和收敛定理，并以非线性方程组为例，给出定理的应用。其次证明了banach空间中的压缩映射原理，并与牛顿法收敛定理进行比较，在banach空间中，将方程推广为非线性算子方程，给出相应的收敛条件，证明方程解的存在性。最后详细讨论牛顿迭代法的初值选择问题，进一步估计解的存在区间。

通过将牛顿迭代法推广为更加复杂的形式，可以解决其他空间中非线性算子的估计问题，具有一定理论意义。在牛顿迭代法的实际应用过程中初值的选择往往会对迭代结果产生较大的影响，本文将迭代法的初值限定在一定范围内，具有一定实际应用意义。

2. 研究的基本内容

牛顿法是用来求解实数域和复数域上方程的近似解的一种方法，它通过将函数f(x)展成泰勒级数，并利用展开式的前几项寻找方程的解。牛顿法的基本形式是取泰勒级数的线性部分近似，并通过迭代逐渐逼近方程的解。

牛顿法具有其几何意义。假设方程f(x)=0的解为x*，对选定的初始点x0，过(x0,f(x0))做函数的切线，切线与x轴交于x1；过(x1,f(x1))做函数的切线，与x轴交于x2。重复上述过程可得点列{xn}，当n趋向于无穷时，xn趋向于x0。

本文首先给出牛顿迭代法的基本形式和收敛定理，以非线性方程组为例，给出定理的应用。其次本文证明了banach空间中的压缩映射原理，并与牛顿法收敛定理进行比较，在banach空间中，将方程推广为非线性算子方程，给出相应的收敛条件，证明方程解的存在性。最后详细讨论牛顿迭代法的初值选择问题，进一步估计解的存在区间。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

本文的第一部分介绍了牛顿迭代法的原理，并给出其收敛条件，重点是以非线性方程组为例，给出定理的应用。

先给出三阶非线性方程组求解步骤，再编写matlab程序得到结果。

第二部分中，将介绍了泛函分析里的一些基本概念，并将牛顿法推广到banach空间中，得出压缩映射原理。

4. 参考文献

李丽容. 对牛顿迭代法的改进[j]. 中国水运:理论版, 2006, 4(5):204-206.

陈新一. newton迭代法的一个改进[j]. 数学的实践与认识, 2006, 36(2):291-294.

吴鲁光. 牛顿法的推广——一种方程求根的迭代法[j]. 兰州石化职业技术学院学报, 2000(1):8-10.