本科毕业设计（论文）

外文翻译

学生对比例函数、反比例函数和仿射函数的理解：两个关于外部表征作用的研究

作者：德克bull;德bull;博克、温bull;凡bull;多伦和列文bull;范夏菲尔

国籍：比利时

出处：施普林格荷兰

中文译文：

数学教育者经常强调数学中多重外在表征的（激发）作用。正如Matteson（2006）所解释的，学习数学就像学习一门外语。外部表示是该语言词汇表中的关键元素，如果学生想要成功地表达和理解数学思想，并保持正确性和准确性，则需要熟练使用。Vergnaud（1997）认为，外部表示是数学学科的固有特征，因为数学概念的一个特点是，它们只能通过外部表示进行交流。多个外部表示法的使用也被证明有助于数学问题的解决（例如，Duval，2002年；Even，1998年；Gagatsisamp;Shiakalli，2004年；Kaput，1992年；Yerushalmy，2006年）。因此，NCTM标准（1989）强烈呼吁通过使用多个外部表示来建立“数学联系”：

不同的问题表现形式可以作为学生解释问题和解决方案的不同视角。如果学生要在数学上变得强大，他们必须足够灵活，以各种方式处理情况，并认识到不同观点之间的关系（第84页）。

国际科学与数学教育杂志（2015）13（增刊1）：S47YS69

#国家科学委员会，台湾2013

然而，研究表明，学生在使用外部表示方面并不总是足够流利，因为他们没有必要的图表知识来与表示进行交互（De Jong、Ainsworth、Dobson、van der Hulst、Levonen、Reimann等人，1998），通过将表示与rea联系来解释表示。Lity（Ainsworth，Bibbyamp;Wood，1998年），或在同一领域内的表示之间进行翻译和切换（甚至，1998年）。学生在解决问题时不总是受益于使用多个外部表示的另一个原因是他们无法做出灵活的表示选择（Acevedo Nistal、Van Dooren、Clarbout、Elenamp;Verschaffel，2009、Acevedo Nistal、Van Dooren、Clarbout、Elenamp;Verschaffel，2010；Acevedo Nistal、Van Doorenamp;VerschafEL，2012A，B）。

传统上，灵活的代表性选择被理解和操作化为选择与待解决任务的特征更好匹配的外部代表，因此，研究几乎完全集中于影响这一能力的任务特征（例如Gilmoreamp;Green，1984；Sparrow，1989；V埃西，1991年；威金斯和安德烈，1990年）。最近，学生自身作为代表性用户的特征以及做出选择的背景的作用也得到了承认（Verschaffel、Luwel、Torbeyns和Van Dooren，2009年）。例如，在学科特征方面，研究表明，学生对表征的概念和程序性知识，以及他们对特定表征的个人经验，会影响他们做出的表征选择，以及他们使用选定的表征解决数学任务的能力。离子（Acevedo Nistal等人，2009年）。Acevedo Nistal等人提供了一个令人信服的例子，说明上下文对学生代表性选择的影响。（2012b）谁显示学生，特别是来自科学和技术的学生，感到在课堂上使用公式解决数学问题的压力。表和图被认为更适合非正式上下文（例如，向同伴解释如何解决问题）、备份（例如，检查通过公式获得的解决方案）或仅仅作为信息显示（例如，表示通过公式获得的解决方案）。

