论文总字数：16597字

摘 要

本文考虑具有铰链边界条件的广义Boussinesq方程的tame结构，证明了非线性项具有tame结构。这种结构由Bambusi和Gr´ebert在[2]中构造，由于能够在规范型过程中保存下来，所以此结构对Nekhoroshev以及KAM方法非常重要。为此，我们首先证明了广义Boussinesq方程的算子存在纯点谱，然后利用相对应的特征函数具有局部性，证明了非线性具有tame结构。最后，我们给出了非线性项的度量。

关键词:长时间稳定性 广义Boussinesq方程 Tame结构 比尔科夫范式

Structure of Boussinesq Equation under the Condition of Catenary Boundary Value

Abstract

In this paper, we consider the tame structure of the generalized Boussinesq equation with hinge boundary conditions, and prove that the nonlinear term has a tame structure. This structure was constructed by Bambusi and Gr ́ebert in [2], and this structure is very important for the Nekhoroshev and KAM methods because it can be preserved in the canonical process. To this end, we first prove that the operator of the generalized Boussinesq equation has a pure point spectrum, and then uses the corresponding eigenfunction to have locality, which proves that the nonlinear has a tame structure. Finally, we give a measure of the nonlinear term.

Key words: long time stability; generalized Boussinesq equation; Tame modulus structure; Birkhoff normal form

摘 要 I

Abstract II

第一章 介绍 1

1.1 定义 1

1.2 主要结果以及意义 5

1.3 论文的框架 5

1.4 论文的新颖之处 6

第二章 Boussinesq方程的哈密顿结构 7

2.1 范数与结构 7

2.2 算子的特征值与特征向量 8

2.3 特征向量下的坐标与哈密顿结构 11

第三章 Boussinesq方程的Tame结构 14

3.1 TAME结构定义与例子 14

3.2 不同坐标下的TAME结构 16

3.3 Boussinesq方程TAME结构的验证 17

3.4 Boussinesq方程TAME结构的模 18

参考文献 21

致 谢 23

第一章 介绍

1.1 定义

1.1.1 KAM的理论

卡姆定理（KAM theorem）我们也可以把它叫做KAM定理，是在20世纪的时候牛顿力学的一个进展。KAM定理的研究对象是可积哈密顿系统受到扰动之后方程的解的长期状态。最初起源苏联学者Kolmogorov于1954年得到，他的弟子Arnold在1963年证明，不久之后源自不同的方面的考虑，美国学者J.莫塞所1962年也证明了。KAM就是上面三个人姓氏的缩写。

运用卡姆定理来研究弱不可积系统的运动状态情况，可以得到在三维立体空间或者多维空间非线性系统的运动轨迹很大概率会出现混沌情况。由卡姆定理引申的混沌定理表明了随机论断和决定性的论断、数理统计和牛顿物理是有联系的，这一理论的出现打破了人们对于牛顿力学的盲目认定，解放了人们的思想，也逐渐出现了系统论的观点。

1.1.2 Nekhoroshev定理的起源及发展

在20世纪70年代一位名叫Nekhoroshev的前苏联数学学者在他的论文中给出的关于近可积哈密顿系统稳定时间的一个重要估计。之后，对哈密顿系统作用变量变化的理论研究吸引了大批学者。 里面涉及到了针对拟凸哈密顿系统情况下的度量、针对广义哈密顿系统条件下的度量、和针对拟可积退化哈密顿系统范围内的度量，在之后的几年内又在有限可微哈密顿系统领域内有了新的结果。

20世纪70年代后期近可积哈密顿系统领域诞生了首个成果。Nekhoroshev发现了一个结论，所有的解在指数时间内都与它们的可积对偶很接近。从那时起，Nekhoroshev理论得到了极大的扩展并在有限维情况下得到了丰富。

1.1.3 Boussinesq equation

Boussinesq equation是一个含有孤立子波解的非线性方程，是法国力学家、理论物理学家布森内斯克(Boussinesq,J. V.)于1872年在浅水波的研究中导出的。此方程代表了KdV方程的一种推广，它允许孤立子在两个方向上传播，对于它的N孤立子解已经找到。Boussinesq建议研究以下方程，

(1.1)

后来出现了一系列模型，代表了依赖于非线性和色散的线性波动方程的扰动，被称为Boussinesq型方程。如今看来，我们把最初版本的Boussinesq方程和现在大家见到的一般形式下的Boussinesq方程统一叫做Boussinesq方程。遗憾的是学者们在Boussinesq方程的研究过程中并不是那么地一帆风顺，当中两位杰出的数学家Bona和Sachs在他们的论文中说到了原因，Boussinesq方程的问题不能一概而论，在不同的初始条件下对应着不同的解法。想要解决这个问题，有的学者们试图采用以下广义Boussinesq方程

(1.2)

通过研究非线性弦方程，进而得出的Boussinesq方程。在研究的过程，Bona和Smith证明了初值问题总是在的情况下局部很好地拟合(1.2)。在这种情况下,一大批的数学家开始对这类方程(1.2)产生了兴趣，各种各样的思考出现了很多的理论成果。Sire与DelaLlave两位学者在他们的论文中，对于上述方程的须环环面提供了一个后验KAM定理，其中,为周期边界条件下的参数。经过一番思考，文献[10]的作者把方程看做为当在的条件下的bad Boussinesq方程，也可是视其为当情况下的good Boussinesq方程。参考文献中提到，Shi eta通过研究在铰接边界条件下的Boussinesq方程，得出了拟周期解的规律性。想要了解更多的解的情况可以查看参考文献[7]。

从Boussinesq方程被大家熟知之后，得到了很多的理论与成果。由狭隘的一般型Boussinesq方程，这种方程针对的属性比较单一，只有弱势非线性的以及弱势低频色散性，经过发展后得到的Boussinesq方程使得Boussinesq方程得到了更为泛型的定义。我们可以将Boussinesq方程用于很多地方，伴随着不断发展与此同时，也产生了一系列的麻烦：

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