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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

1）研究的目的分数阶微分方程是指方程系统中，函数的微分阶数为分数。因分数阶微分方程能够很好的解释自然界和工业生产中各种复杂的现象而受到国内外数学界的重视，它是数学方程中一类重要的问题。近年，Khalil等人给出了一种新的分数阶微积分的定义，称之为适型分数阶微积分定义。新定义具有类同于整数阶微积分的良好性质，国内外很多学者也使用该定义解决了一些分数阶微积分的相关问题。本课题中，我们考虑非线性分数阶微分方程边值和周期值问题，证明带有非齐次Dirichlet、Neumann边界条件，或Sturn-Liouville边界条件，或周期条件的分数阶非线性微分方程至少有一个解存在。

2）研究的意义分数阶微分方程是微分方程的一个重要分支。近年来，特别是适型分数阶微分定义提出之后，其发展迅速。相比于整数阶微分方程，分数阶微分方程在物理学、生物学、分析化学等领域发挥了重要的作用。例如，它可用于描述流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别等，因此对于分数阶微分方程解的存在性证明是非常重要的。

国内外研究现状

在国内外的研究中，Khalil等人给出了一种新的分数阶导数定义及其相关定理。Bayour，Torres[5]使用适型分数阶微分定义和不动点定理，并引入管道法证明了一类有初值条件的分数阶微分方程解的存在性。H. Batarfifi[3]等人应用适型分数阶导数定义，得到了适型分数阶线性问题的格林函数，并使用该格林函数解决了一种非线性分数阶微分方程的问题。

2. 研究的基本内容

研究内容：1. 目标分数阶微分方程管道解的建立；2. 替代方程的建立及相关新变量的定义；3. 算子的定义及其紧性证明；4. 替代方程解的存在性证明；5. 替代方程每个解都在管道解范围内的证明；6. 目标方程解的存在性讨论。

首先，我们引入适型分数阶微积分的定义，建立后续证明所需关于分数阶微积分的符号，定义，结果；之后，我们参考整数阶微分方程的一些解的存在性研究，给出目标方程的管道解定义。并分割区间，在不同区间给出自变量的不同定义，建立原始方程的替代方程，该替代方程在管道范围内与原方程同解；最后，使用不动点定理，证明替代方程在管道范围内至少有一个解，进而说明原方程问题有解存在。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

1）实施方案：我们引入适型分数阶微积分的定义，结合不动点定理，和管道解的思想给出目标方程解的存在性证明。

2）进度：2018年2月之前：学习毕业论文有关文件，认真填写任务书，确定好题目。

2018年2月中旬-2016年3月中旬：完成开题报告。

4. 参考文献

[1] t. abdeljawad, on conformable fractional calculus, j. comput. appl. math. 279 (2015) 57-66.

[2] d. r. anderson, r. i. avery, fractional-order boundary value problem with sturm-liouvilleboundary conditions, electron. j. differential equations 2015 (29) (2015) 10.

[3] h. batarfi, j. losada, j. j. nieto, w. shammakh, three-point boundary value problems for conformable fractional differential equations, j. funct. spaces 2015 (2015) 6. art. id 706383.