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摘 要

Monte Carlo方法是根据概率统计理论的一种数值模拟方法。由于Monte Carlo方法可以更准确地描述物理实验过程和物体特征，该方法得到了许多人的大力推广。通常，数学上的各种不同问题可以通过构建我们需要的某些符合规则便于解决问题的随机数来解决，这就是我们熟悉的蒙特卡罗方法。在解决数学问题过程中，我们可能遇到过于复杂的问题，而且很难得到我们所需要的解析的解，或者根本没有解这个解析问题的方法，蒙特·卡罗就是一个可以有效解决数值解这个问题的方法。蒙特·卡罗方法最典型的代表就是蒙特·卡罗积分，我们在数学上了解过该积分以及应用过。蒙特卡罗方法具有很强的解决问题的能力，在遇到各种问题时对它影响不大，能够解决各种各样的几何形状问题，从这里可以看出，该方法的解决问题的能力性，也被我们熟悉掌握运用。通过问题维数的不断增加，我们可以发现该方法不会影响收敛速度，存贮单元在应对复杂问题时很经济化，这便是该方法的优势。本文主要阐述Monte Carlo方法的发展背景及应用，介绍Monte Carlo方法在具体物理问题中的两个重要算法：Metropolis和Heat–bath算法，介绍Monte Carlo方法在统计物理学中的应用有哪些：相变应用方面、临界现象应用方面、临界慢化应用方面，介绍平衡态和短时动力学应用方面，还有用Monte Carlo方法对圆周率进行估计。

关键词：Monte Carlo；蒙特卡洛；圆周率；估计

Comparison of several Monte Carlo methods and estimation of

Abstract

The Monte Carlo method is a numerical simulation method which based on probability and statistical theory. Many people use this method because the Monte Carlo method can more accurately describe physical experiments process and the features of object properties. Usually Monte Carlo method solves various mathematical problems by constructing random numbers which conform to certain rules. The Monte Carlo method is an effective method to find the numerical solution for those problems where the calculation is too complex to obtain the analytical solution or there is no analytical solution at all. The most useful method in mathematics is Monte Carol integral. Monte Carlo method has problem-solving ability, when it encounters problems is not influences. The convergence of the method refers to the convergence in the sense of probability, so the increase of the dimension of the problem will not affect its convergence rate, and the memory unit is also very low when it encounters large and complex problems and solves it. This paper mainly introduces the development background and application of Monte Carlo method. This paper introduces two important algorithms of Monte Carlo in physical problems: Metropolis and Heat-bath, and the application of Monte Carlo method in statistical physics: phase transition, critical phenomenon, critical moderation. We also use Monte Carlo method to estimate .

Keywords: Monte Carlo; ; estimation

目录

第一章 引言 1

1.1研究背景 1

1.2文献综述 1

1.3本文的研究意义 4

第二章 相关理论方法 5

2.1 Monte Carlo方法起源 5

2.2 Monte Carlo方法的主要算法 7

2.2.1 简单抽样和重要抽样 7

2.2.2 Metropolis算法 9

2.2.4 Heat-bath算法 14

2.2.5 Metropolis和Heat-bath算法与Markov过程的关系 15

第三章 Monte Carlo方法对圆周率估计 17

3.1 蒙特卡罗方法的基本思想 17

3.2 圆周率求算的基本思想 18

3.3 用蒙特卡罗方法求算圆周率 19

第四章 结论 20

参考文献 21

致谢 22

附录 23

第一章 引言

1.1研究背景

在摩纳哥公国有这样一座城市，该城市以赌博出名——Monte Carlo。因为在赌博游戏中随机性是特别突显的，所以以该城来命名Monte Carlo方法，其实预示了这是一种随机方法。18世纪法国出现一种随机投针实验，设计者是蒲丰，通过该实验可以计算圆周率π的值。普遍认为Monte Carlo方法起源于那时，但正式命名是在“曼哈顿计划”中。

上溯到二战时期，美国进行的“曼哈顿计划”研制原子弹成功，一举颠覆了传统武器的地位。在研制原子弹的过程中，有一个问题，即中子在不均匀的介质中的散射和输运的行为难以精确求解；根据已知理论可以写出一系列关于中子行为的微分-积分方程，却难以精确求解。研究员放弃精确求解方程组，转而求助于一种基于计算机的模拟实验。伴随着计算机技术的高速发展，研究物理问题很自然的依靠起计算机，所以计算模拟成为新物理研究手段，利用这种模拟实验解决了当时所遇到的问题，但由于曼哈顿计划的保密性，研究员暂时称这之为Monte Carlo方法，后来这个名称延用至今。

1.2文献综述

在20世纪中期，伴随着计算机技术的高速发展，研究物理问题很自然的依靠起计算机，所以计算模拟成为新物理研究手段。直到80年代，二维算法被美国研究组开发，对晶粒生长的过程重新进行模拟，例如，再结晶、多晶材料的晶粒生长，有序-无序磁畴转变过程等物理学过程。1983年，一个关于Monte Carlo 方法的新算法被Anderson提出，被应用于模拟晶粒生长过程。1992年，Anderson结合晶粒相互之前产生作用，使用Monte Carlo 方法模拟晶界能以及点缺陷对微观结构的作用，最后前者非常理想，与实验所得确切值十分符合。1994年，著名科学家在模拟晶粒长大的动力学曲线基础上提出一种算法。1995年，他们通过模拟研究晶粒边界等试验，在不断研究发现的过程中，得到了晶粒尺寸与真实参数之间的关系。1999年，Sjahanian等人考虑到晶粒边界迁移，进一步研究焊接热影响区晶粒尺寸生长模拟基础。近段时间以来，在高速发展的电子计算机背景下，随机数值实验被人们开始大范围的用来解决各种问题。另一方面，在不计其数的科学工作者的不懈努力下，Monte Carlo 方法不断完善。因为临界慢化等现象出现，传统Monte Carlo 方法不适用，大量新算法得到提出，例如Cluster算法、Multi-canonical算法、reweighting算法、Hybrid算法、Monte Carlo 重整化群方法等。之后，伴随着拟随机序列的出现，Monte Carlo 方法已经演变到了Quasi-Monte Carlo 方法，收敛速度和精确度都有提升。

国内学者王坤（2017）通过大量实验研究表明，发现蒙特卡罗方法自身具有随机性的问题，比如粒子输运问题，它能够正确说明，并且能够模拟该概率过程，在模拟概率过程中，会发现许多问题，比如非随机问题和随机问题，随机问题可以很容易地解决，非随机问题需要我们自己构建人工概率过程，让它的某些条件正好是需要求的解。这样便使两者得到了转化。

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