序列和系列

——教师指南（11-12岁）

序列和系列

假设的知识

模块的内容：

• 代数评论
• 功能I.

动机

我们在数学经验的最开始就遇到了序列。偶数列表

2,4,6,8,10......

和奇数列表

1,3,5,7,9......

是其中的例子。我们可以通过常识“预测”每个序列的第20个项是什么。

另一个具有重大历史意义的序列是Fibonacci序列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，......

其中每个术语是前两个术语的总和;例如，55=21 34。在这种情况下，预测第20个术语更加困难，没有列出所有以前的术语。

序列出现在许多数学领域，包括财务。 例如，我们可以每年5％的利率投资1000美元，每年复利，并列出以每年投资价值为基础的序列：

$1000，$1050，$1102.50，$1157.63，$1215.51，...

（四舍五入到最近的分数）。

序列可以是有限的，也可以是无限的。 例如，

2,4,6,8,10

是一个有五个元素的有限序列，而

2,4,6,8,10 ......

继续无限制，是一个无限的序列。我们通常使用...来表示序列继续无限制。

对于给定的有限序列，我们可以提出问题：

• 我们能否为序列的一般术语找到一个公式？
• 序列是否有限制，即序列中的数字是否与我们喜欢的数字一样接近？例如，我们可以直观地看到有限序列中的术语

它的一般表达式是。当n变得非常大时，数据接近0。

当我们添加有限序列的项时，会出现一个有限的序列。 例如，2 4 6 8 ... 20是由序列2,4,6,8，...，20形成的系列。

有限序列是有限序列术语的“形式”。例如，1 3 5 7 9 ...是由奇数序列形成的系列。 我们可以在这个系列中发现一个有趣的模式。前两个项的总和是4，前三个项的总和是9，前四个项的总和是16.所以我们猜测，一般来说，前n个项的总和是。

对于给定的有限系列，我们可以提出问题：

• 我们能否为该系列的前n个项的总和找到一个公式？
• 系列是否有限制，也就是说，如果我们添加系列的前n个项，当n变大时，这个总和是否与我们喜欢的数字一样接近？

如果存在，则此限制通常被称为有限系列的限制总和。 在本单元中，我们研究了一种特殊但常见类型的系列的限制总和，即已知的测量系列。

序列和序列在数学中非常重要，并且还具有许多有用的应用，包括参数，物理和统计学。

内容

序列

正奇数列表

1,3,5,7,9 ......

是一个典型的有限序列的例子。圆点表示序列永远持续，没有最后一个元素。我们将使用符号a_n来表示给定序列的第n项。因此，在这个例子中，a₁=1，a₂=3，a₃=5等等;第一个元素是a₁=1，但是没有最后一个元素。

正奇数小于100的列表

1,3,5,7，...，99

是典型有限序列的一个例子。该序列的第一项为1，最后一项为99.该序列包含50个元素。

有几种方法可以显示序列：

bull;写出前几个术语

bull;给出一般术语的公式

bull;给出一个递归关系。

写出前几个元素并不是一个好方法，因为你必须“相信”有一些明确定义的模式，并且可能存在许多这样的模式。 例如，如果我们只是写

1,2,4，......

然后下一个术语可能是8（2的幂），或者可能是7（Lazy Caterer的序列），或者如果有更复杂的模式，则可能是23。因此，如果最初的几个只是通过，那么某些部分也应该通过这种方式来确定这个序列的唯一程度。

描述序列的更好方法是给出第n项的公式a。这是一般性的一般情况。例如，

a_n=2nminus;1

是奇数1,3,5....的序列中的通项公式.从公式中，我们可以，例如，写下第10项，因为a₁₀=2times;10-1=19。

在某些情况下，给出一个明确的公式并不容易，甚至不可能。 在这种情况下，可以根据一些前述术语确定序列中的特定术语。 这种关系通常被称为重复。 例如，正奇数的这些量可以由下式定义

a₁=1且a_{n 1}=a_n 2,对nge;1.

初始术语是a₁=1，并且重复告诉我们需要在每个术语中添加两个以获得下一个术语。

Fibonacci序列包括数字

1,1,2,3,5,8,13,21,34 ......

其中每个术语是前两个术语的总和。 这可以通过设置来描述

a₁=a₂=1且a_{n 2}=a_{n 1} a_n,对nge;1.

练习1

考虑再次发生

a₁=a₂=1且a_{n 2}=a_{n 1} a_n,对nge;1.

写下这个序列的第一个五个术语。

序列的一般术语有时可以通过“模式匹配”找到。

练习2

给出一般术语的公式

（1）偶数的序列2,4,6,8，......

（2）正方形的序列1,4,9,16，...

