论文总字数：13206字

摘 要

本文我们研究以下二阶等时系统：

其中 有一个奇点。再根据合理的假设 V、 F、 g 和 p，由Ortega的小扭转定理，我们获得拟周期解的存在性，得出所有解有界性的，从而解决该等时系统的拉格朗日稳定性问题。

关键词： 等时系统 ；小扭转定理 ；拟周期解的存在性 ；解的有界性。

Abstract

In this paper we study the following second order periodic system:

where V (x) has a singularity. Under some assumptions on the V , F, g and p, by Ortega’ small twist theorem, we obtain the existence of quasi-periodic solutions and boundedness of all the solutions .

Key words: Isochronous oscillators; Small twist theorem; Quasi-periodic solutions; Boundedness of solution.

目录

摘 要 Ⅰ

Abstract Ⅰ

第一章 引言 1

1.1 研究目的及意义 1

1.2 研究相关背景 1

1.3 本文将做的工作 2

第二章 论证过程及结果 3

2.1 简介和主要结果 3

2.2 原理证明 6

2.2.1 作用—角变量…………………………………………………………… 6

2.2.2 新的作用—角变量…………………………………………………… …8

2.2.3 Poincare映射和小扭转定理………………………………………… 12

参考文献 20

致谢 21

第一章 引言

1、研究目的和意义

研究微分方程的解在Lyapunov意义下的运动稳定性是微分方程定性理论和动力系统中的基本问题，对于耗散系统通过研究沿着解的线性化系统或者构造Lyapunov函数，可以比较简单的解决正向时间或者反向时间的单侧运动稳定性，这一想法也可以推广到更加一般的系统，包括时滞微方程。但是对于Hamilton系统，研究周期解一直是很困难的问题，从而是微分方程和动力系统领域研究的一个重要课题。KAM理论作为20世纪最重要的数学成就之一，他对其他很多学科具有深远的影响，诸如物理学、天文学和力学。KAM理论的原型之一，即Moser扭转定理，对自由度为3/2和自由度为2的保守系统的稳定性给出了理论上的解释，其主要结果陈述为平面保面积同肧在椭圆不动点附近的不变闭曲线，结合经典的Birkhoff正规型理论，在理论上讲，如果能过精确计算出自由度为3/2和自由度为2的保守系统的椭圆周期轨的Birkhoff正规型，则运用Moser扭转定理就可以解决运动稳定问题，这一理论尤其适用于带小参数的扰动系统，而本文正是研究此类系统的稳定性问题。

2、国内外研究成果及背景：

1960年前后，前苏联数学家柯尔莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿诺德（Arnold，V.I.） 和莫塞尔（Moser，J.）提出并证明了以他们的姓氏的字头命名的KAM定理。它不仅给出了太阳系稳定的合理解释，还可以定量的通过系统的微分方程的初始条件,判别一个Hamilton可积系统是否稳定.但是它们十分敏感地依赖于对初始条件的选择。在经典和现代物理中，Hamilton可积系统是极其稀少的，但是可积Hamilton系统的扰动确实普遍存在的。于是人们开始研究近可积Hamilton系统，来判定这些不变环面经过扰动后是否任然存在。Poincare曾经证明，非退化可积系统的共振环面在任意小的扰动下都可能发生破裂。由于共振环面是可积系统不变环面集的一个可数稠密子集，以至于当时人们普遍认为近可积系统乃至所有的不可积系统都是遍历的，然而到了1954年，kolmogorov宣布了一个非常令人吃惊的结果：

非退化的可积系统的强非共振环面在充分小的扰动下，大部分的不变环面任然会保持下来，而且相对非扰动系统的不变环面只有微小的形变，且这些环面上的运动任然是拟周期的。直到1963年，这个结果由Arnold给出了严格的证明，与此同时，Moser对辛映射在充分光滑的情况下证明了以他名字命名的扭转定理。至此，经典KAM定理完全建立起来了，随着研究的不断深入，KAM定理发展成为一套完整的KAM理论，他的主要内容是研究具有辛结构的Hamilton动力系统不变环面的存在性极其线性稳定性。

Hamilton系统理论是既经典有现代的研究领域，可以从不同角度进行研究，变分方法便是其中之一，Hamilton系统是具有变分结构的系统，求Hamilton系统的解可以转化为寻找其对应泛函的临界点，真是于此，Hamilton系统研究与最近20多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相结合取得了巨大的发展，特别是在应用变分方法寻找Hamilton系统的周期解、 同宿轨道解、 异宿轨道解和其他形式的轨道解方面，取得了很多成果。

3、简述本文将做的工作

研究一类等时二阶系统的拉格朗日稳定性,我们证明的主要想法是基于Ortega 的小扭转定理,它主要包括两个步骤。第一个是运用规范型的思想，通过坐标变换，将原系统化为可积系统的小扰动，再应用扭转定理证明拟周期解的存在性和所有解的有界性。第二个是转化后的等时系统满足小扭转定理，从而得出原系统的拉格朗日稳定性。

第二章 论证过程及结果

一，简介和主要结果

我们先看下面这个问题的全部解的有界性

（1.1）

由Littlewood [10] 发起，一直是许多研究的主题。Morris[16]已给出，当 ， p(t) 是连续的且所有解都有界的。 Levi[8]考虑 (1.1)，这里的 V 满足超二次增长且有奇点。[10]中也得到了类似的结论。在[13]中，柳已证明下列不对称方程解的有界性

，

这里

在这种情况下，非扰动方程

（1.2）

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