大多数关于数学学习中代表性流畅性和灵活性的研究都集中在函数的概念上（例如demaroisamp;tall，1999；Leinhardt，Zaslavskyamp;stein，1990），因为函数是数学领域中一个突出的例子，可以使用不同类型的表示（如图、公式和表）（even，1998）。更具体地说，大多数研究集中在线性函数上。一个主要原因是，以前的研究表明，不同年龄的学生对线性的理解非常有限（De Bock、Van Dooren、Janssens和Verschaffel，2007；Van Dooren、De Bock、Janssens和Verschaffel，2008）。一种典型的错误是学生倾向于在完全不线性的情况下假设线性，或者假设错误的线性关系（例如在仿射情况下假设比例关系）。特别是比例关系经常在其适用范围之外使用。例如，研究表明，大多数10到12岁的学生对“约翰跑100米的最佳时间是17秒”这个词的回答是170秒。他跑1公里需要多长时间？“在一个完全不线性的情况下，他们假设一个比例关系：这个问题中提到的现实不允许任何单一的、精确的答案（Verschafel，de Corteamp;Lasure，1994；Verschaffel，Greeramp;de Corte，2000）。Van Dooren、De Bock、Depaepe、Janssens和Verschaffel（2003）记录了另一个例子：许多高中生对概率问题（如“一个骰子六合一的概率为”）的反应成比例（）。两卷纸中至少六卷的概率是多少？“学生对线性模型和特别是比例模型的过度依赖已经在各种数学领域（例如初等算术、代数、（pre）微积分、概率和几何）以及最近的物理学（De Bock、Van Dooren和Verschaffel，2011）得到了广泛研究。De Bock、Van Dooren、Janssensamp;Verschaffel（2002）和De Bock等人（2007）通过参考（1）学生线性模型的直观、启发式性质，（2）学生在数学课堂上的经验及其对数学建模和问题解决的信念，以及（3）与线性错误的问题情境的数学特殊性相关的元素来解释这一现象。或发生。通过集中和系统的教学行动（Van Dooren、De Bock、Hessels、Janssens和Verschaffel，2004年）或通过在数学课堂之外创造真实的环境（Van Dooren、De Bock、Janssens和Verschaffel，2007年）来弥补学生对线性/比例的过度依赖，并没有产生完全令人满意的结果。TS：学生们对（非）比例性新获得的见解被证明是不深刻和持久的。

一些研究指出，外部表征在学生普遍过度依赖线性，特别是学生过度依赖比例性中的作用。例如，在函数领域，直线图原型被证明对许多学生非常有吸引力。Leinhardt等人（1990）提到了几项研究，这些研究表明，不同年龄的学生在被要求绘制非线性情况（如从出生到30岁的身高增长）时，有很强的趋势通过原点产生线性模式。该领域的另一个例子是Markovits、Eylon和Bruckheimer（1986）的研究。当要求14到15岁的学生画一个函数图，通过两个给定点，学生通常画直线。同样，Karplus（1979）发现，当学生在科学实验中插入两个图表数据点之间时，他们强烈倾向于使用直线连接这些点。尽管如上文所示，一些研究提到了外部表征对学生过度依赖线性的影响，特别是对学生过度依赖比例性的影响，但我们不知道实证研究关注的是外部表征对这一众所周知现象的作用。因此，代表性方面仍然是文学中关于学生过分依赖线性的盲点。

在这篇文章中，我们的目标是为揭示学生（缺乏）对外部表征的掌握以及他们对比例的过度依赖之间被忽视的关系迈出第一步。为此，我们进行了两项实证研究。在第一个研究中，我们结合了学生过度依赖线性的研究传统，重点研究了函数的建模方面。我们调查了学生在将现实情况的描述与比例、反比例和仿射函数的各种外部表示联系起来时的准确性。1因为我们假设外部表示将在学生倾向于不适当地将非比例情况与道具联系起来时起作用。Ortional模型，我们也在第二个研究中调查了学生对这些不同表示的理解程度。在第二项研究中，函数不再被用作情景模型，而是作为数学对象本身。更具体地说，我们研究了学生在将比例、反比例和仿射函数的各种表示与相同函数的其他表示2连接起来时，在没有任何上下文化这些函数的情况下，是如何精确的。

研究1：将功能表示与现实情况联系起来

目标和理由

在本研究中，我们主要研究学生的线性和非线性功能建模能力。建模过程中的一个关键步骤是转换数学模型中的问题情况。瑞典12年级学生在数学建模能力方面的研究（Frejdamp;_rleb_ck，2011）解决了学生选择数学模型的困难。该研究的框架区分了七个建模子能力。选择一个模型就是其中之一。

为了衡量这一（以及其他）建模子能力，使用了海恩斯、克劳奇和戴维斯（2000）开发的研究工具的稍作修改的版本。在他们仪器的两个项目中，描述了一个“现实”的情况，学生必须将这种情况与一个适当的数学模型联系起来，从五个给定的选项中进行选择。模型要么用图形表示，要么用公式表示。结果表明，选择模型是学生在图形或公式表示模式下表现最不熟练的子能力之一。另外，Leinhardt等人之前提到的文章。（1990）已经在学生的建模能力和他们对线性模式的偏好之间建立了联系。

