二元循环矩阵的行列式值

摘要：本文推导了特殊二元循环矩阵的行列式公式，并提出了一个新的开放性问题，是关于这些特殊循环矩阵可能的行列式值。证明的思想也可以用来获得其他二元循环矩阵的行列式公式。证明了该方法在计算一般循环矩阵行列式的标准方法上的优越性。

关键词：行列式；二元循环矩阵

1.引言

行列式的计算问题在数学的几个领域中有着重要而有趣的应用，主要是作为求解线性方程组、矩阵逆和特征值问题的工具。虽然行列式是一个历史悠久的数学概念，但通常很难推导任意给定矩阵行列式或其子行列式的解析公式。虽然行列式是一个历史悠久的数学概念，但通常很难推导任意给定矩阵行列式或其行列式子式的解析公式。因此，它们现在仍然是许多数学家的一个深入研究的课题，例如，参考文献[16]、[7]和[18]。

主要有以下计算矩阵行列式的方法[15]。一个可能的想法是“凝聚法”，如果该方法有效的话，要求归纳地计算一个行列式。此外，还存在一种基于范德蒙行列式评价标准证明的“因素识别”方法。有时，对于要计算行列式的矩阵，可以找到一个或多个微分方程或差分方程。行列式可以用矩阵的LU分解来计算。最后，在一般情况下，总是可以执行行和/或列操作，或者应用著名的拉普拉斯展开，通常产生行列式的归纳值。

显然，这些方法不能应用于每一个任意的矩阵，即矩阵应该具有特殊的结构和/或满足特定的特性。上面列出的方法是根据严格性和矩阵必须满足的条件的范围来排序的，因此可以将一种方法应用于它，从“严格”到“不严格”。 但是，当我们有特殊结构的矩阵时，有时可以考虑到它们的性质，为它们的行列式建立分析公式。这养的情况已经产生了，例如，对柯西矩阵、范德蒙矩阵、哈达玛矩阵[13，21]、称重矩阵[12]和其他矩阵，参见[2]。分析公式的好处在于，它们通常会导致有效的行列式评估，计算成本可以忽略不计，有时还能提供对矩阵结构的有用的观察。

在目前的工作中，在文献[20]中报告的开放问题和数值实验的激励下，我们证明了具有第一行形式的二元循环矩阵的行列式公式。

(1.1)

对k=1,2,3, 并针对这些特殊循环矩阵的可能行列式值，提出了一个新的开放问题。为了简单和更好地呈现，大多数证明仅针对案例和呈现。这个具体的案例更好地说明了所提出的技术，并且没有任何通用性的损失，并提供了一个清晰的概述。的一般值的结果也得到类似的结果。

具有第一行为的矩阵, 对于某些 ，如果其每一行都是其上一行的右循环移位，则称为循环行列式。因此，它可以表示为

循环矩阵在编码理论[4]、数字图像处理[3，19]、物理[1]、统计设计理论[14]等方面非常有用。它们被用来近似和解释Toeplitz矩阵的行为，因为众所周知，适当选择的循环矩阵序列渐近近似托普里茨矩阵序列，参见[5]。实际上，从结构的角度来看，循环矩阵是一个特殊的Toeplitz矩阵，其中每行的第一个元素等于前一行的最后一个元素。从代数的观点来看，循环矩阵类包含了所有由离散傅立叶变换对角化的矩阵。这种性质的直接结果是循环矩阵的类是代数，最重要的是，两个循环矩阵的乘积又是循环的。当在图像处理或椭圆偏微分方程中使用周期边界条件时，也会产生循环矩阵。

本文的结果可用于以简化的方式表示二元循环矩阵的逆矩阵，该逆矩阵可能出现在多网格方法的紧凑傅立叶分析中，这表明通过生成函数或块符号来表示和分析多网格组件[10，11]。在[17]中讨论了具有最大行列式的(0,1)循环矩阵的构造以及与二元循环矩阵有关的其他问题。

特别是，式(1.1)的二元循环矩阵出现在一些实际应用中。例如，这种二元循环矩阵是特定哈达玛码的生成矩阵，具有良好的编码特性，如[8]。

表示法，(1,-1)矩阵的条目用( ,-)表示。通过我们指定元素矩阵的行表示为

以下引理将在整个论文中使用。

引理1.1.（Schur行列式）[9,p.21]设且是非奇异的。然后

(1.2)

2. 主要结论

我们证明了关于二元循环矩阵行列式的一些结论。

命题2.1.

1. 第一行阶循环矩阵A的行列式是.
2. 一阶循环矩阵A的行列式的第一行是,对n是奇数，0，n是偶数。
3. 一阶循环矩阵A的行列式的第一行是，对和,0, .

证明：

1. 众所周知，秩为n的矩阵

具有行列式。通过执行以下n-1阶连续行排列，可以从矩阵中获得矩阵：将行R1依次与行互换，i = 2，hellip;，n。

因此，

1. 正如引言中提到的，我们可以处理特殊情况所以矩阵A的形式是

我们将行替换为行分别得到矩阵

我们用替换行，得到矩阵

沿着第一行扩展的行列式得到

(2.1)

其中

且

是n-2阶的平方矩阵。我们根据逆的可能形式区分两种情况。

1)对n-2是奇数，即n奇数，我们有

从(1.2)我们有

(2.2)

仔细地进行必要的计算得出

(2.3)

因为矩阵是下三角矩阵，我们有

(2.4)

方程式（2.2）、（2.3）和（2.4）推出

(2.5)

因为n-2是奇数。

类似的计算给出

(2.6)

