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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

傅立叶分解是纯数学领域中最基本的一种变换. 它具有良好的数学性质，在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用. 但傅立叶分解在工程应用中有个明显的缺点，就是它在能量意义下收敛速度慢.而自适应傅立叶分解则能很好地克服傅立叶分解的这个缺点，且保留了傅立叶分解良好的数学性质. 自适应傅立叶分解的原理是将给定的函数自适应的分解为单分量函数之和. 它的自适应性主要表现在对不同的函数，它所分解成的单分量函数各不相同，选取的原则是逐项能量最大，从而加快收敛的速度.事实上，当自适应傅立叶分解中每个单分量函数的参数都取0值时，所对应的分解就变成了经典的傅立叶分解，也就是说，经典傅立叶分解是自适应傅立叶分解的一个特例.

自适应傅立叶分解可以应用在所有傅立叶分解可以应用的地方，如：偏微分方程数值解，Hilbert变换计算、股票预测、期权定价、时频分布、控制论（系统识别）、一维信号分析、图像处理、声音信号分析、金融数据分析、生物医学数据分析等.

国内外研究现状

自适应傅立叶分解提供了一种崭新的函数分解模式和策略，以自适应傅立叶分解进行迭代，给出了具有广泛应用的n阶最佳有理逼近的一个算法，部分解决了该算法的历史性难题.尽管该理论已经得到了国际顶尖信号分析专家Cohen的高度评价，但对于自适应傅立叶分解的研究没有因此而停步不前，不仅致力于自适应傅立叶分解在数学以及工程技术方面的应用，也会继续深化理论研究，比如不仅研究一维的，还要在高维上有所突破.

自适应傅立叶分解算法在能量意义下的快速收敛性使它成为一维及高维有理逼近的有效工具，高维空间的有理逼近及应用是有意义的新研究方向.二维及更高维的自适应傅立叶分解更是直接以图像处理为背景. 自适应傅立叶分解广阔的研究前景包括一维及高维的有理逼近、压缩感知、再生核Hilbert空间以及学习理论；而应用前景包括信号分析、图像处理、控制论、特别是系统识别.

2. 研究的基本内容

1、研究经典的傅立叶分解理论证明；

2、探究自适应傅立叶分解过程；

3、如何应用于信号分解，以及相关的数学原理和它们在能量意义下的收敛性。将一些信号用经典的傅立叶分解和自适应傅立叶分解的算法通过matlab得出它们的能量误差进行比较并分析结果。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：

第一部分绪论，首先对经典的傅立叶分解和自适应傅立叶分解的背景进行了展开说明，然后综述了国内外对于一维自适应傅立叶分解的研究进展与现状，最后提出本文的写作框架。

第二部分主要阐述经典的傅立叶分解和自适应傅立叶分解如何应用于信号分解，以及相关的数学原理和它们在能量意义下的收敛性。

4. 参考文献

[1] lei y., fang y. and zhang l.m., iterative learningcontrol for discrete linear system with wireless transmission based on adaptivefourier decomposition, in 2017 36th chinese control conference (ccc), dalian:ieee, 2017: 3343-3348.

[2] zhang l.m., a new time-frequency speech analysis approachbased on adaptive fourier decomposition, internat. science index, electricalcomputer engineering, 2013, 7(7): 938-942.

[3] wang z., da cruz j.n. and wan f., adaptive fourierdecomposition approach for lung-heart sound separation, in 2015 ieee internationalconference on computational intelligence and virtual environments formeasurement systems and applications (civemsa), shenzhen: ieee, 2015.