本科毕业设计（论文）

外文翻译

对于间接证明的学与教

作者：Thompson, Denisse R

国籍：美国

出处：The Mathematics Teacher,1996(09):474-482.

中文译文：

证明是数学的核心，因为每个人都在探索、猜想，并试图用数学证明验证自己和他人其猜想的真伪。事实上，证明是数学行为的主要方面之一，也是“数学行为与其他学科的科学行为最明显的区别”(Dreyfus et al. 1990,126)。由于证明的性质与特点，它应是促进理解的，因此它也是课程的一个重要部分(Hanna 1995)。然而，学生和教师经常发现学习证明是困难的，目前数学教育中正在进行一场关于形式证明在几何中应该发挥多大作用的辩论，而几何是学习证明时结合得最多的内容(Battista和Clements 1995)。

如果学生要精通证明，那么与推理和证明相关的任务必须成为整个K-12课程的特点。《学校数学课程与评价标准》(NCTM 1989, 143)中指出，所有9-12年级的学生经过此课程后需要有这样的经验：做出猜想和进行测试；举反例；遵循逻辑论证的规则；判断论证是否有效；构造简单而有效的论证。对于大学生来说，经验论证应该扩展至构造证明，包括间接证明和数学归纳法证明。

然而，快速浏览一下传统的大学预科课程的数学课本，第一年的代数、几何，第二年的代数和微积分预备课程，你就会发现这些内容中很少出现间接证明。间接证明通常首先出现在几何学中，课时长度为一两节课，位于书的最后三分之一部分。在一年级或二年级的代数课程中，甚至在随后的微积分和分析等课程中，几乎找不到间接证明。

由于在中学课程中很少强调这种证明技巧，学生们觉得这种技巧难以理解和使用也就不足为奇了。然而，随着学生在高中和大学数学学习上的深入，他们经常会遇到一些必须用间接证明来证明的猜想。本文综述了间接证明的一些研究，探讨了间接证明研究对教学的启示，并提出了一些具体的例子和策略，以提高学生正确使用这一证明技巧的能力。

间接证明的范例

在本文中，间接证明是指古希腊人所熟知的矛盾证明法。有些课程教材使用间接论证和间接推理这两个术语来指称对位证明；然而，以这种方式指称间接证明可能会产生误导，因为对位论证是演绎论证的一种直接形式(Bell 1978)。图1包含两个使用间接证明来证明语句的例子：(a)中的证明版本可以在《欧几里得原理》第九卷中找到。矛盾证明一般用于两种陈述:如(a)中的存在性陈述和(b)中的条件性陈述。使用间接证明涉及特定策略，无论证明哪种类型的陈述。首先假设，否定要证明的陈述。然后，通常通过直接证明策略，使用这种假设导致矛盾，即两个相互对立的陈述。因此，假设必定是假的，即，它的否定——原始陈述在逻辑上是正确的（Dossey et al 1987；Roberti 1987；Van Engen 1970）。

已掌握知识的研究

在学生能够遵循规则或写出他们自己的间接证明之前，他们需要一定的先决知识:(1)对证明的性质和意义的一般认识，包括(a)证明的一些内容:质数是无穷的。

假设质数数目有限:，让等于这些素数的乘积，也就是，在这个乘积上加。那么要么是质数要么是合数。如果是质数，那么它就不是所有质数列中的质数。如果是合数，它一定有素数作为它的因数，但是素数列中没有一个素数能除，因为当除以任意一个，余数是1。因此，存在另一个质数，它不在给定的素数列表中。所以，在这两种情况下，质数存在有限的假设导致矛盾。因此，质数的数目必须是无限的。改编自Ore(1948, 65)。

(b)证明:如果两条直线被一条直线所截，使得内错角相等，那么这两条直线就是平行的。

假设两条直线和被一条截线截短，使得内错角相等，但两条直线不平行。因为直线和不平行，它们必须在某一点相交，我们称之为点。

设和是两个相等的内错角，即。但是alpha;是由两相交的线构成的外角，必须大于。因此，。现在存在一个矛盾，因为与不可能同时为真。因此假设必须是假的，原命题为真。

以上改编自Van Engen(1970)，叙述采用了和他相同的语言和形成命题否定的方式。在本节中，我们回顾了一些关于学生具备这些先决知识与技能的能力的研究。

证明的一般理解

许多专门的语言都与推理有关。公理、假设、定理、证明、猜想等只是学生在做证明时必须理解的一些术语。1985年至1986年的国家教育进展评估(NAEP)包含衡量11年级学生对公理和定理的理解的项目。虽然这个项目没有让学生真的去证明，Silver和Carpenter (1989, 17-18)的报告中说，“大多数(11年级)学生回答说,一个定理是示范或假设,只有不到四分之一的学生能够正确识别公理。”如果学生不能区分定理和它的证明，或者假设和证明，那么他们很可能很难判断证明过程的有效性。1990年和1992年的NAEP数据报告中没有一项提供任何有关证明的资料。

