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强pi;-正则群环

A.Y.MChin、H.Y.Chen

马来亚大学理学院数学科学研究所

马来西亚，吉隆坡，50603

E-mail：acym@um.edu.my

摘要：使R为有单位的结合环。假如存在和正整数n，例如，那么元素是左或右pi;-正则。假如同时是左右pi;-正则，即是强pi;-正则。假如R的所有元素都是强pi;-正则，即R是强pi;-正则环。本文给出了几个充分必要条件使群环为强pi;-正则。

关键词：强pi;-正则，正则，群环

1.简介

本文涉及的所有环都与单位相关。假如存在和正整数n，例如，那么元素x在R环中是左或右pi;-正则。假如同时是左右pi;-正则，即是强pi;-正则。假如R的每个元素都是强pi;-正则，即R环是强pi;-正则环。根据Dischinger [3]，所有右pi;-正则是左pi;-正则，反之亦然，并且所有环都是强pi;-正则。假如给定任意的中存在，例如，那么R就是冯诺伊曼正则环。我们将把下文中的冯诺伊曼正则环仅作为正则环。

众所周知，一个强正则环不一定是正则，反之亦然。比如环降低了域上的三角矩阵，假如它是强pi;-正则，但不是正则，且自同态环End_D(V)，其中V是D体上的一个无限维向量空间，但不是强pi;-正则。更多强pi;-正则和正则环的特性都可以在例子[1]和[4]看出。

自五十年代末和六十年代初，使一个群环为正则的充分必要条件被大家熟知（参照[5, 定理 3.15]为例）。本文将对强pi;-正则群环进行研究，获取一些可以使群环变成强pi;-正则。

2.一些预备知识

使R为一个环，假设R不是右pi;-正则。存在元素，任意正整数n, 给任意 。然后就有了降链

右理想不会终止；因此R不是阿廷环。由此得出阿廷环是强pi;-正则。直接表明强pi;-正则环的同态像是强pi;-正则。

使R为环，G为群。把R上的群环G表示为RG。任意元素，R的支集，写作SuPP(R)，是G的子集，包括所有，。由于只是许多有限的，因此SuPP(R)是G的一个有限子集。RG的增广理想是由产生的RG的理想。我们将会用表示RG的增广理想。现已知R是RG的同态像，因为（见[5]为例）。

3.强pi;-正则群环

以下为此部分得出的结果：

定理 3.1. 使R为环，G为群。假如(R/P)对每个素理想P、R来说，G是强pi;-正则，即RG是强pi;-正则。

证明：假设相反情况RG不是强pi;-正则。存在元素，比如任意正整数n，中有任意。因此序列 在RG的右理想中不会终止。使F为所有理想R中的I集合，也就是序列

不会终止。既然，因为。并且通过包含部分排序。使为的一连串元素，使。显然J是R的理想，所有中，。结果证明。于是对一些和正整数n来说，。由于Supp(z)是有限的，存在一些，比如。也就是以下的序列

会终止，这是个矛盾。因此，，因此通过Zorn的引理，包含最大元素M.由于不是强pi;-正则，因此假设M不是主要理想。 因此，存在R的理想A，B，即但是A, B。 令和。 那么M是严格包含在A和B，我们也得到

通过F中M的最大值，序列

都终止了。因此，存在正整数m，使得和。在的条件下，它遵循和。因此

对于，从其中可以看出。因此该序列

终止；与的事实矛盾。因此我们认为RG一定是一个强pi;-正则环。

令R是一个环，I是R和G一个理想的集合。如果RG是强pi;-正则，那么

并且强pi;-正则环的通行图像是强pi;-正则的，由此可见(R/I)G是强pi;-正则。因此我们从这个结论和定理3.1得到以下：

推论3.2令R是一个环，G是一个群。那么如果只有（R/P）G对于R的每个素理想P都是强pi;-正则，则RG是强pi;-正则。

我们现在获得了一个组环是强pi;-正则的其他足够的条件，如下：

定理3.3 让R 是一个具有阿廷环素因子的环，并且令G 是局部有限群。RG是强pi;-正则。

证明：令P是R 和的主要理想。令是在x的支持下生成的G的子集。由于由于Supp（x）是有限的且G是局部有限的，所以是有限的。很明显，。我们注意到是强pi;-正则。实际上，由于R/P是阿廷环，是有限的，所以是阿廷环；因此是强pi;-正则。由于x在（R/P）G中是任意的所以（R/P）G也是强pi;-正则。根据定理3.1，RG是强pi;-正则的。

一个自然的问题是，定理3.3是否相反。我们表明，如果G是阿贝尔（参见命题3.5），这部分是真的。首先我们证明以下内容。

命题3.4： 令R是一个环，G是一个阿贝尔群。如果RG强pi;-正则，则R是强pi;-正则，而G是扭转的。

证明： 从（环）同构，我们有R是强pi;-正则。 为了表明G是扭转的，令。 考虑元素。注意，1-g在RG中没有右或左反转。 因为所以，否则就会与是RG的理想相矛盾。

现在由于RG是强pi;-正则，所以从Azumaya [1，定理3]的结果可以看出存在正整数n和元素，使得

and .

如果是无效的，则是零除数，因此由[2]中的命题6，具有有限的顺序。 假设不是无效的。 那以后

并且所以也必须是零因子。 因此，由[2]中的命题6我们再次得到是有限的秩序。

由于扭转阿贝尔集合是局部有限的，我们从命题3.4中很容易得到以下内容：

命题3.5 令R是一个环，G是一个阿贝尔群。 如果RG强pi;-正则，则R是强pi;-正则，而G是局部有限的。

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