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在信息理论中关于佩尔数的行首加尾左右循环矩阵显式行列式

江兆林，李娟，沈诺

数学学院，临沂大学，临沂 286005，中国山东

摘要：设A为一行首加尾右循环矩阵，C为一行首加尾左循环矩阵，它们的第一行均为，其中为佩尔数。本文中，为了调查它们的显式条件，我们在多项式和乘法以及Binet公式的显式表示方式上采用了一些特殊的变换。在计算机计算矩阵的determinant时，将变换式带入应用中，矩阵A和C的显式行列式只能是佩尔数和佩尔-卢卡斯数。这个结论在信息理论中非常有用，比如说广义循环码，图形等信息理论等等。

关键词：行首加尾右循环矩阵，行首加尾左循环矩阵，行列式，佩尔数。

1 介绍

佩尔和佩尔-卢卡斯数列分别由以下递归关系定义：

当时，数列的前几个值由下表给出：

数列由Binet公式给出，并且数列由Binet公式，这里和是特征方程的根。

在文献[2][3][10]中有对一些特殊数的研究并且在文献[4][11]中有它们的简略概括，这很有趣。在文献[2]中，作者给出了关于Fibonacci数和Pell数的一些有用的性质。沈守强，岑建苗和郝勇在文献[3]中证明了循环矩阵在的条件下是可逆的，并且循环矩阵在n取任意值时都可逆。之后，矩阵和的行列式只能由Fibonacci数和Pell数定义，这些矩阵的逆矩阵同时也被推到出来了。文献4中的作者讨论了关于Fibonacci数和Pell数的一些广义性质。在本文中，我们定义矩阵和是阶的矩阵，这些矩阵的显式行列式仅能由Fibonacci数和Pell数给出，这个结论在信息理论中是非常有用的，比如说广义循环码，图形等信息理论等等。

定义1(文献[5]) 一个行首加尾右循环矩阵(RFPLR)的第一行为，用其表示成方阵的形式

可以看出，只要知道了矩阵的第一行，随后的每一行都可以由前一行按照变换规则得到：将第行的最后一个元素加到第行第一个元素上，并将接下来的在第行(循环地)上的每一个元素向右移动一个位置，可以得到第行。显然地，行首加尾右循环矩阵是有第一行所决定的。

显然，行首加尾右循环矩阵是一个循环矩阵文献[1]，并且这不是循环矩阵的扩展文献[6][8]或其特殊情况，他们是两种不同的特殊矩阵。此外，当时，这是一个r阶FLS循环矩阵文献[7]，同时还是一个r阶ULS循环矩阵文献[9].

我们定义是一个基本行首加尾右循环矩阵，形式为

易证，在其定义域上没有重根，同时还是矩阵的最小多项式和特征多项式。另外，是不可解的并且满足

和。

鉴于基本RFPLR循环矩阵的功能结构，很显然有

hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;(1)

因此，当且仅当对多项式有时，A是RFPLR循环矩阵。多项式被称为RFPLR循环矩阵A的表示形式。并且显然有当且仅当A与可交换，即。

除了可以从文献[1]中容易地导出的代数性质之外，我们发现RFPLR循环矩阵具有非常好的结构。两个RFPLR循环矩阵的乘积仍是一个RFPLR循环矩阵，而且也是一个RFPLR循环矩阵。

定义2（文献[7]）一个行首加尾左循环矩阵（RFPLL循环矩阵）的第一行为，用其表示成方阵的形式

可以看出，具有任意第一行的矩阵以及用于从前一行获得任何其他行的规则如下：将第行的最后一个元素加到第行第一个元素上，并将接下来的在第行(循环地)上的每一个元素向左移动一个位置，可以得到第行。显然地，行首加尾左循环矩阵是有第一行所决定的。

引理1 有，那么A的特征值为

此外，

。

这里是如下方程的根

hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;(2)

引理2

。

这里

。

并且满足方程（2），。

证明：

这里

。

其中满足方程(2)，而且我们必须有

。

所以

2 带有佩尔数的RFPLR和RFPLL循环矩阵的行列式

定理1.如果，然后

这里有

证明：

矩阵A可以表示成如下形式

应用引理1，A的行列式是

根据引理2，我们能得到

这里有

简单地用定理1中的方法，我还能得到

定理2.如果，然后又

这里

定理3.如果，然后我们能得到

这里有

证明：

矩阵C可以表示成如下形式：

然后我们能够得到

这里矩阵，它的巷里是能够通过定理2得到

这里

并且

所以

References

[1] David, C.: Regular representations of semisimpnnle algebras, separable field extensions, group characters, generalized circulants, and generalized cyclic codes. Linear Algebra Appl. 218, 147–183 (1995)

[2] Melham, R.: Sums involving Fibonacci and Pell numbers. Port. Math. 56, 209–317(1999)

[3] Shen, S.Q., Cen, J.M., Hao, Y.: On the determinants and inverses of circulant matrices with Fibonacci and Lucas numbers. Appl. Math. Comput. 217,9790–9797 (2011)

[4] Stanimiroviacute; c, P., Nikolov, J., Stanimiroviacute; a, I.: A generalization of Fibonacci and Lucas matrices. Discret. Appl. Math. 156, 2606–2619 (2008)

[5] Jiang, Z.L., Jiang, Z.W.: On the norms of RFPLR circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers. In: SECT 2012 (to appear, 2012)

[6] Davis, P.J.: Circulant Matrices. Wiley, New York (1979)

[7] Jiang, Z.L., Xu, Z.B.: Eifficient algorithm for finding the inverse and group inverse of FLS r-circulant matrix. J. Appl. Math. Comput. 18, 45–57 (2005)

[8] Jiang, Z.L., Zhou, Z.X.: Circulant Matrices. Chengdu Technology University Publishing Company, Chengdu (1999)

[9] Tian, Z.P.: Fast Algorithms for Solving the Inverse Problem of AX = b in the Class of the ULS r-Circulant (Retrocirculant) Matrices. Int. Journal of Algebra 5,9403–9411 (2011)

[10] Yazlik, Y., Taskara, N.: A note on generalized k-Horadam sequence. Comput. Math.Appl. 63, 36–41 (2012)

[11] Kilic, E.: The generalized Pell (p,i)-numbers and their Binet formulas, combinatorial representations, sums. Chaos. Solit. Frac. 40, 2047–2063 (2009)

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