Silver和Carpenter进一步报告说，完成几何课程的学生对于证明的表现通常比那些没有学过几何学的学生表现得要好。 然而，只有不到一半的具有两到三年大学预科数学学习经历的十一年级学生能够正确回答有关证明的题目。 Senk（1985）发现了类似的结果。 尽管一门课程中花了一年的时间来强调证明，但只有75%的学生达到了掌握的水平，且这之中只有30%的学生掌握了证明的书写。

Reynolds (1967年，引用了Senk（1983）的研究)不止研究了仅仅一个年级的学生的证明能力，而是研究了英国中学学生处于六个不同年级的证明能力。初一学生可以从具体的例子中进行归纳，却没有证明的概念。到了五年级，学生们明白了证明的必要性，并且能够遵循演绎论证。中学六年级还在学习数学的学生理解了证明的含义，并能写出正确的证明。然而，他们往往没有注意到证明中循环论证的使用和演绎推理中的缺陷。假设学生要理解证明，他们要在书写证明上付出怎样的努力？Bell(1979)希望学生们认识到证明不仅仅是复述结果；它还必须将结果与现有知识联系起来。因此，学生必须转换到更高级的数学思维框架。这种转变是困难的，因为学生必须将概念从直观地基于经验的思想特点转换到被正式定义的并通过逻辑定义重构其属性的思想特点(Tall 1992)。然而，Galbraith(1995)指出，没有掌握足够定义知识的学生，他们经常使用先验知识和对内容的先入为主的概念，即便这些概念不是定理中的给定条件。

学生们有时在这种更深入的数学思维上有困难。Williams(1979)发现，在艾伯塔省埃德蒙顿的大学预科数学项目中，只有不到的11年级学生似乎理解了数学证明的含义，即它证明了一个命题适用的所有情况。他的研究得出了几个结论:大约有的人认为直觉上显而易见的说法是不需要证明的；至少的人无法区分归纳推理和演绎推理，包括认识到归纳不能证明数学命题的合理性；大约的人无法理解假设和定义在证明中的重要性；的人不愿意从任何他们认为是错误的假设中进行推理。

这些研究表明全世界的学生在证明过程中都存在困难。随着学生升读高等数学课程，课程要求他们为多年来可能认为显而易见的命题提供证明。因此，学生必须只能使用定义和假设来证明可能看起来直观、不证自明的命题。当进行间接证明时，遵守这些原则的困难可能会加剧。

反设的能力

要使用反证法，学生必须能够写出命题的否定形式，并将其作为证明的前提。因此，如果学生在写否定句时遇到困难，他们一开始就会遇到困难。本文展示的两项研究揭示了学生对这一重要前提技能的掌握能力。Morgan(1972)研究了数学专业的大学生，在一项任务中，他要求学生确定反证法的初始假设；如果学生回答三题都是正确的，那么他们就成功了。在那些学习了30个小时或更长时间数学的学生中，只有的人成功地识别出反证法的初始假设；对于那些数学学习时间少于30小时的学生，的人取得了成功。

在最近的一项研究中，Thompson(1992)考察了学习高中微积分预科的学生一年课程的成绩，该课程强调证明、实际应用和图形技术的使用(Peressini et al. 1989, 1992)。在这一年中，学生们接触了各种不同的证明内容——数论、有理数的性质和三角恒等式，以及一些证明技巧——直接论证、间接证明和数学归纳法证明。在此学年开始时，我们进行多项选择题测试，以评估学生的背景知识；在学年结束时，采用多项选择后测来评估全年学习主题的成绩和进步。图2包含测试的三项题目。第1项和第3项分别出现在前测和后测中；第2项仅出现在预测中。

