简单加减策略方面——数学能力的影响

原文作者：Joke Torbeyns（科学研究基金），Lieven Verschaffel（教学心理学和技术中心），Pol Ghesquie`re（维也纳勒文大学残疾、特殊需要教育和儿童保育中心）

摘要：本研究从战略变化模型出发，采用选择/不选择方法和时间年龄/能力水平匹配设计等方面，考察了简单算法领域中与策略使用和发展相关的能力差异。26名数学能力强的二年级学生(MA)、25名数学能力弱的二年级学生和20名与较强的二年级学生匹配的三年级学生，在4种条件下解决了36项与桥梁匹配的加减问题。在选择条件下，儿童可以在检索、分解到10和依赖之间进行选择。而在三种没有选择的情况下，他们必须解决所有的问题，包括检索、分解到10和依靠。结果表明，二年级学生在策略使用上存在强弱的差异，而较强的二年级和匹配的三年级学生之间的策略使用差异不显著，这表明数学能力弱的儿童的策略发展具有明显的延迟性。本文详细讨论了该研究的理论、方法和实践意义。

关键词：数学能力；加减计算; 策略模型

1. 引言

20世纪70年代以来，认知研究者对这一发展进行了深入的研究。在正常情况下实现儿童和成人的数学策略。在数学领域，特别是简单算法领域，越来越多的研究成果被用来建立和评价战略发展的理论模型。一个有影响的模型是莱梅尔和西格勒提出的“战略变革模型”，它区分了四个维度来描述战略能力的发展变化。第一个维度，即战略曲目，指的是一个人用来解决一项任务的不同策略。第二个维度，即策略分布，涉及到每个策略应用的相对频率。第三个维度，即战略效率，关系到战略执行的准确性和速度。第四个维度，即战略选择，指的是个体战略选择的适应性：个体是否选择了最有效的战略，即引导个人最快地回答问题的策略。根据该模型，在学习过程的开始阶段，学习者主要使用无效的备份策略，而这些策略执行缓慢且不准确。此外，如果策略库包含多个策略，那么初学者就不会以最适应的方式应用这些策略。随着练习的增加，学习者不仅使用最有效的备份策略(例如，最小策略“3 5=（5），6，7，8”)和检索策略(“3 5=8，根据记忆”)越来越频繁。他(她)还以不断增长的速度、准确性和适应能力。

战略变革模型对描述有数学障碍的儿童的策略发展非常有用。下一节批判性地讨论了以前关于有数学障碍儿童在加减多达20的策略上的开发工作。然后，详细介绍和讨论了本研究的设计和结果。

1. 前人在简单加减领域的工作

自20世纪90年代以来，越来越多的研究聚焦于有数学障碍儿童在简单加减领域的策略发展。这些研究显示，有数学障碍儿童的发展，与其正常成绩的同龄人相比，不仅有延迟，而且还有更基本的缺陷。有数学障碍的儿童不能从他们通常达到目标的同龄人中分离出他们用来解决加减多达20的策略。不论是有数学障碍还是没有数学障碍的孩子都要回答以下几类问题，通过三种不同类型的策略，分别为a.检索（即从长期记忆中自动再现问题答案）；b.分解策略，这些策略都涉及到将问题分解为两个或多个子问题，比如分解10策略（9 8=9 1 7=10 7=17），关系策略（9 8=19 9-1=18-1=17），少于10战略（9 8=10 8-1=18-1=17），还有衍生事实策略（9 8=9 7 1=16 1=17）；c.计数策略，如手指计数、和策略和最小策略。然而，前者在应用这些策略的频率、准确性和适应性方面与后者不同。在学习过程的开始阶段，有数学障碍的儿童比正常的同龄人更多地依赖于计数策略，而更少地依赖于检索。他们还执行可用的计数和检索策略比后者更不准确。此外，没有数学障碍的儿童会调整他们的策略选择以适应困难的问题（比如，优选计数策略来解决难题，并且在更容易的问题上最频繁地应用检索），而有数学障碍的儿童则做出适应性较弱的策略选择。随着年龄和经验的增加，计算策略的准确性和策略选择的适应性均有所降低，这说明有数学障碍的儿童的发育与正常发展的同伴相比是延迟的。统计和检索策略的频率差异以及检索精度的差异并没有随着年龄和实践的增加而减少，这表明有数学障碍的儿童也有更多的基本缺陷。

