论文总字数：17024字

摘 要

许多理论和方法都是通过客观事物、现象、过程之间的相似性来建立的客观基础.在许多数学问题诸如泰勒公式的应用、极值点判别、转角挠度、函数逼近、插值问题中，相似性原理得到了很好的体现.比如说，为什么从一个单独的点一直不停地求导之后可以描绘出整个函数的曲线图像？我认为如果曲线走势可以预知估测出曲线上邻接的下一个点大致的位置，那么走势的走势便可以比较来说较为精确的预测邻接下一个点的确定的位置，然后接下来的走势就可以表达这种趋势可以延续到什么时候，…，这些文字可以通过数学形式表达.我们知道，一阶导数是经过曲线上某点的切线的斜率.但是它局限于只将相邻的下一个点定位到两个范围中的一个，所以我们就需要二次求导.二阶导数代表了目标点切线的变化趋势，也就是曲线的凹凸，对于凹函数，二阶导数是正数，那么切线的斜率就越来越大，而对于凸函数，二阶导数是负数，那么切线的斜率就会越来越小.通过这种数学问题之间的共性从而发现他们的相似性原理来解决问题.本文以相似性原理为研究课题，重点研究了泰勒公式相关理论以及函数逼近、常微分方程、空间几何等相关数学问题在相似性原理方面的规律.

关键词：相似性原理， 泰勒公式， 帕德逼近， 极值点判别， 函数逼近， 常微分方程

Principle of Similarity and Application of Taylor Formula

ABSTRACT

Many theories and methods are based on the similarity among objective things, phenomena and processes. In many mathematical problems such as the application of Taylor formula,extreme point discrimination,corner deflection, function approximation and interpolation, the similarity principle has been well embodied. For example, why from 1? Can a curve image of the whole function be drawn after a single point has been continuously deriving? I think if the trend of the curve can predict and estimate the approximate position of the next point on the curve, then the trend of the curve can more accurately predict the location of the next point. These languages can be expressed mathematically. We know that the first derivative is the slope of a tangent passing through a point on a curve. But it is limited to locating the next adjacent point in only one of the two ranges, so we need to derive twice. The second derivative represents the change trend of the tangent of the target point, i.e. the concave and convex of the curve. For concave functions, the second derivative is positive. For convex function, the second derivative is negative, so the slope of tangent will be smaller and smaller. Through the commonness of these mathematical problems, we can find their similarity principle to solve the problem. This paper takes similarity principle as the research subject, focusing on Taylor formula theory and function approximation, ordinary differential equation, space. The Law of Similarity Principle in Mathematical Problems Related to Geometry.

Key words: Similarity Principle; Taylor Formula; Pade Approximation; Extreme Point Discrimination; Function Approximation; Ordinary Differential Equations

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

第一章 绪论 1

1.1 研究目的与意义 1

1.2 相似性原理的相关问题的研究历史与现状 1

1.3 论文的结构安排 2

第二章 泰勒公式及插值问题 3

2.1 泰勒公式 3

2.1.1 一元函数的泰勒展开式 3

2.1.2 多元函数的泰勒展开式 3

2.2 埃尔米特插值 4

第三章 极值点判别 5

3.1 极值问题 5

3.2 极值点判别 5

3.2.1 极值点判别之必要条件 5

3.2.2 极值存在的充分条件 6

第四章 函数逼近问题 8

4.1 函数逼近 8

4.2 帕德逼近^[2] 8

第五章 常微分方程 13

5.1 单步法 13

5.2 RKF方法（RKF45） 15

参考文献 17

致 谢 19

第一章 绪论

1.1 研究目的与意义

现实生活中很多事物存在一定程度的相似.自然相似定律这样解释：这世界上所有的东西不可能和别的事物一模一样，也不可能一点也不一样.相似就是这种辩证的矛盾中存在的统一.由于许多出现的问题数学领域的方法很难解决，这就出现了实验，可是实验的结果是适用于个别特定条件下的结果.经常属于耗费巨大并且结果具有的实际意义不大.我们更希望用同比例缩小的原型——模型进行研究，最重要的问题就是模型实验的实验结果中诠释的现象是否可以作为一般真理的代表？假如通过模型做出的实验得到的数据可以较为准确地代表原型的基本理论，那么就一定会在模型和原型之间存在一定的相似性原理.

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