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科学公报

在有限区域上切换拓扑和时间延迟的共识网

Xiuxian Li^a, MichaelZ.Q.Chen^a, Housheng Su^b.1, Chanying Li^c

^a Department of Mechanical Engineering, The University of Hong Kong. Pokfulam, Hong Kong

^b School of Automation, Image Processing and Intelligent Control Key Laboratory of Education Ministry of China, Huazhong University of Science and Technology, Luoyu Road 1037, Wuhan 430074,China

^c Key Laboratory of Systems and Control, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academic of Science, Beijing 100190,China

摘要：这篇论文主要讨论了在有限区域上切换拓扑和时间延迟的共识网。它被认为是一种有限区域的原因是它处理有限的计算，记忆和交流的能力。首先，在没有时间延迟的条件下，通过图论方法，一个充要条件被切换网络的有限区域共识所剥夺。接下来，基于伴随网络的矩阵的FFC特性而产生了另外一种在有限区域和共识的充要条件。第三，借助于无延迟网络的结果，伴随切换拓扑和时间延迟，可以获得网络的优先区域共识的一些充要条件。另外，这也可以表现出每一个自我传播的伴随时间延迟的切换网络不能实现共识。

关键词：共识；网络；切换拓扑时间延迟；有限区域

文章信息

文章历史：2015年9月30日接纳

2015年12月21日同意

2016年2月22可在线

1. 介绍

一个多代理体系和网络包括大量的代理和计算机节点，这些可用于有逻辑的和他人交流，致力于通过设计在过去几十年里已经引起大量的研究者的兴趣的控制策略实现一些目标。由于在一些区域的大量的潜在应用，多代理体系有大量的明显的研究方向包括共识，(Hu,lamamp;liang,2013;Olfati-Saberamp; Murray,2004;Su,Chen,Lamamp;Lin,2011)，绒值(Su,Chen,Wangamp;Lin,2009a;Tanner,Jadbabaie,amp;Pappas,2007)公式控制(Meng,Jia,Du,heamp;Zhang,2014)等等。作为一种重要的网络分配特点，共识的目标是所有的代理达成一致的利益协议。由于大量的互联网应用的原因而被大量的调查，比如宇宙飞船和机器人(Ren,Beard,amp; Atkins,2007)。到目前为止,共识已经深入研究了各种网络模型,包括时间独立网络,广泛和同步通信的网络,与线性和非线性动态网络,无限通信带宽的网络,与时变拓扑网络,网络流言和异步通信和网络链接失败等等。

最近，为了安全和内存限制等问题，在网络上考虑到一致的问题，而不是实际的数字，有限的领域已经被考虑在内(Pasqualetti,Borraamp;Bullo,2014;Sundaramamp;Hadjicostis,2013;Xuamp;Hong,2014)。例如，一些在Pasqualetti et al.(2014)中完全开发了具有离散时间迭代的固定网络的有限域共识的充要条件，在此基础上，作者还提出了在传感器网络中平均共识和姿态估计的应用。然而，在有限域的背景下，很少有研究报告集中讨论网络的交换拓扑和时延的一致性问题，这启发了本文的研究。

本文讨论了在有限域上交换拓扑和时延的网络普遍存在的问题。有限域作为一种有限的字母，被考虑到网络经常进行有限的计算、记忆和通信能力。一般来说，本文将Pasqualetti et al.(2014)的工作扩展到切换拓扑和时延。只要切换拓扑和延迟复杂的结构网络,进一步导致集合的复杂性过渡图的邻接矩阵,仔细观察结构过渡图需要得到一个充要条件和切换拓扑的共识用图的方法。此外，与Pasqualetti et al.(2014)的本质不同，在这里提出了邻接矩阵有限乘积的FFC属性，以获得与切换拓扑一致的另一个充要条件。此外，对于具有切换拓扑结构和时延的网络，提出了一些必要的充分条件，以保证在无延迟网络中使用结果的有限域一致性。此外，还表明在每个自传输中存在时滞的交换网络不能达成一致。

