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证明是超越数

Steve Mayer

2016.11

摘要

对pi;不是代数数的证明并不是普遍皆知的，但对于数学专业的学生来说不难理解pi;是超越数的定理证明。本文主要给出对pi;是超越数的通俗易懂的证法并附带的给出的超越性证明。

这篇论文的材料不是我自己的，它是1970Ian stewart在warwike大学当助教时在讲授课程环和域所给的补充材料。

定义. 我们称一个复数为代数数，如果它是某个有理系数多项式的根。

设是代数数，如果对不全为零的有理数有

定义. 如果一个复数不是代数数，那么称它是超越数。即它不是任何有理系数多项式的根。

证明不可能只利用尺规作图求已知圆的面积等于正方形面积这个命题等价于证明

pi;在有理数域下是超越数。

这篇文章旨在证明该定理。

1874年康托尔给出了用级数表示的一个超越数，更早的是刘维尔1844年给出的级数直到1873年埃尔米特才证明了自然常熟是超越数，但是对另外一个自然常数pi;的证明是1882年给出的。他所用到的知识和技巧都是埃尔米特用过的。1990年提出如下问题：

如果是有理数域上的实超越数，其中a不是0或1，b不是有理数，那么是超越数。

1934年，这个问题分别被俄国人Gelfond和德国人schneider证明。

为了更好地理解pi;的超越性定理证明，我们先来证明一个相似的定理。这个定理证明只需要一年级的分析知识。

定理1 pi;不是有理数。

证明：设

分部积分得

()

所以有,其中 的次数小于 （*）

注意,

取,设pi;是有理数那么存在a,b使得,

由（*）得是整数。另一方面注意到，b是固定的且由积分确定则

对n几乎处处有，由积分不为零所以矛盾！

从而pi;是无理数。

定理2 不是有理数。

证明：（反证法）

设

定义

容易知道f的导函数在0,1的函数值是整数，G在0,1的函数值也是整数。注意到

所以

这是个整数！

但是时，积分值为零，这是一个矛盾！所以

是无理数。

定理3（Hermite）e是有理数域下的超越数。

证明：设其中,

定义,p是任意的素数

-

若

则

同时

从而,对i求和得到

注意到

右边可以取到整数，这是一个矛盾！

所以e是无理数。

定理4（Lindemann） 在有理数域下，pi;是超越数。

证明：设pi;是代数数且是方程的根，那么ipi;也是代数数，不妨设ipi;的代数方程为,是其他根。注意到

所以

设一整系数方程它的根是上面乘积的的指数，例如成对出现的,,,其中满足一有理系数代数方程，那么它轮换对称和是有理数。因此上面成对出现的根所得的函数值也是有理数。不妨设它们是方程的根，类似的

注意到

是有理数域上的代数方程，它的根也是由组合而来。

除去零根，我们有

因为我们已经将零根去掉，所以最后得到的方程的根全是指数所确定的数值。不妨设为

那么原方程为

, k是正整数

现在定义函数

其中,p在后面定义。

注意到

所以两边求积分

将带入得

因为，所以有

注意

对于充分大的p,方程左边是不为零的整数,被所确定，那么任意的p阶导数或有因子p或，另一方面对于求导数次都不为零，是次数不超过s的多项式且的和是对称的，系数被整除。

所以

t=p，hellip;，

左边是

整数 ，那么是什么？

注意到

()

（某个常数）

所以左边是非零常数，而右边趋于0在时，这是一个矛盾！从而e不是代数数。

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