非交换韦达定理与对称函数外文翻译资料
2022-12-29 11:32:59
非交换韦达定理与对称函数
作者：GelfandVladimir Retakh（以色列）
国籍：以色列
出处：https://arxiv.org/abs/q-alg/9507010v1
对于非交换情形，有两种方法可以概括交换代数的基本结构。更传统的方法是定义交换函数，如跟踪或决定因素，而不是非通信变量。从[6]开始，这种方法被不同的作者广泛使用，例如参见[5]，[15]，[14]，[12]，[11]，[7]。
然而，在[9]和[10]中开始的另一种可能性是使用纯非非交换对象而不使用痕迹或行列式或传递到商空间或商代数。让我们在一个最简单的例子上比较这两种方法 - 一个经典的韦达定理，当然，它是对称函数理论的起点。
考虑一个代数方程
在非交换情况下，表示系数a1，a2，hellip;an的第一公式，公式（1）的通孔解x1，x2，hellip;，xn已出现在[8]，第7.1节中。本文大量使用了[9]，[10]中开发的（非）交换环上的准决定论。a1，a2，hellip;an的表达式通过Vandermonde quasideterminants的比率给出，取决于变量x1，...，xn。
这些表达式通常是x1，hellip;，xn的有理函数。必须使用非平凡的决定性身份来获得交换案例中的经典韦达公式。
在一篇有趣的论文[7]中，Fuchs和Schwarz试图在非交换的情况下给出古典韦达公式的类比。假设等式（1）的系数属于字段k上的代数R，并且x1，...，xn是（1）的一组独立解（对于矩阵情况，它意味着相应的集团Vandermonde行列式是不等于零）。 Fuchs和Schwarz证明了这一点：
定理1 如果有一个加性态射变tr：R→k满足任何u，v F的条件tr uv = tr vu，那么
如果存在乘法变形det：R→k，那么
当a1，hellip;，an和x1，hellip;，xn只是复数矩阵时，在[7]中证明了这个结果。然后，作者使用了Amitsur定理，即复数矩阵的同一性也适用于具有单位的任意关联环。[7]中没有类似的中间系数公式a2，hellip;an-1。
在本文中，我们将给出非交换维塔定理的更一般的版本。它不需要痕迹或行列式的存在，也给出了中间系数的公式。
即，对于（非交换）偏斜场上的等式（1）的“通用”解x1，hellip;，xn，我们将根据x1构造一组有理函数v1，hellip;，vn，hellip;，xn和一组变量
其中k = 1,2，...，n。我们称之为vfrsquo;s Vandermonde quasideterminants（见第2节）。我们的第一个主要成果是这样的
对于k = 1,2，...，n。
特别是，
定理1紧跟在我们的陈述和公式（2）之后。我们这里不使用Amitsur定理。我们的证据基于使用quasideterminant身份的“诚实的”代数计算。由于这些原因，我们在可交换场中由一组有限的非交换变量生成的自由偏斜场内工作。
k = 1，hellip;，n的表达式ak或Ak =（-1）kak是x1，hellip;，xn的对称函数。遵循[8]的一般线，考虑由A1，A2，hellip;，An生成的非交换特征场上的自由关联代数Symm。该代数的每个元素可以被视为y1，hellip;，yn的多项式以及x1，hellip;，xn的有理函数。
定理5 当且仅当P属于代数Symm时，y1，hellip;，yn的多项式P在x1，hellip;，xn中是对称的。
换句话说，该定理表明“实”对称函数P是[8]意义上的“抽象”对称函数。根据[8]的第7.3节，我们描述了这些功能的基础。
让w = yil hellip;yim是一个词。如果1 lt;k lt;m-1且ik大于ik 1，则整数k被称为w的下降。
对于任何集合，非负整数的J =（j1，hellip;，jk）都考虑函数
其中m = j1 hellip; jk并且总和在所有单词上运行w = yilhellip;yim其中，下降精确地是j1，j1 j2，hellip;，j1 hellip; jk-1。
这些函数在[8]中称为带状Schur函数。根据[8]中的命题7.15，第7.3节，函数RJ在Symm中形成线性基。这意味着Symm中的基数由非负整数序列参数化。我们记得在一个可交换的情况下，众所周知的经典Schur函数的基础是通过弱增加的非负整数序列来参数化的。
还要注意功能
总和在所有i1上运行i1le;i2 le;hellip; le;ik构成一种特殊形式的函数RJ。函数Sk是交换情况下完全对称函数的类似物。它们在[8]的7.3节中得到了考虑。
