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摘 要

当满足丢番图条件，。在F，，p的一定假设条件下，根据Moser的扭转定理，我们得到拟周期解的存在性，从而得出所有解的有界性。

关键词：丢番图条件；Moser扭转定理；拟周期解；解的有界性。

Abstract: In this paper we study the following second order periodic system:

where ω satisfies the Diophantine cndition, 0 ≤ α lt; 1. Under some assumptions on the ϕ,F, and p, by Moser’s twist theorem, we obtain the existence of quasi-periodic solutions andboundedness of all the solutions .

Key words: Diophantine cndition; Moser’s twist theorem; Quasi-periodic solutions;

Boundedness of solution.

目录

摘 要 I

Abstract II

第一章 引言 1

1.1 研究目的及意义 1

1.2 研究现状和结论 1

第二章 定理的证明 3

2.1 作用角变量和引理 3

2.2 新作用角变量 7

2.3 典则变换…....…………………………………………………………...........8

2.4 庞加莱映射………………………..............……………………………..… 12

2.5 定理1的证明…………………........................…………………………… 14

参考文献 15

致谢 17

第一章 引言

1 选题的目的和意义

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。

微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。而有界性的研究是微分方程定性理论中的一个十分重要的研究内容。它具有深刻的物理背景和数学模型。

近年来这一研究主题在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视。一方面它有着广泛的实际背景，另一方面有着重要的理论价值。在研究微分方程定性理论中，二阶微分方程解的有界性是一个重要话题。在具体的生产实践的过程中，有许多具体的工程技术的问题都可以归结为二阶微分方程。因此有关二阶微分方程的定性与稳定性研究在最近几十年里已经引起了人们的广泛兴趣。其中许多具体二阶微分方程定性与稳定性的研究都是从研究其解的有界性开始的，因此二阶微分方程解的有界性研究就是一个引起众多数学家和其他科学家研究的广泛课题。

近年来国内外已有大批学者从事这方面的理论研究取得了一系列较好的结果，对生产生活和科学技术的发展起到了直接或间接的推动作用。因此，对二阶微分方程解的有界性的研究意义重大。

2 研究现状和结论

最近，Jiao,Piao和Wang[6]研究方程

（1.1）

当满足丢番图条件，，和，此外，F(x,t)满足

（1.2）

和

（1.3）

的部分函数满足。

在[]，F（x,t）不满足增长条件：

首先还原系统成标准形式，然后应用Moser的不变曲线扭曲定理证明了拟周期解的存在性，从而得出所有解的有界性。这个结果依赖于非线性特征可以证明KAM定理的扭转条件这个事实。

我们观察到在[2,16]，扰动g(x)-p(t)是光滑有界的，因此一个自然的问题是找到在g(x)和p(t)上的充分条件，当扰动是无限的时候（1.1）的所有解是有界的。本文的目的是要处理这个问题。我们可以看到更多如[4,15]在无界扰动上关于Littlewood问题的文章。

出于论文[2,16]，我们认为以下方程：

（1.4）

当。

我们的主要结果是下面的定理。

定理1 假设假定（1.2)和(1.3)成立，且有，其中为[6]中，则（1.4）有无限多拟周期性解且（1.4）的所有解是有界的。

证明是主要思想是从[16]获得。由Ortega[22]得到定理1的证明基于小扭转定理。它主要包括两个步骤。首先（1.4）转变扰动可积Hamiltonian系统。其次表明等价系统的庞加莱映射满足Ortega的扭转定理，然后得到了想要的结果。

第二章 定理的证明

2.1 作用角变量和引理

观察到（1.4）相当于以下方程：

（2.1）

这是一个光滑非自治Hamiltonian系统

（2.2）

其中Hamiltonian函数

（2.3）

且，和。

作转换与rgt;0和，

, (2.4)

系统（2.2）转换成另一个Hamiltonian系统：

(2.5)

其中

, (2.6)

与

(2.7)

和。

现在我们给出的估计。

引理1 以下估计有：

对于，记，为在上的平均值，除此之外我们有

引理2 以下估计有：

(2.8)

证明 因为

，

由第二积分中值定理和（1.2），存在使

当i=1，我们有

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