在第1项的存在命题上，前测时的学生和后测时64%的学生成功地否定了这一命题。在第3项中，确定假设为真的条件——间接证明的逻辑基础中，前测时的学生回答正确，的学生后测时回答正确。在这两个项目上，结果表明，这一年的学习使学生的证明水平出现了大幅度的增长。在第2项，选择用于开始反证法的假设，的学生在前测中正确回答。在学年中途，学生们被要求参加两种形式的自由反应证明测试。图3包含了该测试的题纸1上的两个项目，给出用于开始反证法的假设。大约的学生在第一项上取得了成功，这一项只要求否定一个存在命题。然而，只有的学生成功地得到了第2项的正确假设，其中包括找到条件句的否定形式。测试结果并不比年初的多项选择题预选的正确率高出多少，当时有的学生在预选中获得了成功，这表明对很多学生来说，写条件句的否定形式是一个困难的概念。约31%的学生否定了构成条件句的含前设条件的简单语句，将否定句表达为if-then语句，而不是and语句。

间接证明的研究

需要考虑的必备技能是描述间接证明过程的能力。如果学生不能概括出这个过程，我们有理由怀疑他们是否真正理解证明技巧。这个技能不是要求学生从证明的步骤中推断理解，而是要求学生抽象地阐明步骤。

在学年中段进行的证明测试中，Thompson(1992)要求学生解释如何做间接证明，而不是实际完成这样的证明。图4包含了测试项目以及学生的示例回答。大约的学生能够写出一份正确的答卷，当答卷以到分制进行整体评分时，他们的得分为或分。参见Thompson和Senk(1993)关于使用推理项目的整体评分的更多细节。

其中一个错误的归纳是从学生对证明形式的看法引申出的有趣的问题中得来的。约8%的学生表示，反证法意味着寻找例子:一些人认为这意味着寻找反例，而另一些人则认为，这意味着挑选例子，看看它们是否有效。可能这些学生混淆了矛盾与错误或混淆了矛盾与反例。伯克(1984),加尔布雷斯(1981、1995),和威廉姆斯(1979)强调学生对于反例存在困惑,即一些学生不相信一个反例就足以证明一个普遍的说法,还有一些学生对反例的例举到达什么程度才能满足命题的证明而感到困惑。因此，这种潜在的困惑是在制定教学策略和课程材料时必须仔细考虑的。

书写与评估反证法

在Williams的研究(1979)中，对学生们测试了几个涉及反证法的题目。其中一个项目要求学生评估一个证明是否合理，即的推理过程运用了反证法。四分之一的学生认为这个命题没有意义；大多数学生认为这个证明是无效的，因为最初的假设是错误的。

在涉及间接证明的另外两个项目上也得到了类似的结果。约有三分之一的学生认为间接证明是有效的，但威廉姆斯得出的结论是，真正理解这种证明方法的学生不到。大多数人不认为这是一种有效的推理形式，部分原因是未能区分命题及其否定。因此，学生们认为他们在假设时就知道了要证的东西，在这基础上才能完成一个证明，而这样的论证使用了是循环的，没有证明任何东西。此外，许多学生似乎不愿意从他们认为不真实的任何假设中进行证明(Williams 1979, 103)。这两个困难都阻碍了学生有效地使用间接证明。在1967年的研究中，Reynolds(引用于Senk[1983])让学生在处理直线和内错角的几何位置关系中使用间接证明。中学第一年，大约有的学生正确完成了证明；在持续进行数学学习的中学第六年，大学的学生正确完成了证明。在所有年级的学生中，有的学生在证明中已经得出矛盾，但不知道如何完成后续步骤。

在二年级以后的代数课程中学习了有理数和无理数的许多性质，一般都是用间接证明法来证明的。图5显示了其中一个题目以及Thompson 1992年研究中一些学生的回答样本。这个题目对学生来说很难。没有学生得分,得分的学生占 ,得分的占 ,得分的占,得分占,还有的学生没有尝试。得分的学生中约有构造证明仅涉及假设欲证的命题，见回答3；还有约的人试图用具体的例子来证明，见回答4.

数学能力的发展的一个方面是让学生自己决定什么时候应使用特定的证明方法。因此，对于一个题目，Thompson要求学生们有他们自己的陈述，并用反证法来证明。图6包含题目和学生的回答示例。总的来说，略多于的学生正确回答了这个题目。大约的学生是类似于回答2的答案，也就是说，他们的回答是非理性的、偏文学叙述的。的学生答对了，也就是说，得分为分或分；的人在答案部分正确，得分为分。尽管许多学生知道该从何开始证明。对，是整数，且，若是负数，负号会在在方程两边平方后丢失。在这样的例子中，学生

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