然而，一般而言，找到序列的一般术语的公式可能是困难的。例如，考虑Fibonacci序列：

1,1,3,3,8,13,21,34 ......

我们将在历史和应用部分讨论如何显示斐波那契序列的第n项由下式给出

这是一个非常令人惊讶的结果！（这个公式对于每个n都给出一个整数结果，这一点并不明显。）您可能希望检查此公式是否适用于n=1,2,3。

序列也可用于近似实数。因此，例如，序列中的术语

1,1.4,1.41,1.414,1.4142，......

给出实数的近似值。

算术序列

我们暂时将注意力限制在一种特定类型的序列上，称为算术序列（或算术级数）。 这是表格的序列:

a,a d,a 2d,a 3d,...

其中每个术语是从前一个术语中通过添加常量获得的，称为公差并且通常由符号d表示。请注意，d可以是正数，负数或零。

因此，偶数序列

2,4,6,8,10,...

是一个算术序列，其中公差d=2。

很容易看出算术序列的第n项的公式是

a_n=a (nminus;1)d.

例

找到算术序列第n项的公式

1、2,5,8 ......

2、107,108,89......

解答

1、这里a=2，且d=3，所以a_n=2 (nminus;1)times;3=3nminus;1.

2、这里a=107，且d=-9，所以a_n=107 (nminus;1)times;minus;9=116minus;9n.

练习3

找到算术序列的第n项

log₅2,log₅4,log₅8,....

我们还可以检查给定的数字是否属于给定的算术序列。

例

数字203是否属于算术序列3,7,11，...？

解答

这里a=3，且d=4，所以a_n=3 (nminus;1)times;4=4nminus;1.我们设an-1=203，可以算出n=51.因此，203是这个序列中的第51个元素。

练习4

证明12不是算术序列210,197,184....的元素。

几何序列

一个几何序列有这样的形式

a,ar,ar²,ar³,hellip;

其中每个项是通过乘以一个常数得到的，该常数称为公比，通常用符号r表示。注意，r可以是正数，负数或零。具有负r的几何序列中的项将在正和负之间振荡。

倍增序列

1,2,4,8,16,32,64,...

是一个第一项为1，公比r=2的几何序列的例子。

3,minus;6,12,minus;24,48,minus;96,...

是具有第一项3和共同比率=-2的几何序列的示例。

很容易看出几何序列的第n项的公式是

a_n=ar^nminus;1.

例

寻找下列几何序列的第n项元素

1、2，6，18，hellip;

2、486，162，54，hellip;

解答

1、这里a=2且r=3，所以a_n=23^n-1

2、这里a=486且r=，所以a_n=486^n-1

练习5

寻找下列几何序列的第n项元素

我们还可以检查给定数字是否属于给定的几何序列。

例

数字48是否属于几何序列3072，156，768，hellip;？

解答

这里a=3072，且r=，所以a_n=3072^n-1。我们假设3072^n-1=48，则通过计算得出n=7。因此48是属于这个几何序列的。

例

数字6072是否属于几何序列3，-6，12，-24，48，hellip;？

解答

这里a=3，且r=-2，所以a_n=3^n-1。我们假设3^n-1=6072，可以计算得出^n-1=2024，但2024并不是2的幂，因此6072是不属于这个几何序列的。

系列

有限序列是有限序列的总和。因此，如果

a₁,a₂,...,a_n

是一个n项的序列，然后相应的系列是

a₁ a₂ ··· a_n.

数字a_k被称为系列的第k个元素。

我们经常使用sigma符号表示系列。例如，如果我们有这个系列

2 4 6 ··· 100

其中第k个术语由2k给出，那么我们可以将这个系列写成

注意，这里的变量k是虚拟变量。这意味着我们也可以编写系列成

练习6

通过写出序列，求出总和

有限序列是有限序列项的“形式总和”：

a₁ a₂ a₃ a₄ ···.

例如，奇数序列给出有限系列1 3 5 7 ...

我们可以将有限系列中的有限数量相加。有限系列的前n个项的总和通常写成

这有时被称为有限系列的前n项的部分和。

给定一个系列的前n项之和的公式，我们可以通过简单的减法恢复第n项的公式，如下所示。开始于：

两式相减，我们可以得到

例如，如果一系列的第一个n项的总和由S_n = n²给出，那么第n个项是

一般来说，找到一个系列与n个项之和的简单公式可能很困难。 对于本节的其余部分，我们将注意力限制在算术和几何系列。

算术系列

算术系列是一系列，其中术语形成算术序列。 也就是说，通过添加常数从前一个获得每个项。

该系列

1 2 3 ... n

是一个具有共同差异的算术系列1.有一种简单的方法可以找到这个系列的总和。 我们将系列向前写，然后向后写：

S_n = 1 2 3 ··· (nminus;1) n

S_n = n (nminus;1) (nminus;2) ··· 2 1.

