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非保守和非完整的Noether对称性时间尺度上的系统

在文章中，我们提出了一种新方法来研究非保守和非保守的诺特对称性和守恒定律。时间尺度上的机械系统统一了诺特的两个案例。连续理论和离散的非保守和非完整系统。首先，等时变化之间的交换关系和三角形导数得到了等时变化与时间尺度上的总变化之间的关系。其次，利用交换关系，汉密尔顿的原理被提出用于非保守系统利用三角形导数，得到系统的拉格朗日方程。第三，基于准的不变性关于时间和广义坐标的无穷小变换下系统的哈密顿函数，给出了诺特定理和时间尺度上非保守系统的守恒定律。第四，提出了具有三角形导数的达朗贝尔 - 拉格朗日原理，以及具有三角形的非完整系统的拉格朗日方程获得了delta;衍生物。此外，还得到了Noether定理和时间尺度上非完整系统的守恒定律。最后，我们提出了离散系统诺特定理的新版本。几个例子用于说明我们的结果的应用。

1简介

时间尺度的计算是一个相对较新的领域，由希尔格介绍，为了统一连续和离散分析。时间尺度变化的微积分处于调查的初始阶段，但似乎在几个领域有很多应用：变异计算，控制理论，和最优控制。时间尺度的应用也可以应用于其他领域如工程，生物学，经济学和物理学。目前的工作致力于研究任意时间尺度变化的微积分问题。在特定情况下，人们可以获得标准的微积分变异，控制理论和速度相关的对称性在选择; 变量的离散时间演算和和诺特型定理的离散模拟通过;可以得到变量的q演算选择

我们考虑变量微积分的基本问题按照Bohner 定义的时间尺度:

其中是前向跳跃算子，是delta相对于q的导数和拉格朗日是函数。关于变化演算的几个经典结果可用于时间尺度的更一般的上下文，例如欧拉 - 拉格朗日方程，第二个欧拉 - 拉格朗日方程和等周问题的必要最优性条件。另外，它可以用于解决高阶delta;-导数问题，时间尺度上最优控制问题的弱最大值原理和时间尺度上的Noether定理。这样的结果也可能在时间尺度上通过nabla演算制定。

在大多数经典Noether原理的配方中，Noether转换保留了整体功能

不变。但是，可以考虑将问题转换为精确的微分，称为标准项[30]。 在这里，我们感兴趣的是在时间尺度上提供Noether原理的更一般结果，该时间尺度可应用于离散的连续情况。结果本文给出了具有delta;导数的非守恒和非完整系统的拉格朗日方程。基于这些关键结果，可以推导出Noether准对称性和守恒定律。

在这里，我们审查delta差异和整合时间尺度。我们还研究了时间尺度上的变分关系。通过推导出具有delta;导数的非保守系统的Hamilton原理，我们可以得到拉格朗日方程。从此我们可以获得Noether定理和守恒定律时间尺度上的非保守系统。另外我们提出非完整系统的拉格朗日方程用delta导数，然后我们给出Noether定理非完整系统的准则和守恒定律秤。最后，我们讨论了两个特殊情况假设和分别获得经典Noether定理和广义的离散模拟Noether定理的非完整系统定理非保守的情况。两个例子被认为是清楚我们的结果的应用。

2时间尺度和以前的结果

在本节中，我们收集的定义和属性时间尺度。其他地方可以找到更多。非空的闭合子集称为时间尺度。除了连续时间R和离散时间Z之外，模型N也是时间尺度.

对于，我们定义了前向跳跃算子

而后向跳跃算子

并且定义了粒度（或步长）函数,

备注1如果，那么和对于任何。

如果，那么，和对于每个，

一点称为右散，右密，左散和左密，如果和 , 如果，我们可以认为t是分离的，那么如果 则t是密集的。如果是有限的并且是左散的，我们设置。否则，

我们可以认为函数是的delta可区别，如果对于任何给定的，有一个邻域对于一个真实的数字，有以下不等式

所有，我们称为f的三角形导数。请注意，在右密集点

提供此限制的存在。在右散点

如果f在t处连续。此外，如果f是可微分的，我们可以很容易地获得

如果f和g都是可微分的，那么也是如此

我们将缩写为 

备注2如果，则f是t处的delta导数。当且仅当f在普通意义上是可微分的时候，所以。如果，那么f：是每个的导数

接下来，函数f：如果是T属于R，则称为rd-连续连续在右密集点，如果它的左侧限制存在于左密集点。 我们可以使表示该集合所有rd-连续功能将表示该组具有rd-连续导数的所有可微函数。rd-连续函数以及具有反...衍生物，即存在T到R的函数F，有