2.参量

有限域是满足下列公理的加法和乘法运算的有限元素。

bull;加法和乘法的封闭性：；

bull;加法和乘法的结合律：，

；

bull;加法和乘法的交换性：；

bull;加法和乘法恒等元素的存在：,使得,；

bull;加法和乘法逆元的存在：, 使得,；

bull;乘法对加法的分配率：。

由表示一个有N节点的图，一组顶点和一组边缘。(或)表示的边缘节点发送信息到点。如果意味着被称为无向图，否则为有向图。为一个节点，的入度和出度，等于内部集的数字，外部集。如果，邻接矩阵一个被定义为。路径在一个有向图是一种序列的边缘,,hellip;循环是一种共享相同的第一和最后一个顶点的路径。定向树是有向图，每个节点只有一个根节点，只有一个节点称为根节点。根是一个有指向路径的节点，每个图中的节点，包括它自己。路径长度等于路径中边缘的数量。在两点之间有定向的路径叫做强连接。如果没有共同的节点，同样的图的两个子图被称为不连接。

3.问题陈述

考虑一个在有限域上有个节点的交换网络。为了简单起见，在本文中，主要字段被认为是一个质数。然而，这里的结果可以很容易地扩展到一般的有限域。网络具有动力学特性。

是这个网络的状态，是报警信息传输节点，的链接节点上满足为常数,即是有界的。与此同时,邻接矩阵是行推测(见定义2)和，是转换信号有限指数集。因此，对于任何时,子网被激活。当子网转向子网时在时间内网络延迟。假定子网的初始状态是，其中。请注意，网络(1)中的加法和乘法运算是由模组执行的，也就是说，在除以之后取余。

对于一些，相应的固定网络的过渡图被定义为与顶点集和边缘集。这个转换图由不连接的弱连通子图组成，并且只有一个周期，可能是单位长度，包含在包含全局可达节点的每个子图中。至于交换网络(1),表示，其中，也就是说和边缘集。为了继续进行，定义了网络在有限域上的一致性概念。

定义1:如果和转换信号,存在一个有限时间和常数这样，则网络(1)在上可以实现任何初始状态(限定时间)共识。

请注意，有限域内的网络在有限时间内的一致性是有限的，因为有限域的网络中只有有限的状态。为了简洁起见，我们引入了以下两个概念。

定义2:有限域

(1)如果一个矩阵每一行总和为1，则一个矩阵叫做行推测。

(2)如果有一个简单的特征值1和其他特征值0，也就是说，其特征多项式点，则这个行推测矩阵叫做有限域一致(FFC)。

这一定义是合理的，因为以下结果说明了有限领域共识的两个必要条件和充分条件，这有助于以后进行协商一致的分析。

定理1:(Pasqualetti et al.2014)对于一个固定在上的网络。

下面的语句是等价的：(1)这个网络可以达成一致；

　　　　　　　　　　(2)M的过渡图包含p周期和周围的单位周期的顶点；

　　　　　　　　　　(3)矩阵M为FFC。

4．有限域的共识没有时滞

在这一节中，网络(1)是没有时间延迟的。，因此，网络(1)可以被重写为

其中是这个网络的状态和其他符号在(1)中定义。众所周知,有限域共识需要更严格的条件比共识在实数(Pasqualetti et al .,2014)。更准确地说，在定理1中给出了基于转换图和特征多项式的两个必要且充分的条件。因此，一个自然的问题是，当行随机矩阵都是FFC时，是否足以确保网络的有限时间一致。答案是否定的，从下面的例子可以看出。

例1:考虑到网络(2)在有限域,让并且

很容易验证和都是FFC，根据定理1，固定网络和可以达成一致。然而，当子网络和时，每单位时间都被激活，初始状态，即,hellip;hellip;我们可以直接看到在和之间振荡。因此，交换网络不能达成共识。

因此,除了的FFC性质，网络(2)上的其他条件是为了保证共识是必不可少的，同样的，提供了一个充分必要条件的共识(2)基于网络过渡的特征图。

定理2:交换网络(2)在上,它可以取得共识,当且仅当图包含周期和周围的单位周期的顶点，其中。

证明:充分性的论证是在Pasqualetti et al.(2014)中对定理4.1的证明的一种变化，此处省略了。其次，对必要性进行了详细的论证。自从网络(2)可以达到共识，固定网络也可以取得共识的，因为对于任何,有可能等于。结果，由定理1，一个认为过渡图正好有周期单位长度的顶点为，其中，然后结合的任意性(其中）的定义与域,其中单位长度的至少包含周期。在下面，它只需要表明,不包含其他周期。矛盾的观点，如果有另一个循环在在域中，注意任何，顶点只有一个边指出本身，然后并不包含在循环中。假设由个顶点,,hellip;,,并且有,也就是说,有一些矩阵,,hellip;hellip;，满足

