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美国数学学会学报论文集

卷112，第3期,1991.07

代数的有限自内射维数

星野光男

摘要：设为artin代数.那么有有限双自内射维数，当且仅当每个有限生成的左模有有限的Gorenstein维数．

二十年以前，奥斯伦德尔和布里德证明了可交换的诺特局部环是Gorenstein环当且仅当每个有限的生成模有有限的Gorenstein维数.本文中，我们将推广他们的结论并把得到的结果运用到artin代数中去.下面证明:

定理: 设为artin代数.那么当且仅当每个有限的生成模有有限的Gorenstein维数.

下面我们将研究左、右诺特环，我们通过双函子( )*表示.把右模看做左模.这里表示与相反的环，并且上的符号同样适用于。用表示有限生成模的类别.当时，被看做一个第n次的对点，如果对于模中的射影有一个正合列.设是中所有的类,为了方便记作（即每个中的被看做其中的一个第0次的对点）.此外，中的被看做至少降低了n次等级，记作降低等级，如果.记作对于所有的中的降低等级.最后，若中的是反射的且降低等级降低等级，则有Gorenstein维数零，记作.然后，当时，最多有Gorenstein维n,记作，如果有一个正合列,在有. 注意，意味着（详情见Auslander and Bridger [2]）.

定理的证明

我们将证明分为几个步骤：

引理1：设中的有无限降低等级，则意味着

证明见Auslander and Bridger [2, p. 95].

引理2：设是中射影上的正合列 ，令，则是反射的当且仅当降低等级.

证明见Auslander [1, Proposition 6.3].

引理3设中的有降低等级，设是中射影上的正合列,则 有降低等级.

证明: 正合列在中射影上，既然每个都是反射的，如果( )*被运用，诱导序列 是正合的，意味着降低等级

引理4对于任何的，以下结论等价：

(1) 每个中的降低等级的是反射的

(2)每个中的降低等级的有无限降低等级.

证明：设中的有降低等级.设 是中射影上的正合列，令和，再由引理3降低等级并且是反射的.因此由引理2并得到降低等级.现在直接运用这个结论到对点上，我们得到有无限降低等级。

设中的有降低等级,令是中射影上的正合列，令和.注意是次的的对点,由引理3有降低等级，我们有降低等级并且由引理2知是反射的

引理5对于任何的，以下结论等价：

(1) 并且每个无限降低等级中的是反射的

(2) 对于所有的中的，

证明：设，那么降低等级且使反射的.设是中射影上的正合列.令.注意是次的的对点.由引理3,4降低等级我们得到降低等级.因此

第一个断言是显而易见的.因为对于所有的 中的，有，最后由引理1可证.

引理6假设，那么对于所有无限降低等级中的，

证明:每个中的有无限降低等级.因为当时，对于中的有意味着降低等级.最后，由定理4，意味着是反射的.

引理7 假设，那么对于无限射影维数模A中的成立.

证明：注意正合列，我们有，通过归纳，得证.

引理8 设中的是反射的并且降低等级，则意味着是反射的.

证明：在具有射影的中，有正合列，因为意味着分裂，得证.

引理9设，假设对于所有,,则对于中的任何，以下结论等价:

(1)

(2)

(3)

(4)

证明：通过引理5我们有，因此由引理7.仍然要证明.假设，设是的第次对点，则.因为，由引理8知反射的，即.

引理10 假设上存在是左模的内射生成子.假设.以下结论等价:

(1)

(2)每个无限降低等级中的是反射的

(3) ，对于所欲无限单射维数中的

证明：由引理4得，由引理5,9得，。设是具有射影的正合列，令，对于.注意因此，对于.因此，，表明,再由Cartan and Eilenberg[3, Chapter VI, Proposition 5.3].得证

引理证明.“ 如果”部分，一些，在中的所有简单上满足

则，因此由引理1,10得.再由Zaks [4, Lemma A],得

“只要hellip;就”.假设，因此由引理6得,对于

参考文献:

1. M. Auslander, Coherent Junctors, Proc. Conf. Cat. Algebra, Springer, Berlin, 1966, pp.

189-231.

2. M. Auslander and M. Bridger, Stable module theory, Mem. Amer Math. Soc., no. 94, Amer.

Math. Soc., Providence, RI, 1969.

3. H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton Univ. Press, Princeton, 1956.

4. A. Zaks, Injective dimension oJsemiprimary rings, J. Algebra 13 (1969), 73-86.

INSTITUTE OF MATHEMATICS, UNIVERSITY OF TSUKUBA, IBARAKI 305, JAPAN

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