论文总字数：13590字

摘 要

纵观学习数学分析的过程中，一致收敛性既重要又难以透彻理解掌握，亦是研究函数列、函数项级数、含参变量反常积分有关性质的重要工具。本课题根据大学数学分析的学习要求和相关教学论文的研究，采用列举实例、定义对比、数形结合等多种研究方法，试图从函数列、函数项级数、含参变量反常积分三类的一致收敛性的定义、性质和基本判别法出发，阐述三类一致收敛之间的联系，以及一致收敛与二元函数极限之间的统一性。此外，由于一致收敛性仅是函数列、函数项级数、含参变量反常积分具有相关性质的充分条件，课题亦包括对相关充要条件的拓展研究，即将一致收敛的概念合理外延，并给出相关充分性或必要性的证明。总而言之，全文较仔细地整理了数学分析中与一致收敛相关的知识，综合了相关研究成果，具备一定的参考价值。

关键词：一致收敛 函数列 函数项级数 含参量反常积分

Disscussion on Uniform Convergence in Mathematical Analysis

Abstract

Throughout the process of learning mathematics analysis, uniform convergence is not only important, but also difficult to understand thoroughly. It is also an important tool for studying the properties related to function sequences, series of functions, and anomalous integral with parameters.The thesis is based on the requirements of mathematics analysis, as a curriculum in university, and the study of related teaching papers.According to the definition, properties and basic discriminant methods of uniform convergence, a variety of research methods, such as enumerating examples, defining comparisons, and combination of number and shape, are utlized in this paper to describe the connection between the three types of uniform convergence above, and the unity between uniform convergence and limit of the binary function.In addition, because uniform convergence is only a sufficient condition for the related properties of function sequences, series of functions, and anomalous integral with parameters, this thesis also includes extended research on the necessary and sufficient conditions, that is, a reasonable extension for the concept of uniform convergence, and give the proof of relevant adequacy or necessity. In a word, the full text carefully sorts out the knowledge related to consistent convergence in mathematical analysis and synthesizes relevant research results, which has certain reference value.

Keywords:convergence convergence; function sequences; series of functions; anomalous integral with parameters

目 录

摘要 I

Abstract II

第一章 引言 1

第二章 一致收敛 2

2.1 一致收敛的定义 2

2.1.1 函数列一致收敛 2

2.1.2 函数列一致收敛的特征 2

2.2 三类一致收敛的联系 4

2.2.1 从函数列到函数项级数 4

2.2.2 从函数项级数到含参量反常积分 4

2.3 一致收敛的性质 6

2.3.1 连续性 6

2.3.2 逐项积分 6

2.3.3 逐项求导 7

2.4 一致收敛与二元函数极限 8

2.4.1 二元函数极限 8

2.4.2 极限交换问题 11

2.5 一致收敛的判别法 13

2.5.1 基本判别法 13

2.5.2 创新判别法 15

第三章 一致收敛的推广 19

3.1 一致收敛概念的外延 19

3.2 函数项级数连续性的充要条件 20

3.2.1 次一致收敛下的连续性 20

3.2.2 亚一致收敛下的连续性 22

3.2.3 局部一致收敛下的连续性 23

3.2.4 广义一致收敛下的连续性 24

3.3 小结 25

参考文献 26

致谢 27

第一章 引言

微积分作为一门已有三百多年历史的学科，经过代代数学家和研究人员的推敲和补充，已建立起了较完备的知识体系。在我国，数学分析是数学系的基础课程，包括一元和多元微分学、积分学等一系列相关的内容。纵观学习数学分析的过程中，一致收敛性无疑是重要却又难懂的概念，是研究函数列、函数项级数、含参变量反常积分有关性质的重要工具，在理论研究和某些应用领域都具有不可忽视的价值。

一致收敛问题由于重要性，在教材中占不少篇幅，不同层次的讨论在理论期刊和教学期刊上都有出现。各研究者角度不同，观点丰富，既有判别法上的推广，又有利用性质进行的反推；既有概念间的区别对比，又有概念间共性的寻找和统一。

关于一致收敛这一性质，已有的研究是比较成熟和透彻的，独创性的空间并不大。然而在实际学习过程中，一致收敛性依然是贯穿数学分析若干章节的概念，有其重要性、复杂性、综合性。因此，本文根据大学数学分析的学习要求，参考了相关教学论文的研究，试图在整理的基础上创造性地阐发相关概念、定理和各种常见的、不常见的处理相关问题的手段，同时做出合理的概念引申，力图比较完整、清晰地对一致收敛性问题进行相关的探讨。

第二章 一致收敛

2.1 一致收敛的定义

2.1.1 函数列一致收敛

首先从基本的数列收敛谈起。简言之，收敛数列具备这样的特征——当下标越来越大时，项越来越接近某一个常数。将“排列”的概念从数推广到函数上，可以得到函数列的概念。相应的，由数列的收敛，可以定义函数列的收敛：设为定义在区间上的一个函数列。对于，如果数列收敛，那么称函数列在点收敛。如果在中每点都收敛，那么称在上逐点收敛。

现设在上收敛于，因为中有无穷多个点，这就意味着无穷多个数列收敛。一般而言，这些数列收敛的快慢是不一致的。使用的语言来说明，则是对于任给的以及任给的，存在，当时，有

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