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收到日期:2014年6月16日/修改日期:2014年7月17日

copy;斯普林格出版社维恩2014年

摘要提出了一种新的分数动力理论，即分数动力理论。， Birkhoffian的动力学用分数阶导数系统(分数伯霍夫力学)，给出了一种一般的计算方法利用组合分数的定义，构造了实际问题的动态模型导出了一个统一的分数Pfaff作用和一个统一的分数pfaf - birkhoff原理给出了在分数导数的不同定义下的四种分数pfaf - birkhoff原理。然后，利用分数pfaf - birkhoff原理，建立了一系列分数Birkhoffian建立了不同分数阶导数的方程，构造了自治压裂的张量表示一对Birkhoffian方程。在此基础上，进一步研究了分数比霍非系统的相互关系给出了分数哈密顿系统和分数拉格朗日系统的变换条件。此外，作为分数伯克霍夫法的应用，我们构造了五种分数动力学模型包括分数Lotka生化振荡器模型、分数惠特克模型模型、分数Hojman-Urrutia模型、分数Henon-Heiles模型和分数Emden模型模型。

1介绍

随着科学技术的发展，哈密顿动力学系统已经成为一个重要的研究领域不仅在现代力学中起着重要作用，而且在物理、数学、工程科学、非线性等方面也起着重要作用科学、天体力学和社会科学[1-11]。1927年，美国数学家伯克霍夫提出对哈密顿系统进行了推广，提出了一种新的积分变分原理和新的形式运动方程在他的著名著作[12]。1978年，美国物理学家桑蒂利进行了初级实验对Birkhoffian系统的研究取得了一定的成果。除了伽利略的推广相对论、桑蒂利研究了Birkhoffian方程、Birkhoffian方程的变换理论等(13、14)。1992年，梅和他的同事构建了Birkhoffian动力学的理论框架[15-17]。birkhoandynamicis比hamilton namicics更通用在许多科学和工程领域都得到了广泛的应用，因此Birkhoffian动力学应该也在这些领域发挥着更重要的作用，并已应用于非线性动力系统[17-21]，相对论体系[22]、旋转相对论体系[23,24]和量子体系[25]等。分数阶动力系统不仅能更真实地揭示自然现象，而且更接近自然现象工程实践。20世纪70年代末，曼德尔布罗特发现了大量的分数维度的例子存在于自然界中。自此，分数阶动力学的研究成为一个热点，并在理论和应用方面得到了广泛的发展，包括分式力学、分式

研究。罗(B)·y.l。徐

浙江理工大学数学力学与数学物理研究所，

中华人民共和国杭州310018

电子邮件:mmmplsk@163.com

非完整系统的分数阶动力学和分数广义哈密顿量力学[27-43]及其应用[44-50]。为了更好地解决分数维数问题在科学与工程中，有必要提出一种伯霍夫系统的分式动力学理论。在本文中，我们提出了一个新的分数动力学理论。，分式伯霍夫力学给出了一种建立实际问题的分数阶动力学模型的通用方法科学和工程。

第二节简要介绍分数阶导数及其性质。

在第三节中，我们提出了统一的分数法pfaf - birkhoff原理，并给出了四种分数法分数阶导数不同定义下的pfaf - birkhoff原理。

在第四节中，我们根据分数的不同定义建立了分数Birkhoffian方程分别导数。

第5节探讨自治分数Birkhoffian方程的张量表示。

第6节讨论了分数伯克霍夫系统，分数哈密顿量之间的关系并给出了系统和分数拉格朗日系统的变换条件。

第12节载有结论。

2分数阶导数及其性质

介绍黎曼-刘维尔、卡普托、黎曼-刘维尔和黎曼-卡普托因为它们与分数Birkhoffian方程有关。假设函数f(xi;)是连续的和每个有限区间(a,t)和每个有限区间(t,b)都是可积的导数是

(1)

(2)

左边和右边的Caputo导数是

(3)

(4)

riesz -黎曼-刘维尔和Riesz-Caputo的导数是

z (5)

(6)

在这里,D是传统的导数算子,alpha;是分数导数的顺序,这样nminus;1le;alpha;lt; n。当alpha;是整数时，整数定义在导数上时，注意到Riemann-Liouville 导数不总是零，尽管卡普托一个常数的导数为零,alpha;= 1,左导数是右导数的负数。

当我们要处理显示时间箭头的动力系统时，我们需要考虑算子D t和t Dbeta;alpha;b:为了了解历史和未来的动态，有必要考虑一下不同数量的信息来自过去和未来。结合黎曼-刘维尔的定义包含左右分数阶导数的分数算子为[33]

(7)

这里gamma;isin;[0,1],gamma;意味着分发大量的左边和右边部分分数阶导数，,它可以

根据需要分配。由式(7)可得

(8)

(9)

(10)

式(7)同样适用于Caputo导数:

(11)

由式(11)得

(12)

(13)

(14)

从方程式。(10)(14)我们知道，结合黎曼-刘维尔导数可以化简为

黎曼-刘维尔导数。类似地，合并后的Caputo导数可以约简为

里斯-卡普托导数。

在接下来的讨论中，我们将需要分部积分的公式。这些公式是作为[32]

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

1. 统一分数Pfaff-Birkhoff原理

pfaf - birkhoff原理是构建Birkhoffian方程的重要基础[13-15]。在这个我们定义了一个统一的分数Pfaff作用，并给出了一个统一的分数pfaf - birkhoff原理。然后，在此基础上统一了分数法-伯霍夫原理，给出了我们的分数法-伯霍夫原理分别在分数阶导数的不同定义下。

