TOPOLOGICAL SPACES

1. THE NOTION OF TOPOLOGICAL SPACE
2. Convergence.In elementary analysis,we meet some convergence notions which are not defined by a metric or a pseudo-metric or even cannot be defined in this way.In order to define these sorts of convergence,we can use as a pattern that form of the definition of convergence in metric space(or in Euclidean space) in which spherical neighbourhoods of points were introduced,first with the help of notion of distance and later with the requirement that each neighbourhood of this type of the limit point contain the members of the sequence staring from a sufficiently large index.

E.g. If we want to define infinite limits of numerical sequences,we denote by E the set consisting of the points of the real line R and the symbols ＋ and －,and define the neighbourhoods of the points of R as usual,then agree to call neighbourhoods of ＋ the “infinite intervals” ,neighbourhoods of － the “infinite intervals”；here the elements of are the real numbers large than and ≦,while elements of are the real numbers smaller than and ≧.We say then that the numerical sequence converges to if we can find, for each neighbourhood of ,an index such that for ≧.With the help of the neighbourhoods ,can be described in a similar way.

In connection with one-sided continuity of functions of one real variable, it happens that a numerical sequence “converges from the right”or “converges from the left”to the limit .In order to define this, let us call “neighbourhoods on the right”of the sets of the form and “neighbourhoods on the left”of the sets ,and say that converges from the right (from the left) to whenever,for each neighbourhood on the right (left) of ,there exists an such that for .

Among the various types of convergence of sequences of functions, point wise convergence is the most natural; we say that the sequence of functions defined on the set oslash; converges point wise to the limit function if, for every ,the numerical sequence of the values converges to the value of the limit function. This can be described just as before if we define the “neighbourhoods”of the function as the sets of functions of the form where is an arbitrary element of and denotes an arbitrary positive number. The fact that pointwise means in fact that, to ever neighbourhood of , we can find an such that for .

Staring from these examples, the following general definition of convergence can be obtained : we assign to each element of , called “neighbourhoods of ”, and say that a sequence () consisting of elements of “converges to ”if, for each neighbourhood of , there exists an index such that for . The only question is what conditions are to be assumed with respect to the sets designated as neighbourhoods in order to get a general notion of convergence which includes the former examples and is useful.

In this connection, let us first notice that it is quite natural to require that theorem(1.2.4) be fulfilled, i.e. That the sequence converges to . This is ensured by the fact that each neighbourhood of contains itself; this was true in all our former examples and we shall assume it henceforth.

On the other hand, we have to consider that the neighbourhoods of the point may be defined in several different ways, so that the same notion of convergence arises from different notions of neighbourhoods. Thus it is firstly evident that, if the systems of sets are related to each other in such a way that each set contains a subset and each set of contains a subset from ,then the same sequence will converge to if we consider as its neighbourhoods the sets from or the sets from . We arrive e.g. at the usual notion of convergence on the real line if we consider as neighbourhoods of , not the sets as usual, but the sets of one of the following systems of sets:

(a) the sets ;

(b) the sets ;

(c) the sets ;

(d) all open intervals containing ;

(e) all open intervals with rational end-points containing .

It would be easy to continue this list.

We get in the same way, in a pseudo-metric space , the usual notion of convergence by considering as neighbourhoods of ,instead of the balls , one of the following sets:

(f) the closed balls ;

(g) the balls ;

(h) the balls ;

(i) all balls containing ;

(j) all balls with rational radii containing ; etc.

We can add to these, in the space ,e.g.

(k) the open bricks ;

(l) the closed bricks ;

(m) all open bricks containing .

Let us then notice that if we define the sequences converging to by considering as neighbourhoods of the sets belonging to a system of sets , and we add to the neighbourhoods of the sets of the form , where , then the same sequences will converge to . In fact, if for and whenever , then, if , is true for . In the same way, it has no effect on the sequences converging to if we add to the neighbourhoods of the sets obtained as the intersection of a finite number of sets from .

Consequently two systems of neighbourhoods lead to the same notion of convergence if each set from has a subset from and each set from has a subset from , as well as when consists of the finite intersections of sets belonging to . In view of the notion of convergence it makes no sense to distinguish between systems of neighbourhoods which are in a relation of the above type to each other. Before formulating the definitions, it is therefore useful to study more thoroughly the relation of this type among syetems of sets and to introduce a suitable terminology. This is the purpose of the following section.