在这种情况下，我们定义f从a到b的delta积分

而f的不定积分定义为

其中C是任意常数。 我们还需要使用delta导数和积分的以下属

其中到R是递增的图像是一个新的时间尺度。

对于函数f：(T到R)D的第二个delta导数

只要是可区分的，在

现在让我们回顾一下参考文献中提出的（第一个）欧拉 - 拉格朗日方程。 我们可以使用_i L来表示L相对于第i个变量的偏导数。

引理1（欧拉 - 拉格朗日方程）如果问题的最小化，那么满足欧拉 - 拉格朗日方程：

引理2（杜波依斯，雷蒙）设,那么

对于所有与，当且仅当在 表示某些

3时间尺度上的变分关系

3.1等时的交换关系变异和三角形衍生物

考虑两个无限闭合的轨道 和。我们注意的广义坐标，对应于两个无限闭合的轨道，分别在时间尺度上给出时间T。

我们可以将等时变化定义为：

将扩展到的线性项，我们可以得到

将（7）代入（6）可得

同理可得

根据公式。（3）和（7），我们得到

比较公式。（10）和（9），我们推导出

我们可以参考公式。（11）和（12）作为关于delta;导数和等时变化的交换关系。

3.2等时变化与总变差之间的关系

我们继续研究无限闭合轨道和。 对于任何，广义坐标由给出，其中，所以我们有

考虑的总变差，我们可以得到

因为t是相对于 的时间变化，因此

把（8）和（14）代进入（13），我们获得

我们可以将（15）称为等时变化与时间尺度上的总变化之间的关系。

4 汉密尔顿的原理和拉格朗日方程对于具有三角洲衍生物的非保守系统表

假设系统的动能函数是汉密尔顿的原则说明了实际

哈密顿动作确定时存在节奏值。 因此汉密尔顿的非保守原则具有三角形衍生物的系统可以写成如下形式：

其中 是广义力的虚功。我们得到函数T的总变差。

将（17）进代入（16）可得

因此，通过引理2，我们可以得出

于是

当包含保守力和非保守力时，满足以下条件：

如果是潜在的，也就是说，存在一个函数

那么

将（19）代进入（18），我们有

由于该函数仅取决于广义坐标，因此

将（21）代入（20）可得

引入函数，我们可以把（22）写成：

如果具有广义潜力，即存在函数那么

然后是（18）可以写成：

引入函数，我们可以得到具有导数的非保守系统的欧拉 - 拉格朗日方程：

5,时间尺度上非保守系统的Noether定理

为了简化表达式，我们写了代替

类似于L的偏导数。

定义1（不变换时间的不变性）

让成为一组函数.在一个参数的状态变换族中，函数被认为是非保守系统的准不变量：

当且仅当

对于任何子区间任何，任何是非潜在的力量和仪表功能

定义（保护法）

数量被认为是U上的功能的守恒定律当且仅当存在所有qisin;U，满足广义的欧拉 - 拉格朗日方程公式（23）对于非保守系统。

定理1（不变性的必要条件）如果函数在转换时对是准不变的（24），

然后

对于所有和和

证明。 由于条件（25）对任何子区间有效，我们可以得到以下等价方程：

区分方程式的两面 （27）关于，那么把，我们可以得到相等（26）。

定理2（Noether定理的非保守定理没有改变时间的系统）如果方程在单参数族上的U是准不变的转换（24），然后

是一种用于非保守系统的三角形衍生物的守恒定律。

证明。 使用公式（23）和（26），我们可以派生

上述讨论仅取决于转变状态变量。 现在让我们考虑一下以下关于的无穷小变换时间和状态变量：

其中和是delta可微函数。设是一组1个函数我们假设映射是

每个，每个和任何增加1个函数，其图像是前向的新时间尺度跳操作员和导数。我们要使用以下式子：

定义3（非保守系统的不变性）

据说功能在下是准的不变量无穷小变换（29）当且仅当对于任何变换子区间，任何ε，任何：

定理3（方差的必要条件）如果函数在变换下对是准不变的（29），那么

证明对于任何子区间，任何，任何，

我们有

由于是任意的，我们可以获得

区分方程式的两面关ε，那么将,并使用以下等式：

因此，我们可以获得Noether恒等式（30）。

定理4（Noether定理的非保守定理系统）如果函数在上是准不变的，那么

是时间尺度上非保守动力系统的守恒定律。

证明。 让

很明显，对于和任何

所以函数

我们观察，每当

考虑给出的无穷小变换通过并让。对于，利用方程我们可以获得

所以对于我们可以得到

使用定义1我们观察到是一个不变的在无穷小的变形下：

应用定理2，我们得到

是一个守恒的数量。 因此

设置代入，再将代入，我们就可以得到

6非完整系统的Noether对称性与阿佩尔切塔耶夫类型约束的时间尺度。

6.1非完整系统的广义拉格朗日方程具有三角导数的系统

我们假设机械系统的配置由广义坐标确定。该系统的理想非完整性倾斜的阿佩尔切塔耶夫类型：

假设条件（36）对虚拟的限制位移如下：

我们称之为（37）Chetaev与导数的条件。

现在，我们让我们考虑达朗贝尔 - 拉格朗日原理和delta导数。根据（18），显然具有delta导数的通用达朗贝尔 - 拉格朗日原理可以写成：

引入拉格朗日乘数lambda;，并将lambda;乘以方程式的两面，我们获得

综合（39）和（38），我们可以得出

根据（40）我们有

当Q包含保守力Q和非保守力Q时，Q满足以下条件：如果Q是潜在的，那么我们有

利用（21），代入（42）

介绍函数L = T-V，我们重写（43）

如果Q具有广义潜力，那么（41）可以写成：

引入函数，我们可以得到

公式（45）被认为是运动方程式完整系统的三角形导数对应

非完整系统（36）和（44）。

6.2时间尺度上非完整系统的Noether定理

定义4（保护法）数量被认为是方程的守恒定律

在上，当且仅当沿着满

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