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Applied Mathematics Letters 64 （2017） 21–26

Applied Mathematics Letters

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关于拓展的（3 1）维Jimbo–Miwa 方程的多孤子解

Abdul–Majid Wazwaz

摘要

我们研究了两个拓展的（3 1）维Jimbo–Miwa方程。我们用简化的Hirota法得到每个拓展方程的不同物理结构的多孤子解。我们还证明了相较于Jimbo–Miwa方程的色散和相移来说，拓展方程的色散关系和相移是不同的。

1. 引言

（3 1）维Jimbo–Miwa方程[1–11]是

（1）

Jimbo–Miwa方程是众所周知的可积系统的KP层次中的第二个方程，被用来描述确定的物理（3 1）维波动，但是没有通过任何常规可积性试验。Jimbo–Miwa方程被研究的是它的解、非可积性和对称性。文献中记载人们用大量有用的方法彻底地研究过这一方程。例如Painleveacute; 方法 [3]、双曲正余切法[4,5,12–14]、简化的Hirota方法、拓展的同宿测试法[6]、有理函数变换法[7]和其他方法被应用于得到孤子、周期性、复合型和行波解。（3 1）维Jimbo–Miwa方程是丰富的模型，给出了各种不同结构的精确解。这项研究通过引入这个方程的两类扩展（3 1）维的形式来扩展我们在[ 4 ]中的工作。

在这项工作中，我们提出了两类扩展（3 1）维Jimbo–Miwa方程如下

（2）

和

（3）

其中（1）式中后两个线性项和分别被拓展成为 和 。两个扩展的形式保留了标准Jimbo–Miwa方程的顺序和维数。

寻找非线性方程组的精确解在科学和工程应用中具有重要的意义。因为它提供了一系列以非线性方程为模型的复杂物理现象的原理。现有的文献中已经有了一套系统的处理非线性方程的可靠方法。各种强大的方法已被用来研究非线性演化方程，如Hirota双线性方法[12-20 ]，Bauml;cklund变换法、Darboux变换法、Pfaffian技术、逆散射法、 Painleve分析、广义对称法及其它方法。其中可积问题的逆散射法比Hirota的双线性法更具有一般性，因为Hirota的双线性法会产生特解。像Maple和Mathematica这样的计算机软件允许我们执行复杂繁琐的计算。

这项工作的目标有两个。首先，我们要研究两个扩展Jimbo–Miwa方程（2）和（3），建立和（1）不同的物理结构的多孤子解。我们发现方程（1）-（3）具有明显的色散关系和明显的相移。而这将导致方程产生不同的孤子解。简化的Hirota法[ 16-20 ]被用来达到这个目的。我们第二个目标是表明，简化Hirota法的强大之处在于它与其他现有技术如逆散射法结合使用的简便性。

为了进一步了解三个不同的方程（1）-（3），我们简要描述了在[4]中介绍过的对于标准Jimbo–Miwa方程的结果。此总结将有助于对从两个扩展方程中得到的结果进行比较。

2. 对现有结果的总结

在[4]中，我们把

（4）

带入（1）的线性项来寻找色散关系如

（5）

因此波变量变为

（6）

接下来我们使用代换

（7）

其中

（8）

因此，单孤子解如下

（9）

对于二孤子解，我们在（1）中使用了辅助函数如下

（10）

在解决相移过程中，我们发现

（11）

为了明确地确定这两个孤子解，我们将这些结果代入公式。三孤子解可以用类似的方式来确定。

3. 第一类扩展的Jimbo–Miwa方程

在这部分中我们利用简化的Hirota双线性方法来研究第一类扩展（3 1）维Jimbo–Miwa方程

（12）

我们将

（13）

代入（12）的线性项，求解的方程，我们得到色散关系

（14）

因此波变量变为

（15）

我们接下来把变换

（16）

其中

（17）

用于方程（12）中并且求解得到

（18）

我们把（17） 代入（16）后得到单孤子解

（19）

对于二孤子解，我们使用辅助函数

（20）

于方程（12）来得到相移

（21）

其中和在（15）中给出，

因此

（22）

为了明确地确定二孤子解，我们将（21）代入（16）式中。

值得注意的是，在和，和是实数的情况下，相移（22）简化为Hirotas式的相移形式

（23）

为了确定三孤子解，我们代入辅助函数

（24）

且同理可得到

（25）

为了确定三孤子解，我们将的最后结果代入（16）中。获得更高一级的孤子解，N4的情况可以通过类似的方式获得。

要指出的一点是，通过标准Jimbo–Miwa方程提供的方法，我们得到了第一类扩展Jimbo–Miwa方程（12）给出的多孤子解。然而色散关系和相移与标准方程的完全不同，并且这导致了不同的孤子解。

4. 第二类扩展Jimbo–Miwa方程

在这一节中我们用简化的Hirota双线性方法研究第二类扩展的（3 1）维Jimbo–Miwa方程。

（26）

同理，我们把

（27）

代入（26）的线性项，求解的方程，我们得到色散关系

（28）

因此波变量变为

（29）

我们把变换

（30）

其中

（31）

代入方程（26），这样就得到了单孤子解

（32）

对于二孤子解，我们把辅助函数

（33）

代入方程（26）来得到相移，其中和在（29）中给出。

（34）

其中

（35）

和

（36）

为了明确地确定二孤子解，我们将（34）代入（30）式中。

值得注意的是在和，和是实数的情况下，相移（34）简化为Hirotas式的相移形式

（37）

为了确定三孤子解，我们代入辅助函数

（38）

同理可得

（39）

为了确定三孤子解，我们将的最后结果代入（30）中。获得更高一级

的孤子解，N4的情况可以通过类似的方式获得。

要指出的一点是，通过标准Jimbo–Miwa方程提供的方法，我们得到了第二类扩展Jimbo–Miwa方程（26）给出的多孤子解。然而色散关系和相移与标准方程的完全不同，并且这导致了不同的孤子解

5. 结语

我们讨论了两类扩展的（3 1）维Jimbo–Miwa非线性方程。我们证明了这些扩展的形式可以通过简化的Hirotas法给出多孤子解。此外，这两类扩展方程具有明显不同的色散关系和相移。在和，和是实数的情况下，相移简化成为Hirotas形式。

参考文献

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