1.我们在这里回顾一下[9]，[10]中定义的quasideterminant的概念。令A = {||aij||，iI，jJ}为n = | I | n = | J |的正方矩阵，具有正式非交换条目aij。对于pI，qJ由Apq表示子矩阵{||aij||，iI —{p}，jJ —{q}}的A.设F是由形式变量aij定义的自由偏斜场。
定义：公式
如果n = 1则减少到| A |pq = apq）定义n2 quasideterminants | A |pq矩阵A。
该定义对于偏斜场上的通用矩阵也是有效的，即定义了| A | pq的公式中的所有表达式的矩阵。
备注： Amitsur引入了自由偏斜场[1]并由Bergman [2]和P. Cohn [3] [4]研究，他们将它们描述为非对易多项式环分数的通用偏斜场;它们是导管中的通用物体，其态射是特化。不熟悉这个主题的读者可能只考虑我们在一般情况下的表达方式。
示例：对于n = 2，一个具有四个准终止剂
在交换情况下| A |pq =plusmn;detA / detApq。
2.让我们构建一些我们称之为Vandermonde quasideterminants的表达式。假设给出了一个有序集X ={x1 lt;x2 lt;hellip; lt;xn}的方程（1）的解在倾斜场上。考虑k = 2,3，...，n正式表达式
我们将这些表达称为Vandermonde quasideterminants。如果定义了所有virsquo;s并且是可逆的，我们将调用解决方案集X通用。
示例 通过quasideterminants的定义：
设v1 = 1，
当k = 1，2，hellip;hellip;n，
例
现在我们制定我们的主要结果。
定理2 如果{x1，hellip;，xn}是在倾斜场上方程（1）的有序通用解集，那么对于k = 1,2，hellip;n
其中ykrsquo;s由公式（4）定义。
特别是，
请注意，每个yk取决于x1，hellip;，xn的排序，但akrsquo;s的表达式不依赖于排序。
3.让我们说明定理2.对于n = 2，很容易检查x1和x2是等式的解
哪里
请注意，从正式身份
因此，a1和a2不依赖于变量x1和X2的排序。
另请注意，函数y1y2在x1，x2中不对称（但a2 = y2y1是！）。仍然可以“用手”检查x1，x2，x3是等式的解
哪里
于是，y1，y2，y3由式（4）给出。还可以检查a1，a2，a3在x1，x2，x3中是否对称。然而，即使在这种情况下，更好地遵循一般证据。这样的证明使用下面的定理3和来自[9]和[10]的准终止身份。
4.以下结果基本上在[8]，第7.1节中获得。
定理3令x1，hellip;，xn是等式（1）的一组独立解。那么对于k = 1，...，n
该定理证明了系数ak是n阶的两个准终止子的比率。
这些带有符号变化的表达式在[8] x1，hellip;，xn中的基本对称函数中被调用。它在[8]中得到证明，并且从定理2得出，这些函数在x1，hellip;，xn中实际上是对称的。
示例 对于n = 2
定理3遵循以下观察：等式（1）可以以准终止形式书写
变换x →vnxv-1其中vn是由公式（2）定义的Vandermonde准四分子，可用于比较左方程（1）和右方程的解
我们这里只给出最简单的例子。
定理4 假设x1，x2，hellip;，xn是左方程（1）的独立解。然后yn = vnxnv-1是右等式（5）的解。
参考文献：
[1]A.Amitsur，关于代数和几何的有理数身份和应用，J。Algebra 3,1966,304-359[2] G.M.Bergman，非交换理性函数的偏斜场，Amitsur之后，Seminaire Schutzenberger-Lentin-Nivat 1969-70,16,1970
[3]P.M.Cohn，自由戒指及其关系，Acad。出版社1985年（第一版，1971年）
[4]P.M.Cohn，Skew Field Constructions，Cambridge Univ。按，伦敦数学。 SOC。 LECT。注释27，1977。
[5]A.Connes，非交换几何，Acad。出版社，1994年
[6]J. Diedonne，一个非交换身体的决定因素，公牛。 SOC。数学。法国71,1943,27-45
[7]D.Fuchs，A.Schwarz，Matrix 韦达定理，预印本
[8]I.Gelfand，D.Krob，A.Lascoux，B.Leclerc，V.Retakh，J.-Y.Thibon，非对易对称函数，数学进展。 112,1995,218-348
[9]
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