由于学生的建模能力、对比例的过度依赖和对表征模式的掌握程度之间的关系尚未得到系统的研究，无论是从数学模型还是从伴随表征的角度，我们都建立了第一个研究。更具体地说，我们调查：（1）学生在将现实情况的描述与比例、反比例和仿射模型联系起来时有多准确；（2）准确性和模型混淆是否取决于给出模型的表示模式？因为我们预计模型混淆更有可能发生在与比例模型至少具有某些特征的模型上，而且我们无论如何都必须在非比例模型的无限域中进行选择，所以我们在本研究中使用了三种特定类型的非比例模型，它们在概念上最相关。ed到比例模型（）：反比例模型（），正斜率仿射模型（，a 9 0和），负斜率仿射模型（）。可以说，这三个模型与比例模型有一些共同特征，但并非全部。例如，仿射函数与比例函数共用一个性质，即它们的图具有一条直线的形状，并且x中的Delta;x的相同增加总是导致y中的Delta;y的相同增加。但是，在比例函数中，x的加倍意味着y的加倍，这不适用于仿射函数。逆比例模型和比例模型具有比例特性，这意味着这两个变量是相乘相关的（乘积或比率是常数），但是，例如，它们的图的形状是不同的。

方法

来自鲁汶大学教育学一年级的65名学生参加了这次活动。这些学生已经成功地完成了中等教育，通常还接受了3年的非大学高等教育。尽管他们都在中学学习必修的数学课程，但这在大多数情况下并不是他们课程的核心。在这些数学课程中，解决现实问题和基本功能的适用性，如我们研究的核心功能，受到了相当多的关注。

参与者面临一个书面的多项选择测试，包括12个描述现实情况的描述，他们必须与一个适当的数学模型联系起来。对于每种情况，适当的模型要么是比例的，反比例的，正斜率的仿射，要么是负斜率的仿射。这些模型是以图形、表格或公式的形式给出的（每种表示都在三分之一的情况下提供）。图1举例说明了如何为三种代表模式中的每一种向参与者提供与适当模型相关的情况描述。“附录”中列出了所有12种情况的描述。我们只为测试仪器中的12种类别（4种型号times;3种表示）提供了一种情况。这样做的第一个原因是防止学生反复面对类似的项目时，可能会产生学习效果。第二个原因是，否则测试会变得太长和重复，以至于参与者可能会失去注意力或动力。为了避免隐藏变量的干扰，我们选择了人们可以合理预期学生熟悉的现实情况，并尽量保持对这些情况的描述尽可能简单。因此，我们也将自己局限于我们可以用位于第一象限的模型来描述的情况。还选择了一些情况，以便只与所提供的一个模型非常强和明确地匹配。我们知道，模型从来都不完全符合实际情况，但我们认为适合某个情况的模型无疑比其他三个模型更适合。此外，测试项目在情景公式中未提及具体数字或变量的情况下具有可比性。

采用SPSS中的广义方程估计法对64名参与者3的反应进行统计分析（Liang和Zeger，1986）。该程序允许分析一系列个体的重复（因此可能相关）分类观察，并适当校正测量之间的相关性，以便做出推论。考虑到因变量的二分法性质（即是否选择了特定的响应备选方案），逻辑回归（建模给出正确响应的概率，根据功能类型和作为解释变量的代表模式）是适当的。

图 1 研究1多项选择测试的示例项目

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本科毕业设计（论文）

外文翻译

STUDENTSrsquo; UNDERSTANDING OF PROPORTIONAL, INVERSE PROPORTIONAL, AND AFFINE FUNCTIONS: TWO STUDIES ON THE ROLE OF EXTERNAL REPRESENTATIONS