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本科毕业设计（论文）

外文翻译

Sequences and series

--– A guide for teachers (Years 11–12)

作者：Peter Brown

国籍：University of NSW

出处：Email: enquiries@amsi.org.au

Website: www.amsi.org.au

原文正文：

Sequences and series

Assumed knowledge

The content of the modules:

bull; Algebra review

bull; Functions I.

Motivation

We encounter sequences at the very beginning of our mathematical experience. The list of even numbers

2, 4, 6, 8, 10, ...

And the list of odd numbers

1, 3, 5, 7, 9, ...

Are examples. We can lsquo;predictrsquo; what the 20^th term of each sequence will be just by using commonsense.

Another sequence of great historical interest is the Fibonacci sequence

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

in which each term is the sum of the two preceding terms; for example, 55=21 34. In this case it is somewhat more difficult to predict the 20th term, without listing all the previous ones.

Sequences arise in many areas of mathematics, including finance. For example, we can invest $1000 at an interest rate of 5% per annum, compounded annually, and list the sequence consisting of the value of the investment each year:

$1000, $1050, $1102.50, $1157.63, $1215.51, ...

(rounded to the nearest cent).

Sequences can be either finite or infinite. For example,

2, 4, 6, 8, 10

is a finite sequence with five terms, whereas

2, 4, 6, 8, 10, ...

continues without bound and is an infinite sequence. We usually use ... to denote that the sequence continues without bound.

For a given infinite sequence, we can ask the questions:

bull; Can we find a formula for the general term of the sequence?

bull; Does the sequence have a limit, that is, do the numbers in the sequence get as close as we like to some number?

For example, we can see intuitively that the terms in the infinite sequence

Whose general term is ,are approaching 0 as n becomes very large.

A finite series arises when we add the terms of a finite sequence. For example, 2 4 6 8 ··· 20

Is the series formed from the sequence 2,4,6,8,...,20.

An infinite series is the lsquo;formal sumrsquo; of the terms of an infinite sequence. For example,

1 3 5 7 9 ···

is the series formed from the sequence of odd numbers. We can spot an interesting pattern in this series. The sum of the first two terms is 4, the sum of the first three terms is 9, and the sum of the first four terms is 16. So we guess that, in general, the sum of the first n terms is n².

For a given infinite series, we can ask the questions:

bull; Can we find a formula for the sum of the first n terms of the series?

bull; Does the series have a limit, that is, if we add the first n terms of the series, does this sum get as close as we like to some number as n becomes larger?

If it exists, this limit is often referred to as the limiting sum of the infinite series. In this module, we examine limiting sums for one special but commonly occurring type of series, known as a geometric series.

Sequences and series are very important in mathematics and also have many useful applications, in areas such as finance, physics and statistics.

Content

Sequences

The list of positive odd numbers

1, 3, 5, 7, 9, ...

is an example of a typical infinite sequence. The dots indicate that the sequence continues forever, with no last term. We will use the symbol an to denote the nth term of a given sequence. Thus, in this example, a1 =1, a2 =3, a3 =5 and so on; the first term is a1=1,but there is no last term. The list of positive odd numbers less than 100

1, 3, 5, 7, ..., 99

Is an example of a typical finite sequence. The first term of this sequence is1and the last term is 99. This sequence contains 50 terms.

There are several ways to display a sequence:

bull; write out the first few terms

bull; give a formula for the general term

bull; give a recurrence relation.

Writing out the first few terms is not a good method, since you have to lsquo;believersquo; there is some clearly defined pattern, and there may be many such patterns present. For example, if we simply write

1, 2, 4, ...

then the next term might be 8 (powers of two), or possibly 7 (Lazy Catererrsquo;s sequence), or perhaps even 23 if there is some more complicated pattern going on. Hence, if the first few terms only are given, some rule should also be given as to how to uniquely determine the next term in the sequence.

A much better way to describe a sequence is to give a formula for the nth term an. This is also called a formula for the general term. For example,

a_n =2nminus;1

is a formula for the general term in the sequence of odd numbers 1,3,5,.... From the formula, we can, for example, write down the 10^th term, since a₁₀=2times;10minus;1=19.

In some cases it is not easy, or even possible, to give an explicit formula for an. In such cases, it may be possible to determine a particular term in the sequence in terms of some of the preceding terms. This relationship is often referred to as a recurrence. For example, the sequence of positive odd numbers may be defined by

a₁=1且a_{n 1}=a_n 2,对nge;1.

The initial term is a₁=1, and the recurrence tells us that we need to add two to each term to obtain the next term.

The Fibonacci sequence comprises the numbers

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Where each term is the sum of the two preceding terms. This can be described by

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