2.1.b. Centred systems, filter bases, filters. In what follows, we understand by a system of sets a non-empty system of sets. We shall frequently speak of a system of sets whose elements are subsets of a given set ; we speak then of a system of sub

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拓扑空间

1. 拓扑空间的概念
2. 收敛性。在初等数学分析中，我们遇到了一些收敛的概念，这些概念不是由一个度量或一个伪度量来定义的，甚至不能用这种方法来定义。为了定义收敛的这些概念，我们可以使用一个模式，在度量空间形式的收敛的定义（或者在欧几里得空间）的帮助下第一次介绍了距离的概念，介绍了空间邻域的点的概念，每个邻域的这种类型的序列的极限点可以索引收敛到包含点。

例如，如果我们想定义数值序列的无限极限，我们把点集E表示成线集R上的点，并且引入和这些符号，并且定义R的邻域上的点都是一般的点，然后我们可以把的邻域叫做无限空间，把的邻域叫做无限空间，这里的元素是一些大于小于等于的实数，同样的元素表示的是大于等于小于的实数。然后我们说如果我们能找到一个趋向于的邻域，另外是一个使得的数，那么这个数值序列就收敛。同理我们也可以表述下收敛的定义。

在一个实数函数的单向连续性上，一个数值序列从右到左收敛（或者从左到右收敛）到，是有意义的。为了定义这个概念，让我们把右边的集合称为右边的邻区间，左边的集合称为左边的邻区间，然后我们说数值序列肯定从右（从左）收敛到，对于任意的右（左）邻域，存在一个，中的。

在各种函数序列的收敛性中，逐点收敛是最基本的，我们说的序列集合上定义函数，逐点收敛到极限函数，对于每一个中的值的数值序列收敛到函数。这可以被描述为，如果我们定义函数的邻域作为形式的函数集，是的任意元素，表示一个任意的正数。事实上，逐点的意思是，对于任何一个的邻域，我们都可以找到一个，，并且。

从这些例子出发，接下来我们可以获得收敛的一般定义：我们分配给每个中的元素，称为的邻元素，组成的序列收敛于，对于每一个邻元素，存在一个，，。唯一的问题是，对于被指定为邻域的集合，在指定的集合中有什么条件，才能得到一个普遍的收敛概念，其中包括之前的例子，才能使得概念是有用的。

在这个过程中，我们首先要注意的是，要求定理（1.2.4）被满足是很自然的，即序列收敛到。这确保了的每个邻区间都包含本身，这在我们以前的所有例子中都是正确的，我们将从此假定它。

另一方面，我们必须考虑到点的邻域可能以几种不同的方式来定义，因此相同的趋同概念源于不同的邻域概念。因此,首先明显,如果和是相互关联的,这样每组， 和的每组包含一个子集包含一个从子集,那么相同的序列将收敛于，我们认为它的邻域是或的集合。在通常的概念上，如果我们考虑的是的邻域，而不是像往常一样的集合，而是下列集合系统中的一组：

（a）集合，

（b）集合，

（c）集合，

（d）所有包含x的开区间，

（e）所有以x为端点的有理数开区间。

很容易继续这个列表。

我们以同样的方式，在一个伪度量空间中，通常的收敛概念是考虑作为的区域，而不是球区间，下面的一组：

（f）闭区间，

（g）区间，

（h）区间，

（i）所有包含x的区间，

（j）所有包含x的半球区间等。

我们还可以在空间添加一些集合，例如，

（k），

（l）,

（m）所有包含x的开区间。

让我们注意到,如果我们定义序列收敛于x通过考虑的邻域设置的集属于一个系统,我们增加x的邻域集的形式,,那么相同的序列将收敛于x。

实际上，如果和和，如果，如果，如果是对。同样，如果我们在x的邻域内加上一个从到的有限数集的交集，它对收敛到x的序列没有影响。

因此，如果每个集合从中得到一个子集，而中的每一个集合从中得到一个子集，以及由属于的集合的有限区间组成，那么两个邻域和就会导致相同的收敛概念。考虑到趋同的概念，区分不同的邻域系统是没有意义的。因此，在制定定义之前，要更深入地研究这种类型的系统之间的关系，并引入合适的术语。这是下一节的目的。

2.1.b。集中系统。接下来，我们通过一个系统来理解一个非空的集合系统。我们将经常提到一个集合的系统，它的元素是给定集合E的子集;我们说的是E或E的集合系统的子集。

让和是集合的系统。我们说比大，或者比更小，表示为或，如果每个有一个子集，。我们马上从定义中得到:

(2.1.1) (a) 如果那么；

(b) 如果，，那么。

如果同时符合和，那么我们说集合和的是等价的，表示为~。从(2.1.1)看来，这确实是一个等价关系。

在给定的集合E上，我们可以将E的子集的系统安排在等价类上对应于上述等价关系。在这种类型的每个等价类中，都有一个不同的集合系统。为了看到这一点，我们假设E的系统在E中如果，，是升序的。很明显:

(2.1.2)如果和是E的子集和在E中提升的系统，那么就意味着。

(2.1.3)如果和是E和 ~中集合的提升系统，那么。

因此，在(2.1.1)中表明，我们可以这样说，对于在E中提升的集合系统，lt;与的关系和～与=的关系是一致的。因此，E的每一个等价类的系统都可以包含在E中提升的一个集合系统。另一方面:

(2.1.4)是E的任意子集。然后，E的子集包含一个从组成的子集合，它等价于，并在E中提升;它被称为由生成的集合的提升系统。

因此，每一类E的亚集合的等价类都包含一个在E中提升的系统的一个系统;在E中生成相同的系统的两个子集是等价的。

一个特别重要的角色是在E中提升的那些系统，它们在相互之间封闭。下面的定义是指这个:我们称系统在一个系统中在一个系统中提升，如果它由非空集组成，如果两个集合的交集也属于。

有时，“由非空集组成”的条件从前面的定义中省略;然后，E中包含的唯一提升系统，因此包含了所有的E的子集，在E中被认为是一个过滤器;在这种情况下，E中的所有其他过滤器称为适当的过滤器。我们在这里只过滤适当的过滤器。一个例子是，，与属性的集合系统;这称为与A关联的E的主系统，由A表示。在由单个元素组成的集合的特殊情况下，我们讨论与x有关的基本系统，并使用符号x。

一个重要的角色将由E等效于E的一个过滤子集系统来发挥作用;E中的滤镜底座是这种类型的。一般来说，如果集合由非空集组成，并且如果有两个属于的集合的交集包含一个的子集，那么集合的系统就是一个过滤器基。显然任何过滤器过滤基础;另一个简单的例子是系统设置组成的单一非空集A,以及任何系统(a)-(e) 在前一节中定义的实线,那些(f)-(g),(j)和(k)- (m)中定义度量空间。

(2.1.5)任何与过滤器基础等效的集合系统本身就是一个过滤器基础。

证明。让成为一个滤波器基和~ 。对于，这里是R包括，因此如果，有这样的，然后这样的，最后这样的。因此。

因此，一个相当于过滤器的集合系统必须是一个过滤器基础。

相反:

(2.1.6)如果是E的一个过滤器，那么由生成的系统在E上的提升是一个过滤器，它被称为由生成的E的过滤器，被称为过滤器的基。

证明。如果，存在这样的，因此意味着。另一方面，如果，选择这样的和这样的。和。

例如，过滤器基础由单个元素组成，其中在E的主过滤器中生成过滤器，而过滤器基础由单个组成，其中生成基本的过滤器x。

在前面的定理中，一个过滤器的基础是E中的一个过滤器基，它生成作为E的一个提升系统，也就是说，它等于。根据(2.1.2)和(2.1.5)我们可以说:

(2.1.7)一个集的系统是E()的过滤器的基础，而每个有一个子集。

比过滤器更粗的系统也很有趣;中心系统是这种类型的。让我们所有的集合的系统，如果一个从的集合的有限交集从不是空的。显然，任何过滤器基础，尤其是任何过滤器，都是一个中心系统。

(2.1.8)一个比中心系统更粗糙的系统再次集中。

证明。让成为一个中心系统和。然后为,

有,。表示。

因此，在E中，一个比过滤器基更粗的系统必须以中心为中心。相反:

(2.1.9)让是一个集中系统在有限集滤波器之后形成一个在E生成比,同时更粗(最小的)过滤器在E,是一个基本集合。

证明。当处于中心时，属于的集合不是空的，而属于的两个集合的交集属于。因此是一个过滤器基础。显然，所以。如果在E中、、、、和;(2.1.2)，这意味着。

因此，过滤器的子基础是E这样的子系统，对于任何，都有和。过滤器基明显地在E中生成与为过滤器基所采用的以中心系统为中心的过滤器。实际上，(~)对过滤器所生成的过滤器保存，因此对每个过滤器都要比更细。

让和成为两套系统，让我们用它们的帮助来定义另外两个系统如下:

(2.1.10) ,

(2.1.11) .

从定义上，我们立即得到

(2.1.12) .

(2.1.13) .

(2.1.14) .

(2.1.15) 如果 然后 .

(2.1.16) 如果 然后

.

(2.1.17) 如果 ～,～然后

～,～.

(2.1.18) .