作者：Dirk De Bock，Wim Van Dooren，Lieven Verschaffel

国籍：Belgium

出处：Springer Netherlands

原文正文：

Mathematics educators very often emphasize the (stimulating) role of multiple external representations in mathematics. As Matteson (2006) explains, learning mathematics is like learning a foreign language. External representations are key elements in the vocabulary of that language, and students need to become fluent in their use if they want to succeed in expressing and understanding mathematical ideas with correctness and precision. Vergnaud (1997) argues that external representations are inherent to the discipline of mathematics, since a characteristic of mathematical concepts is that they can only be communi- cated through their external representations. The use of multiple external representations has also been shown to facilitate mathematical problem solving (e.g. Duval, 2002; Even, 1998; Gagatsis amp; Shiakalli, 2004; Kaput, 1992; Yerushalmy, 2006). The NCTM Standards (1989) therefore hold a strong plea for establishing “mathematical connections” through the use of multiple external representations:

Different representations of problems serve as different lenses through which students interpret the problems and the solutions. If students are to become mathematically powerful, they must be flexible enough to approach situations in a variety of ways and recognize the relationships among different points of view (p. 84).

International Journal of Science and Mathematics Education (2015) 13(Suppl 1): S47YS69

# National Science Council, Taiwan 2013

However, research has shown that students are not always sufficiently fluent in using external representations in the sense that they do not have the necessary diagrammatic knowledge to interact with the representations (de Jong, Ainsworth, Dobson, van der Hulst, Levonen, Reimann et al., 1998), to interpret representations by linking them with reality (Ainsworth, Bibby amp; Wood, 1998), or to translate and switch between representations within the same domain (Even, 1998). Another reason why students do not always benefit from using multiple external representations in problem solving is that they are unable to make flexible representational choices (Acevedo Nistal, Van Dooren, Clarebout, Elen amp; Verschaffel, 2009, Acevedo Nistal, Van Dooren, Clarebout, Elen amp; Verschaffel, 2010; Acevedo Nistal, Van Dooren amp; Verschaffel, 2012a, b).

Traditionally, making a flexible representational choice was under- stood and operationalized as selecting the external representation(s) which better matched the characteristics of a to-be-solved task, and consequent- ly, research almost exclusively focused on task characteristics influencing this ability (e.g. Gilmore amp; Green, 1984; Sparrow, 1989; Vessey, 1991; Wickens amp; Andre, 1990). More recently, the role of studentrsquo;s own characteristics as a representational user, and of the context wherein the choice is made, has been acknowledged too (Verschaffel, Luwel, Torbeyns amp; Van Dooren, 2009). With respect to subject characteristics, research has for instance shown that studentsrsquo; conceptual and procedural knowledge about representations in general as well as their personal experience with a specific representation influence the representational choices they make and their ability to solve a mathematical task using a selected representation (Acevedo Nistal et al., 2009). A convincing example of the influence of the context on studentsrsquo; representational choices was provided by Acevedo Nistal et al. (2012b) who showed that students, especially from Science and Technology, felt a pressure to use formulas to solve mathematical problems in a classroom context. Tables and graphs were considered as more appropriate for informal contexts (e.g. to explain to a peer how to solve a problem), as backups (e.g. to check a solution obtained with the formula) or as mere information displays (e.g. to represent a solution obtained with the formula).

Most research on representational fluency and flexibility in mathemat- ics learning focuses on the concept of function (e.g. DeMarois amp; Tall, 1999; Leinhardt, Zaslavsky amp; Stein, 1990) because functions are a prominent example in the domain of mathematics where different types of representations (such as graphs, formulas, and tables) can be used (Even, 1998). More specifically, most studies focus on linear functions. A main reason is that previous research has shown that students of various ages often exhibit a very limited understanding of linearity (De Bock, Van Dooren, Janssens amp; Verschaffel, 2007; Van Dooren, De Bock, Janssens amp; Verschaffel, 2008). One typical kind of error is that students tend to assume linearity in situations that are not linear at all, or assume a wrong linear relation (e.g. assume a proportional relation in an affine situation). Particularly proportional relations are frequently used outside their applicability range. For example, research has shown that a large majority of 10- to 12-year-old pupils answer 170 s to the word problem “Johnrsquo;s best time to run 100 m is 17 s. How long will it take him to run 1 km?” whereby they assume a proportional relation in a situation that is not linear at all: The reality referred to in this problem allows no single, precise answer (Verschaffel, De Corte amp; Lasure, 1994; Verschaffel, Greer amp; De Corte, 2000). Another example was documented by

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