,,hellip;,,。

注意到，不一定是不同的。因此，考虑一个网络，初始值, 等于,,hellip;,周期性地按单位时间的升序排列，即, ，hellip;,，，显而易见，这个网络无法达成共识，这是一个矛盾。证明结束。

定理2的结果可以从结构的仔细观察图，因为如果图包含这些单位以外的其他周期的周期，区域可以周期性的沿圈长度振动。也可以在上面看到证据。请注意，这个定理的条件将涉及越来越多的计算当索引集合的数量和数量的代理的网络变得大,导致线性和指数增长的边缘(,由于每个子网的单位每个顶点的出度)的图。针对这一点,下面的定理基于的FFC性质，提出了网络共识的另一个充分必要条件(2)。

定理3：交换网络(2)可以取得共识,当且仅当任何 的有限产品是FFC。

证明：(充足性)因为任何的有限产品是FFC的，则对于任意的有是FFC的,由定理1,每一个过渡图与 ,对于任意的，包含p周期单位长度的顶点为，其中。因此, 围绕这些顶点，图至少包含单位周期。继续下去,这将是由矛盾证明了不包含任何其他周期。如果有一个额外的周期长为m的区域度,其中是一个顶点 (注意,所有周期的长度必须是有限的,因为这张图的顶点的有限性)。因此，存在矩阵,，hellip;，,，这样,,hellip;, ,，类似，在证明定理2时,对于任何的，不能包含在循环中。因此，过渡图矩阵,其中,包含一个单位周期顶点周围不同于周围的单位周期的顶点，其中,加上定理1,表明row-stochastic矩阵M不是FFC。的任何有限的结果是FFC。因此,包含周期单位长度的顶点，其中,因此调用定理2，交换网络(2)可以达到共识。

(必要性)因为交换网络可以达成共识，由定理2图包含单元周期的顶点(其中)，因为有个顶点在图中，在大多数时间将会取得共识。因此，调用定理1，任何与长度不小于T的的乘积都是FFC。随后，它仍然需要证明任何的长度小于T的产品都是FFC。让的结果长度小于T，实际上，很容易验证包括X的过渡图是包含相关单元周期的顶点(其中) (如果不是,由定理2，将包含其他周期不同于这些单位周期,因此图将包含相同的其他周期除了这些单位周期的定义)矛盾。鉴于定理1,直接获得X是FFC。总结以上分析，完成了证明。

定理3因为它可能涉及复杂的计算,没有必要验证的所有有限结果的FFC性质。实际上,与网络相关联的图包含精确顶点,从而可以达到共识的交换网络确实会在大多数时间达成共识。因此,通过类似证明定理3,得到以下结果。

定理4：网络(2)可以达到共识的当且仅当的所有有限结果长度到T。

5．有限域的共识与时延

在本节中,我们主要展示一些结果的共识交换网络(1)为两种情况:

有界延迟和 。

请注意。然后网络V可以用松散的形式重写:

其中是适当的非负矩阵的O矩阵或者由延迟决定，所接受的信息传播在时间的链接收到。也就是说,可用的信息来更新其状态自己的状态和所有延迟收到时间。因此，任何时候总是有(4)。

其中的所有对角线分量为(C2)。请注意, 随着时间的演化,对于每个固定，转换每单位时间转换信号。为了研究交换网络(3)，引入了等效的增广系统(Wang amp; Xiao, 2007)：

定义。因此，网络(3)可以等价地以一种紧凑的形式重写:

　(6)

这里

在此基础上，切换网络(3)与时延的一致性问题等价地转化为无时延的交换网络(6)的共识问题。接下来，让表示欧盟图的过渡图。因此,自由延迟交换网络的结果,得到了以下结果。

定理5：网络(3)与在上延迟(C1)可以达到共识当且仅当包含周期和周期都是单位在顶点(其中)。

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