1. 讨论

本研究的目的是研究不同数学能力的儿童在简单算术领域的策略特征和发展，并采用一种优化的研究方法。为了达到这一目的，我们使用选择/不选择的方法，比较了数学能力强的二年级学生在加减法上运用的策略的曲目、频率、效率和适应性，以及数学弱的二年级学生(CA-Match)和数学能力水平相同的三年级学生(AL-Match)的策略。

我们的结果支持这样的假设：数学能力弱的孩子的加法和减法策略的发展速度慢于数学能力强的孩子，但与正常成绩的同龄人没有根本的区别(延迟假说)。事实上，正如下面所总结的，我们观察到儿童的CA匹配组(即强的和弱的二年级学生)在策略特征上有明显的差异，但在较强的二年级和数学能力相同的三年级学生之间没有明显的差异，这表明数学能力弱的儿童的策略特征仅仅反映了他们获得的数学能力水平，因此，他们的策略发展被延迟了。

根据以前在简单算术领域的研究，我们首先比较了数学能力强的二年级学生和比他们弱的同龄人的策略特征(CA匹配比较)。这一分析表明，无论是数学能力强的还是弱的，二年级学生都使用了检索、分解到10，并指望着用10以上的桥梁来解决问题。但前者在使用这些策略的频率、效率和适应性上与后者不同。数学能力强的二年级学生比弱的二年级学生更频繁地使用检索，更少地选择依赖。此外，数学能力强的二年级学生比弱的二年级学生的检索错误少，并比后者更准确、更快地执行分解策略。最后，数学能力强的二年级学生比弱的同龄人做出了更多的适应性策略选择。

根据CA/AL匹配设计，我们接下来比较了数学能力强的二年级学生和数学能力相同的三年级学生的策略特征(AL匹配比较)。这项分析揭示了数学能力强的二年级学生和匹配的三年级学生的四种策略特征中的任何一种都没有区别。两组均进行检索、分解为10、计数，并应用了相同的精度、速度和适应能力。在选择条件下，匹配的三年级学生比二年级学生更频繁地使用检索，这可能是由于任务经验的不同，对前者更有利。

由于我们观察到数学能力强、弱的二年级学生的策略特征有明显差异，而在二年级和匹配三年级学生的策略特征上没有明显差异，因此我们可以得出结论，儿童的策略特征与数学能力水平有关，这表明数学能力弱的儿童的策略发展与数学上较强的同龄人的发展相比是延迟的。我们的数据不支持另一种假设，即数学上较弱的孩子可以从更基本的缺陷中得到帮助，就像以前关于这个问题的研究所建议的那样。然而，应该指出的是，数学能力强的二年级学生和匹配的三年级学生很好地掌握了分解到10的技能，就像他们在各自无法选择的条件下的任务表现所表明的那样。对分解和计数策略的高度掌握可能掩盖了这些策略在效率上的差异，就像数学能力强的二年级学生和匹配的三年级学生所做的那样(上限效应)。将我们的研究结果应用到那些还没有掌握分解和计数策略的幼儿身上(例如，数学能力弱的二年级学生，以及通常将数学能力与二年级学生相匹配的一年级学生)，将为延迟假说提供更有力的支持。此外，我们的研究集中在没有特定数学障碍的数学能力弱的儿童的加法和减法策略的发展上。需要对有数学障碍的儿童的策略特征和策略发展进行研究，以检验我们的研究结果是否可以推广到有数学障碍的人群中。

从方法论的角度出发，对CA/AL匹配设计和选择/不选择方法在简单算法领域中研究幼儿策略应用的价值进行了研究。

首先，如前文所述，CA/AL-Match设计为数学能力弱的儿童的加减策略的发展提供了新的思路。对数学能力强和弱的二年级学生的策略特征进行比较（CA匹配比较，如在几乎所有先前关于该话题的研究中所做的）揭示了两组儿童在策略特征中的差异。对数学能力强的二年级和匹配三年级学生的策略特征的附加比较(AL匹配比较，这在以前的数学领域的研究中很少做过)表明，数学能力弱的儿童的策略特征只是重新考虑了他们不成熟的数学能力水平，表明他们的策略发展是一个延迟。