假设的局部坐标机械系统是由一个nu;Birkhoffian变量a(nu;= 1,2,hellip;,n)。Birkhoffian是B (t),比尔科夫函数Rnu;(t)。我们定义了一个统一的压裂-一对普法夫行动

(21)

在同时变分的条件下，有

,

(22)

称为统一分数法-伯克霍夫原理。

案例A:基于黎曼-刘维尔导数(1)和(2)的定义，利用式(7)，得到Pfaff动作(21)改为

(23)

统一分数pfaf - birkhoff原理(22)可表示为

(24)

式(24)称为分数pfaf - birkhoff原理，由黎曼-刘维尔组合定义导数。

案例B:基于riesz - riemann - liouvillederivative(5)的定义，将pfaffaction(21)改为 (25)

统一分数pfaf - birkhoff原理(22)可表示为

(26)

方程(26)iscalledfractionalPfaff-BirkhoffprincipledefinedintermsofRiesz-Riemann-Liouvillederiv -

性。

案例C:根据Caputo导数(3)和(4)的定义，利用式(11)，Pfaff作用(21)

更改

(27)

统一分数pfaf - birkhoff原理(22)可表示为

(28)

式(28)称为分数pfaf - birkhoff原理，由组合Caputo导数定义。

案例D:根据Riesz-Caputo导数(6)的定义，Pfaff作用(21)变为

(29)

统一分数pfaf - birkhoff原理(22)可表示为

(30)

式(30)称为分数pfaf - birkhoff原理，由Riesz-Caputo导数定义。当alpha;,beta;→1,我们有

(31)

然后将分数式pfaf - birkhoff原理(22)、(24)、(26)、(28)、(30)分别简化为整数pfaf - birkhoff原理[14,15]

(32)

4分数阶Birkhoffian方程，基于不同的分数阶导数定义

在不同的分数导数定义下，利用上述不同的分数pfaf - birkhoff根据分式积分原理，可以选择相应的分式积分公式，构造分式分别是Birkhoffian方程。

4.1用黎曼-刘维尔导数组合定义的分数Birkhoffian方程展开式(24)，有

(33)

0 lt;alpha;,beta;lt; 1时,使用方程式。(15)和(16)我们有

(34)

(35)

用方程式。(34)、(35)式(33)可表示为

(36)

根据积分区间[a,b]的任意性，得到

(37)

根据独立delta;amu;,我们有

(38)

式(38)称为分数Birkhoffian方程，由黎曼-刘维尔组合定义导数。

当gamma;= 1,式子。(38)减少到左部分Birkhoffian方程的黎曼-定义

刘维尔导数

(39)

当gamma;= 0,式子。(38)减少到右部分Birkhoffian方程的黎曼-定义刘维尔导数

(40)

注意，黎曼-刘维尔导数和卡普托导数都自动出现在式子s中。(37)

1. 即使泛函只包含黎曼-刘维尔导数。

如果比尔科夫函数Rnu;不包括时间t,方程式。(38) -(40)被降为自治分数

用黎曼-刘维尔导数定义的Birkhoffian方程。

4.2用黎曼-刘维尔导数定义分数分数伯克霍夫方程

展开式(26)，有

(41)

0 lt;alpha;lt; 1时,使用式子。(19)，有

(42)

用方程式。(41)、(42)可以表示为

(43)

根据积分区间[a,b]的任意性，得到

(44)

式(44)称为分数alpfaf - birkhoff - d ?原则上，这个词的意思是刘维尔导数。

根据独立delta;amu;,我们获得

(45)

式(45)称为分数Birkhoffian方程，用Riesz-Riemann-Liouville定义

导数。

无论是riesz -黎曼-刘维尔的导数还是Riesz-Caputo的导数都是自动的概念，

1. 和(45)甚至当函数包含有李斯-黎曼-六维导数时。

事实上,选择gamma;= 1/2和beta;=alpha;,式子。(45)也可以通过(38)得到

。Birkhoffian (45)

用Riesz-Riemann-Liouville导数定义的方程。

4.3用组合卡普托导数定义的分数Birkhoffian方程

展开式(28)，有

(46)

0 lt;alpha;,beta;lt; 1时,使用方程式。(17)和(18)我们有

(47)

(48)

用方程式。(47)、(48)式(46)可表示为

(49)

根据积分区间[a,b]的任意性，得到

(50)

式(50)称为分数pfaf - birkhoff - d 用组合的形式定义了阿朗伯原理

卡普托的导数。

根据独立delta;amu;,我们有

(51)

式(51)称为分数Birkhoffian方程，用组合的Caputo导数定义。

gamma;= 1时,式子。(51)减少到左部分Birkhoffian方程定义在卡普托

导数

(52)

当gamma;= 0,式子。(51)减少到合适的分数Birkhoffian方程定义而言,卡普托导数

(53)

注意，Caputo导数和Riemann-Liouville导数都自动出现在式子s中。(50)

1. 即使函数只包含Caputo导数。

如果比尔科夫函数Rnu;不包括时间t,方程式。(51) -(53)被降为自治分数

用卡普托导数定义的Birkhoffian方程。

4.4用Riesz-Caputo导数定义的分数Birkhoffian方程

将式(30)展开得到

(54)

0 lt;alpha;lt; 1时,使用式子。(20)

(55)

用方程式。(54)、(55)可以表示为

(56)

根据积分区间[a,b]的任意性，得到

(57)

式(57)称为分数pfaf - birkhoff - d ?根据里斯-卡普托定义的阿朗伯特原理

导数。

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