2.1.19)系统是一个过滤器基础，如果和。

(2.1.20)如果在和中升序为，然后在中提升，在中提升。

证明。假设。如果

然后

意味着

和。

另一方面，如果

然后

意味着

和。

(2.1.21)如果a和b是过滤碱基和，那么是比a和b都细的最粗的过滤器基之一。

证明。根据(2.1.19)假设，

并且(2.1.18)是一个比a和b都更好的过滤器基。另一方面，如果是一个过滤器基础和那么。

(2.1.22)是比这两个和都更粗糙的系统。

证明。我们从(2.1.18)中知道，这个比两个和都粗。如果是这种类型的另一个系统，那么存在，，和，因此，因此。因此。

(2.1.23)如果a和b是过滤器基础，那么也是一个过滤器基础。

证明。显然由非空集组成。如果，有这样的。然后。

让我们注意以下的结论(2.1.20)-(2.1.23):

(2.1.24)如果在E 中，a和b是过滤器,然后是一个过滤器,以及,如果条件满足;更确切地说是最好的过滤器在E比a和b都粗,和的粗过滤器E比a和b都细。

(2.1.25)如果是E、和中的过滤器，那么则是A中的过滤器。

让我们注意到，以中心或过滤器为基础的属性是一个“内部”，一个集合系统的“绝对”属性;另一方面，系统可以提升或只对给定的集合进行过滤。在前几节中，由哥特式大写字母表示的任意集合系统，以哥特式小写字母为中心的系统(尤其是过滤器的过滤器基础)。接下来，我们也要这样做。

2.1.c。邻域结构。现在让我们回到关于收敛的一般概念，在2.1.a中检验。我们通过对E的每个元素x进行赋值来得到它，这个系统包含点x，这个系统的中心是当然。我们已经看到，由x和其他与后者等价的其他系统组成的“邻域”的有限交集组成的系统，根据(2.1.9)，由给定区域的中心系统生成的过滤器提供了相同的收敛概念。因此它不会限制普遍性如果我们提前开,条件是我们要分配给每个元素x ，E ，E过滤器的组成的集包含x;本协议是有用的因为有限的十字路口不直通一个过滤器和过滤器相当于彼此一致。

因此，我们同意下面的定义:如果E是一个任意的非空集，那么让我们把它指定为E的一个邻居结构，在E中分配给每个元素一个过滤器，在E中包含一个包含x的集合。我们称这一对为集合E和邻域结构一个邻域空间、E点的元素、属于点的过滤器属于x的邻域滤波器和x的集合。

请注意，邻域结构决定 E的惟一性，因为E是任何邻区过滤器中最大的集合。因此，如果给定，则邻域空间已经定义，我们称其为邻里结构的支持。

小区滤波器的任何基础或子基都被称为小区基础或点x的邻区基。因此，x的邻域是一个由x的邻域组成的系统，其中x的任何邻域都包含一个属于给定系统的子集。类似地，一个x的邻域基是一个x的邻域系统，x的任何邻域都包含一个属于给定系统的合适集的有限交集。

我们可以通过开处方来确定一个邻域的结构，而不是邻域的过滤器、邻域基地或邻域基。面对,如果我们分配给每个元素x(E过滤器基地E)组成的集包含x和表示过滤器生成在E,我们显然得到E上的社区结构,这个结构,将x的邻域基础。以同样的方式;如果表示一个系统的集E(显然集中)组成的子集包含x,然后被分配到x邻域结构过滤器由和生成的E,对这个邻域结构,是一个邻域x的底基层。邻里结构主要有两种方式。

如在度量空间E,球,对于一个给定的点,构成一个过滤器基础;考虑到过滤器生成的 x的邻域过滤,得到E上的邻域结构,它叫做邻域度量空间的结构。关于这个，x的邻域是包含一个x的球面的集合，即x是一个内点的集合。我们采用的是相同的邻域结构，而不是球体的过滤器基础，任何其他类似于它的过滤器基础，例如，2.1.a (f)-(j)或在(k)-(m)下的枚举，以及(a)-(e)下的枚举。

以同样的方式，在2.1.a中给出的“邻域系统”。在集合或R本身上，为了研究收敛到无穷或单向收敛，是邻域基础每一个定义一个邻域结构。

另一方面,所介绍的“邻域”,以定义的点态收敛函数集上定义一组,不能构成一个过滤器基地E(如果不包含任何设置的形式),因此他们只能被认为是作为一个邻域底基层,然而,重新定义了一个邻域结构E。

2.1.d。在邻近的空间中，集合，开放和封闭的集合。我们可以很容易地说服自己，上面定义的邻域空间的概念使我们能够定义点序列的收敛性。如果是邻域空间中的任意序列(这意味着)，那么我们说收敛到极限点，表示:或者，如果，对于每个相邻的区域，都有一个这样的索引，，。

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