最后，根据(2.1),(2.5)和(2.6)，考虑到行计算不改变行列式的值（因此，），我们得到

2)对于n-2是偶数，即n偶数，我们有

类似的计算，比如在这个例子中，在得到之前，我们得到

,

因为n是偶数。

阐明命题的一般结果可以用类似的方式推导出来，方法是在上述过程中替换2，minus;2，以及矩阵的，其中以及用证明第二步中的因子。

考虑第一行为的二元循环矩阵。类似于证明命题b）的过程，我们可以得出矩阵

将矩阵A的行列式沿第一行展开，得到

(2.7)

其中

和

我们根据矩阵的可能形式区分了三种情况。

1)当,即,我们有

根据(1.2)

. (2.8)

仔细地进行必要的计算得出

和

(2.9)

因为矩阵E是下三角矩阵，我们有

(2.10)

从式(2.8),(2.9)和（2.10）推出

. (2.11)

类似的计算给出

(2.12)

和

(2.13)

最后，从(2.7),(2.11),(2.12)和(2.13)我们可以得到

它对应于具体情况的命题表述中的非零值。

对,即,我们有

2)对，即，我们有

与第一种情况类似，我们得到了后两种情况下对应于a，b特殊值的表明结果。与命题2.1b)相似的方式，一般结果是通过在上述程序中用和,分别替换矩阵中的2，minus;2和以及用证明第二步中的因子.

2.1

命题2.1a）已经在[6]中得到证明。[6，命题8.3.4]中的证明执行适当的行加减操作，以得出结果。现表明使用行排列来获得结果。然而，为了完整性和考虑到命题2.1的以下b）和c）部分所述的更一般的结果，提出一个新的、紧凑的证据是有意义的。

表1给出了考虑特殊形式第一行的二元循环矩阵行列式计算的一些数值结果。矩阵的顺序在第一列中。第二列表示矩阵第一行中minus;1的K数。第三列的行列式用本文所证明的公式计算。结果与Matlab中相应命令得到的值一致。很明显，标准计算涉及到很大的复杂性，而这里演示的理论结果需要简单的计算。

命题2.1的理论结果，伴随着大量的计算机实验，导致了以下的开放性问题。

表1：n阶循环矩阵行列式nge;k 1的数值实验，第一行为[ hellip; minus;minus;········]，其中minus;出现k次。

开放问题

二元循环矩阵的行列式

第一行nge;k 1循环矩阵A的行列式

是

在第一种情况下，p是0或k的因子（不同于1和k），或小于k的正整数（不同于1），它与k有公约数。

例如，我们有零行列式

对当或

对，当

对

对

对

2.2

尽管在命题2.1b）和2.1c的证明中采用了所建议的技术，但在一开始就用于证明一般k的情况，但它不能超过一个特定的点。更准确地说，各矩阵类似于命题2.1c中的矩阵，矩阵可以按照类似的程序进行分析指定。但是矩阵没有遵循特定的模式，这就像在k=2,3的情况下那样标准化。因此，上述作为开放问题的k的一般情况，可能无法通过建议的策略解决。

此外，用于命题证明的主要思想2.1b）和2.1c）可用于证明更多

类似的结果，如下面的命题2.2中给出的结果。

命题2.2.

n阶循环矩阵A的行列式的第一行是，对对.

证明.考虑矩阵

执行与证明命题2.1b）相同的前两个步骤，得出矩阵

沿着第一行扩展的行列式得到

， (2.14)

其中我们有矩阵

并且矩阵

我们根据矩阵的可能形式区分四种情况。

1)对，即，我们有矩阵

从(1.2)我们有

(2.15)

仔细地进行必要的计算得出

且

. (2.16)

因为矩阵E是下三角矩阵，我们有

(2.17)

式(2.15),(2.16),(2.17)推出

（2.18）

类似计算得

（2.19）

最后，从(2,14),(2.18),(2.19)我们得到

与第一种情况类似的计算，总是考虑到每种情况下矩阵的特殊形式，得出其他三种情况下的命题说明中给出的结果。任意a，b的一般结果是由命题2.1b）的证明末尾提到的相同替换而得。

3.比较

与一般行列式计算的典型方法相比，由于计算成本较高，根本没有问题。在这一节中，我们将提出的计算二元循环矩阵行列式的公式与以下给出的计算任意循环矩阵行列式的标准方法进行比较，如[6]。

定理3.1.设为第一行的ntimes;n循环矩阵.设为n个单位根。的特征根由给出，其中.

从矩阵理论可知，矩阵特征根的乘积等于矩阵的行列式。因此，下面的推论成立。

推论3.1。第一行为的ntimes;n循环矩阵的行列式，由下式给出

(3.1)

3.1

对不同阶数n和a、b、k值进行了大量的数值实验，证实了所提出的开放问题与推论3.1一致。然而，不可能在它们之间建立严格的理论联系，因为推论3.1也涉及统一的第n个根，并且根据命题2.1中采用的代数技术，似乎没有任何对它们的引用，这导致了开放问题的形成。

如果在推论3.1的一般方案中，考虑了在命题2.1中处理的特殊情况，即（1.1）给出的第一行循环矩阵，则通式（3.1）为

式中，n个单位根。

例3.1.为了深入了解本节前面提到的理论结果，考虑第一行为的4times;4循环矩阵，则4个单位根为根据定理3.1，的特征值为：即：推论3.1得出,可以用命题2.1加以验证. 对于第一行为的矩阵，特征值由下式给出：,即同样, 同样的结果来自命题2.1b).

接下来考虑n=100阶的循环矩阵，第一行为。各单位根由公式

(3.2)

考虑到定理3.1和推论3.1，并根据（3.2）的100个单位根，的行列式可计算为

以类似的方式，我们可以获得，例如，对于

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