第二，选择/不选择方法被证明是收集关于检索效率的无偏数据，分解为10并依赖，从而使个体的策略选择在选择条件下的适应性被证明是必要的。在无选择条件下收集到的效率数据与在选择条件下得到的数据进行了比较，结果表明，选择效应对后一种数据有偏差。例如，在选择条件下检索的准确率很高(与此策略在检索条件下的低准确率相比)可能是由于它对儿童的选择性分配以及在这种情况下的问题。事实上，数学能力最高的孩子(即数学能力强的二年级学生和匹配的三年级学生)，在检索条件下比能力最低的孩子(即数学能力弱的二年级学生)更准确地回答问题，在选择条件下使用检索的频率最高。此外，在检索条件下，儿童最常应用于他们能够最准确地回答的问题，即附加问题。同样，在选择条件下，在策略执行的准确性方面没有群体差异，这很可能是因为数学能力弱的二年级学生经常通过依赖——他们能够像数学能力强的二年级学生一样精确地执行唯一的策略，来回答后一种情况下的问题，这一点可以从无选择条件的数据中得到证明。因此，我们的发现为Siegler和Lemaire(1997)关于选择方法的批判性评论提供了有力的证据。

在更实际的层面上，选择/不选择的方法被证明是诊断数学能力弱的儿童特定任务的优势和弱点的一种有价值的工具。如前文所述，在选择条件下，儿童也确实可以将检索、分解和计数策略选择性地分配给问题。例如，一些数学能力弱的二年级学生在选择条件下对10进行分解，只有通过这种策略才能精确地解决这些问题。分解到10的选择性分配使得该策略在选择条件下具有较高的正确率，这似乎表明这些弱的二年级学生很好地掌握了后一种策略。然而，在分解策略中强制将分解应用于10显示出，在没有具体材料支持的情况下，一些弱的二年级学生无法分解大部分整数(例如，用他们的手指)，而另一些人则不知道在减法时必须用分解的整数执行哪种操作（比如：15-7=15-5-2或15-7=15-5 2）。这种关于每个孩子所做和尚未掌握的特定任务的概念和程序的信息，对于使补救和干预技术适应他或她的具体教育需要是必要的。

此外，鉴于良好掌握基本算术技能对儿童进一步数学发展的重要性，教师应毫不犹豫地努力促进数学能力低的儿童从幼年起的加减策略的发展。我们的结果表明，数学弱者的策略比数学上较强的同龄人的策略发展得慢，但并没有根本的区别。早期和频繁的干预措施旨在促进数学能力弱的儿童的战略制定，可能会减少数学上较强的儿童和数学较弱的儿童之间的发展速度的差异，从而影响后者数学技能差的持续存在，并促进他们的进一步发展。

总之，本研究加深了我们对不同数学能力儿童的发展特点的理解，并记录了所使用方法的价值(即选择/不选择方法和CA/AL匹配设计)。我们认为，用同样的研究方法来验证和完善我们的研究成果是未来研究的一大挑战。

外文文献出处：Learning and Instruction 14(2004) 177-195

外文文献原文：

Abstract

This study investigated ability-related differences in strategy use and development in the domain of simple arithmetic, in terms of the model of strategic change, using the choice/no-choice method and the chronological-age/ability-level-match design. Twenty-six second-graders with strong mathematical abilities (MA), 25 second-graders with weak MA, and 20 third-graders matched on MA with the strong second-graders solved 36 additions and subtractions with the bridge over 10 in 4 conditions. In the choice condition, children could choose between retrieval, decomposition to 10, and counting on. In the three no-choice conditions, they had to solve all problems with retrieval, decomposition to 10, or counting on. Results revealed differences in strategy use between strong and weak second-graders, but not between strong second-graders and matched third-graders, which indicates that the strategy development of children with weaker MA is marked by a delay. The theoretical, methodological, and practical implications of the study are discussed in detail.

1. Introduction

Since the 1970s, cognitive researchers have intensively studied th

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简单加减策略方面——数学能力的影响

原文作者：Joke Torbeyns（科学研究基金），Lieven Verschaffel（教学心理学和技术中心），Pol Ghesquie`re（维也纳勒文大学残疾、特殊需要教育和儿童保育中心）

外文文献出处：Learning and Instruction 14(2004) 177-195

外文文献原文：

Abstract

This study investigated ability-related differences in strategy use and development in the domain of simple arithmetic, in terms of the model of strategic change, using the choice/no-choice method and the chronological-age/ability-level-match design. Twenty-six second-graders with strong mathematical abilities (MA), 25 second-graders with weak MA, and 20 third-graders matched on MA with the strong second-graders solved 36 additions and subtractions with the bridge over 10 in 4 conditions. In the choice condition, children could choose between retrieval, decomposition to 10, and counting on. In the three no-choice conditions, they had to solve all problems with retrieval, decomposition to 10, or counting on. Results revealed differences in strategy use between strong and weak second-graders, but not between strong second-graders and matched third-graders, which indicates that the strategy development of children with weaker MA is marked by a delay. The theoretical, methodological, and practical implications of the study are discussed in detail.

