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超线性离散问题

Gabriele Bonannoa, Petru Jebelean, C˘alin S，erban

意大利墨西拿大学土木工程系，计算机系，建筑系，环境工程系，应用数学系

罗马尼亚西方大学数学系

文章历史：

2015年7月4日收到，

2015年9月11日以修订后的形式收到，

2015年9月12日接受，

2015年9月25日网上可获取

摘要：本文的目的是提出一个存在两个正解非线性的结果差异问题的变分方法。结论通过接假设可以实现，和无穷远处的超线性一起，是比在零点次线性更一般的无穷远处非线性项的一个合适的代数条件。

关键词：差分方程、多重结果、变分方法

1. 介绍

考虑下面的狄利克雷离散边值问题，

其中是一个正整数，表示一个离散区间，并且对于中每一个是正向差分算子，是二阶差分算子，是一个连续函数的组成部分并且是一个正的实参数.有关差分方程及其应用程序的一般引用，我们请读者参考引用的专著[1，2]，然而为了最近的研究结果我们引用[3-14]并且在其中做一些参考.

本说明的目的是对于狄利克雷离散边值问题在非线性合适的假设下，建立两个正解的存在性.在此，我们关于我们的主要结果提出以下的特殊情况.

定理1.1 令定义在上的函数是一个连续函数，使得

并且

那么，对于每个，问题

允许至少有两个正解.

我们记得关于对于取决于一个参数的非线性问题的两个非平凡解的存在性是一个基本的讨论，对于微分方程也是一样的.特别地，亚曼在参考文献[15]中通过假设一个两点边值问题已经证明了两个正解的存在性，除此以外，定理（1.1）比（1.2）更普遍，然而克兰德尔和拉比诺维茨在参考文献[16]中关于狄利克雷问题假设已经建立了相同的结论，同样伴随着，反过来，著名的安博思-拉比诺维茨条件也没有定理（1.2）普遍.最后，我们注意到安博思，伯利兹和切拉米在参考文献[17]中证明了这样的一个结论，又一次关于省略的狄利克雷问题，当非线性项是由凹和凸非线性的组合效应给出的，就是说这是为了研究当的情况.关于更多的这样的微分问题我们参考了文献[18].在此，我们希望指出，关于不同的方程，相比于那些被限制的微分问题，在非线性的更一般的假设条件下，我们可以建立相同的结论，例如定理1.1.事实上，这个结论也可应用于的非线性问题（参见例2.1）和安博思-拉比诺维茨条件不成立的的情况（参见例2.2）.并且，考虑到关于差分方程文献中的结果，我们的假设是最普遍的.特别地，定理1.1改进了参考文献[19]定理2.1中要求的条件.除此之外，安博思-拉比诺维茨条件通常也应用于非线性离散问题，（例如，参见参考文献[20-23]），上面已经讨论，此处就不再假设.

这篇论文的主要结论是定理2.1. 定理2.1中的代数假设比零点的次线性假设和定理1.1中无穷远处的超线性问题更普遍，而且特别地，也包括零点和无穷远处的线性问题，如简单的例2.3展示的一样.我们的方法是基于已经在参考文献[18]中建立的两个非零临界点定理，该定理是传统的安博思-拉比诺维茨定理（参见参考文献[24]）和参考文献[25]（也可参见文献[26]）中建立的局部最小值定理的适当的结合.为使读者信服，我们在此重申.

定理1.2 令X实巴拿赫空间，令是两个类的函数，使得

假设存在,且,使得

并且，对于每个，函数满足PS条件，并且它向下是无界的.

那么对于每个，函数允许至少两个非零临界点使得.

值得指出的是，此处应用的方法是非常普遍的并且此方法也可用于研究取决于有关带权，代数系统和各向异性问题的差分.可能伴随着不同的边界条件（参见例[27-30]）.

1. 主要结果

考虑N维巴拿赫空间

具有常态

根据参考文献[19]命题2.1，我们保持符号，一个有

其中，

并且，已知（例如参见参考文献[19]第二部分）和标准相关的矩阵的特征值

为

故，特别地，一个有

干涉了我们的主要结果.

令 是连续的，我们假设

并且令

令

我们通过定义，其中，

标准的讨论表明了并且的临界点是该问题的精确的解（参见例[31]）：

引理2.1.在假设条件（2.2）下，函数任意非零临界点是狄利克雷离散边值问题的一个正解.

证明：因为的一个临界点是问题2.3的一个解，由2.2和参考文献[19]命题2.2的离散的最大值原则得出结论.

我们的主要结果是下面的定理.

定理2.1 假设（2.2）是正确的，有两个正的常数且使得

那么，对于每个 := ， 问题允许至少两个正解.

证明：由引理2.1我们要证明有至少两个非零的临界点.在这个观点中，我们应该应用引理1.2且且，显然，并且注意到对于所有且，有

固定并且从（2.2）和（2.4）中观察，有且是非退化的.那么，参考文献[19]中引理5.1（ii）确定函数满足PS条件，且向下是无界的（这里起到关键作用）.又，令

考虑到定理2.1和的定义，对于所有使得,有

故对于所有且，有

于是，

又，令，使得对所有的，有且

显然，易得，

故，有

那么，由（2.5）（2.6）和假设（2.4）我们推断，

此外，由于且再由（2.4），我们得到事实上，由讨论的矛盾，如果我们假设，我们有

这与（2.4）矛盾，因此，

因此，定理1.2确定了函数允许至少有两个非零的临界点，那么，对于所有的，

由（2.2）与引理（2.1）可知，它们都是的正根.

备注2.1 如果所有的都是非负函数，那么满足定理2.1的假设，我们可以假设有两个正的常数且，使得

推论2.1 假设（2.2）且对于所有的

那么，对于每个，其中，，

证明： 首先，既然那么固定并且使得

由，有且，使得，再由定理2.1可得结论.

备注2.2如果所有的都是上的非负函数，那么在推论2.1中，对于至少有一个，我们可以令证明同上.

备注2.3 介绍中的定理1.1是推论2.1的一个结果.为此，对于所有的，我们可以令并且观察到定理1.1暗含了且.

例2.1 固定使得对于每个，问题

允许至少有两个正解。容易验证满足定理1.1的假设，并且

例2.2 对于每个，问题

允许至少有两个正解，一个有满足定理1.1的条件，并且

例2.3 固定且函数定义如下：

定理2.1确定问题

允许至少有两个正解.对于每个且.

我们可以选择且.这是根据建立在与作为唯一的两个正解的基础上的简单的计算. 类似的计算表明问题

中当且.否则,允许至少有两个正解.

备注2.4 我们观察到参考文献[19]定理1.2不能应用到之前的三个例题，因为那里面是假设

的.我们还可以看到例2.2中函数不满足安博思-拉比诺维茨条件，该条件通常用于获得结果（参见文献[20-23]）.最后，我们指出主要定理的关键条件，那就是（2.4）式，包括了在零点线性或者非线性的函数，如简单的例2.3展示的.

参考文献：

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