论文总字数：18152字

摘 要

1952年，计算机科学之父英国数学家图灵(A.M.Turing)在他的开创性论文“形态成的化学基础”中，用一个反应扩散模型成功的说明了某些生物体表面所显示的图纹是怎样产生的。在图灵提出的反应扩散体系中，由生物体体内的反应扩散而导致的空间均匀态失稳最终产生了对称性破缺（空间平移对称破缺），从而使生物体表面显现出了非均匀图纹。这个反应经过和它所产生的图案被后人分别叫做图灵分支和图灵斑图。

本文首先对定性理论和分支理论进行全面的回顾和介绍，并对具代表性的研究成果加以综述，其中囊括了不同分支的出现条件与分支的选择方法。之后对实际系统模型进行数学理论分析，建立一个接近于生态系统平衡的理论模型，并考虑平衡点处出现的分支行为，从而得到对应的空间斑图模式。并利用COMSOL软件模拟出行为的多样性。最终结合生物学理论与数学分析结果得出扩散对于植物根毛空间分布的影响。

关键词：图灵斑图 植物根毛 COMSOL

The Effect of Diffusion on the Spatial Distribution of Plant Root Hairs

Abstract

In 1952, the father of computer science, the British mathematician A.M.Turing, used a reactive diffusion model to successfully illustrate the patterns displayed on the surfaces of certain organisms in his seminal paper, "The Chemical Foundation of Morphology." In the reaction-diffusion system proposed by Turing, the spatially uniform state instability caused by the intrinsic reaction-diffusion property of the system leads to a symmetry breaking (spatial translational symmetry breaking), so that the system self-organizes some spatially stationary patterns. This process and the resulting patterns are referred to by later generations as Turing bifurcation and Turing pattern.

This article first reviews and introduces qualitative theory and bifurcation theory, and summarizes representative research results, which includes the appearance conditions and the selection of different bifurcations. After the mathematical model analysis of the actual system model, establish a theoretical model that is close to the balance of the ecosystem, and consider the bifurcation behavior at the equilibrium point, to obtain the corresponding spatial pattern. Next, we use COMSOL software to simulate the diversity of behavior. Finally, the effects of diffusion on the spatial distribution of root hairs in plants are obtained based on biological theory and mathematical analysis results.

Key words: Turing pattern；Plant root hair；COMSOL

目录

摘要 I

Abstract II

目录 III

第一章 绪论 1

1.1斑图理论基本介绍 1

1.1.1 斑图理论..............................................................................................1

1.1.2 国内外研究现状介绍..........................................................................2

1.2研究目的与意义 4

第二章 定性理论及分支理论介绍 5

2.1 Turing分支 5

2.2 Hopf分支 8

2.3 Strady state分支 10

第三章 系统模型分析................................................................................................11

3.1 局部分析 13

3.2 一维空间上的Schnakenberg系统..............................................................15

3.3 二维模拟结果 ...........................................................................................18

3.3.1 对二维常系数系统的模拟................................................................18

3.3.2 对二维变系数系统的模拟................................................................20

第四章 研究结果........................................................................................................23

第五章 不足与展望 25

5.1不足 25

5.2展望 25

参考文献 26

致谢 28

第一章 绪论

1.1斑图理论基本介绍

1.1.1 斑图理论

斑图（pattern），是指某种遵循规律性的，存在于时间或者空间上的非均匀宏观结构。自然界的斑图多种多样，存在于人们生活的各个角落，如同动物身上的花纹、植物的形状甚至是天上的云朵，他们都是我们日常生活中触手可及的斑图。对于热力学平衡条件下所产生的，如化学中的晶体形态、有机物的聚合等。人们已经能很好地去解释他们形成的原理和机制。对于离开热力学条件而产生的斑图，如云朵与生物体表的图案等，人们无法通过热力学原理去解释和说明他们是如何产生的。而这时，人们转换思路发展了斑图动力学这一以动力学规律来探究非热力学斑图的形成。而斑图动力学这一学科，成为了非线性科学的重要组成部分，用于解释斑图的形成对象。

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