1. Introduction

Since the 1970s, cognitive researchers have intensively studied the development of mathematical strategies in normally achieving children and adults (Ashcraft, 1992; Siegler, 1996). The ever-growing body of research findings in the domain of mathematics in general, and the domain of simple arithmetic in particular, was used to build and evaluate theoretical models of strategy development. An influential model is the lsquo;lsquo;model of strategic changersquo;rsquo; proposed by Lemaire and Siegler (1995), which distinguishes four dimensions to describe developmental changes in strategy competence. The first dimension, strategy repertoire, refers to the different strategies a person uses to solve a task. The second dimension, strategy distribution, involves the relative frequency with which each strategy is applied. The third dimension, strategy efficiency, concerns the accuracy and speed of strategy execution. The fourth dimension, strategy selection, refers to the adaptiveness of individual strategy choices: Does the individual choose the most efficient strategy, i.e., the strategy that leads the individual fastest to an accurate answer to the problem? According to the model, at the beginning of the learning process, the learner primarily uses ineffective back-up strategies (like, for instance, the sum strategy”3 5=1, 2, 3 . . . 1; 2; 3; 4; 5 . . . 1,2,3,4, 5, 6,7,8rsquo;rsquo;) which he or she executes slowly and inaccurately. Moreover, if the strategy repertoire contains multiple strategies, the beginning learner does not apply them in the most adaptive way. As practice increases, the learner does not only use the most effective back-up strategies (like, for instance, the min strategy lsquo;lsquo;3 5= (5), 6, 7,8 rsquo;rsquo;) and the retrieval strategy (lsquo;lsquo;3 5 = 8, I know this by heartrsquo;rsquo;) ever more frequently. He or she also applies the different strategies with ever growing speed, accuracy, and adaptiveness. The model of strategic change proved useful to describe the strategy development of children with mathematical disabilities (MD; for an overview of studies, see Geary, 1993) too. The next section critically discusses previous work on the development of strategies that children with MD apply on additions and subtractions up to 20. Afterwards, the design and the results of the present study are presented and discussed in detail.

The model of strategic change proved useful to describe the strategy development of children with mathematical disabilities (MD; for an overview of studies, see Geary, 1993) too. The next section critically discusses previous work on the development of strategies that children with MD apply on additions and subtractions up to 20. Afterwards, the design and the results of the present study are presented and discussed in detail.

1. Previous work in the domain of simple addition and subtraction

Since the 1990s, a growing number of studies focussed on strategy development in children with MD in the domain of simple addition and subtraction (e.g., Bull amp; Johnston, 1997; Geary, 1990, 1993; Geary, Bow-Thomas, amp; Yao, 1992; Geary amp; Brown, 1991; Geary, Brown, amp; Samaranayake, 1991; Geary, Hamson, amp; Hoard, 2000; Geary, Hoard, amp; Hamson, 1999; Gray, 1991; Hanich, Jordan, Kaplan, amp; Dick, 2001; Jordan amp; Hanich, 2000; Jordan amp; Montani, 1997). These studies revealed that the development of children with MD is, in comparison with the development of their normally achieving peers, not only marked by a delay, but also by a more fundamental deficit. Children with MD do not differ from their normally achieving peers in the repertoire of strategies they use to solve additions and subtractions up to 20. Both children with and without MD answer such problems by means of three different types of strategies, namely (a) retrieval, i.e., the (quasi) automatic reproduction of the answer to the problem from long term memory; (b) decomposition strategies, which all involve the decomposition of the problem into two or more sub-problems; examples of decomposition strategies are the decomposition to 10 strategy (lsquo;lsquo;9 8= 9 1 7 =10 7 = 17rsquo;rsquo;), the tie strategy (lsquo;lsquo;9 8 =9 9 - 1 = 18 - 1 =17rsquo;rsquo;), the one less than 10 strategy (lsquo;lsquo;9 8 =10 8- 1 = 18 - 1 = 17rsquo;rsquo;), and other derived fact strategies (lsquo;lsquo;9 8 = 9 7 1 =16 1 = 17rsquo;rsquo;); and (c) counting strategies, like finger counting, the sum strategy, and the min strategy. However, the former differ from the latter in the frequency, accuracy, and adaptiveness with which they apply these strategies. A

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