本科毕业设计（论文）

外文翻译

关于抛物线的三节课:是什么，在哪里，为什么

作者：本·西恩斯、帕梅拉·洛克伍德和克里斯蒂娜·吉尔

国籍：美国

出处：《数学教师》，108卷，第5期(2014年12月/ 2015年1月)，368375页

利用几何画板，这一系列的代数课将二次函数作为两个线性函数的乘积来进行研究。如果有一种方法不仅能快速地完全理解二次函数所遵循的原理，而且还能理解这些原理所运作的原因，那会怎么样呢?我们相信有。本课为抛物线的构造提供了丰富的视角，并让学生能够体会函数是互相联系的基本思想。美国数学教师协会主张函数可以用来构建其他函数(全美数学教师协会 2010)。这一策略将有利于学生过渡到二年级的代数学，在那里有大量的函数等着他们。

我们将讨论有关抛物线的问题，以展示如何通过技术实现对二次函数更全面的理解。技术是学习数学的重要组成部分; 然而，许多新手教师(和资深教师)很难使用技术来教授数学(温霍尔德 2008)。我们希望本课能被加入

到教师的课堂教学方法中。

二次函数可以被认为是两个线性函数相乘的结果，并通过在这里称为相乘直线方程的过程来构造。这种简单但往往被忽视的关系彻底改变了作者对二次函数的看法以及我们向学生介绍二次函数的方式。

第一课:什么是抛物线?

我们使用几何画板reg;创建由两条直线生成的抛物线。通过这个可视化的手段，学生可以研究以下关系:

1.这两条直线在轴上的截距与生成的抛物线在轴上的截距有关。

2.当直线的斜率为1时，每条直线在轴上的截距和在轴上的截距是相反的。

3.直线的斜率决定了抛物线的宽度。

首先我们通过创建一个直角坐标网格来建立探究，然后生成线性函数和，其中规定了两条直线的斜率和在轴上的截距的参数(见图1a)。详细的说明可以在附录(见第375页)和补充视频(参见www.nctm.org/mt067)中找到。

在绘制由和的乘积生成的抛物线之前，我们先复习一下线性函数。例如，我们问学生，如果的值变为2,的图象会发生什么变化，然后我们通过这些参数的变化来证实学生们的回答。我们花费了一些时间在探索的初始部分上，改变几个参数，以确保学生完全理解线性函数的参数是如何影响图象性质的。

接下来我们创建一个抛物线。我们想让学生们推测如果两条直线的值相乘会得到什么结果。学生们经常会说，他们预测在图上其他两条直线之上有一条线。如果再给学生一点时间，并提示他们进一步回答问题，学生们可能会猜测得出的一条线会在另外两条线之间。

在这个初始的推测阶段之后，我们创建乘积并绘制了二次函数的图象。直到他们充分讨论了线性函数乘积可能呈现的样子，我们才希望学生看到抛物线的图象。(但是，由于时间的限制，我们可以在课前准备二次函数，并将其隐藏起来，直到需要的时候。为此，请参阅附录中的详细说明。)当你准备向全班同学展示图象时(见图1b)，观察在屏幕上绘制抛物线时学生们的表情。

巴克(2000)观察到“将线性函数与二次函数进行比较的活动问题使学生将注意力集中在要强调的部分图象上。学生了解到，二次函数与线性函数具有相同的截距，这是一个相当重要的启示”(第592页)。在探索过程中，我们移动了两条直线，并证明了抛物线的截距总是这两条直线的截距。花一点时间将直线在几个特定点的值相乘，例如，说明了二次函数在每个点上的值是两个线性函数值的乘积。学生们发现抛物线与轴相交，是因为两条直线中其中一条直线与轴相交。在他们以初等数学建立的知识基础上，任何乘以零的东西都是零。通过这样做，我们引导学生将因式分解的二次方程（如）与两个线性函数相乘以及在轴上的截距的图象表示联系起来。

我们要求学生找出当斜率为1时，直线的在轴上的截距和在轴上的截距之间的关系。当时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的对边，或者说-1倍。这一重要事实推动了对方程(如顶点和根的公式)中的研究。

在第一课中，我们想让学生看到的第三个概念是直线的斜率如何影响相关抛物线的宽度。

为什么当的系数变小时，抛物线变宽?

本节课将使用运动控制器使参数具有动画效果(详见附录)。这个探究不仅回答了学生什么是导致抛物线变宽变窄的问题，还回顾了直线斜率并将这些概念联系在一起。保持的参数固定,学生将能够看到,当斜率减少, 变得平缓,因此,直线在轴上的截距“推”得越远(水平),能使抛物线的开口越宽广(见图2),当斜率增加时,直线变得陡峭,直线在轴上的截距“拉”得越近,能使抛物线的开口越狭窄。对于动觉型学习者，一些教师用手势来传达这个概念。几何画板呈现的图象将帮助那些不理解这一概念的视觉学习者。

这第一课应该用来介绍抛物线。我们通常花大约三天的时间学习这一课。第一天，我们和同学们一起绘制草图，简要回顾线性函数，并讨论直线和抛物线的关系。第2天专门讨论与截距相关的问题。第三天我们讨论了首项系数，它与抛物线的关系，以及它是两条直线斜率的乘积。如果安排在第二天半个课的时间里研究问题，这个顺序可以很容易地把时间压缩成两天。通过这些讨论和研究，可以解决代数课中的一些典型问题。

问题范例

第二天

找出以下直线在轴上的截距:

求这四个函数在处的值。

和处直线的值之间的关系是什么?

第三天

1.这两条抛物线中哪一条比较宽呢?

在时间允许的情况下，我们对本课进行拓展延伸，包括说明较平坦和较陡的直线斜率对抛物线的加宽和变窄的影响并不依赖于直线在轴上截距的移动。这个概念是通过改变直线的表达式来说明的，例如，，这样当斜率改变时，轴截距保持不变。

图3 轴截距与对称轴等距

图4 在由截距确定的区域内，抛物线的值为正或负

第二课:对称轴和顶点在哪里?

第二节课研究了以下概念:

1.二次函数的标准形式，，是用代数方法由两个线性函数的乘积推导出来的。

2.系数，是两条直线斜率的乘积，在第一课中用代数的方法控制用图象呈现的内容。

3.垂直于抛物线的对称轴是两条直线在轴上截距的平均值处的直线。写成代数形式，这个公式是

本课开始时，我们将回顾第一课，并询问学生一条抛物线穿过轴的次数。(把一个截距和没有截距的特殊情况放在次要位置;我们将在以后的讨论中研究这些问题。)如果二次函数与轴相交两次，那么在某一点上它就必须掉头。但是在哪里呢?它在两个轴截距的中间点，也就是抛物线的顶点处旋转。通过该点的垂直直线线是对称轴，它被画成一个新的函数表达式，形式为。图3显示了一个已完成的草图，其对称轴位于

为什么要使用来寻找对称轴呢?

我们通过下面的探索来说明抛物线的对称轴，它是一条通过两条直线在轴上截距的平均值的直线。动画绘制轴截距参数(选择;显示;动画绘制参数)；将速度降至0.13;让抛物线变宽。我们问学生关于对称轴的位置他们注意到了什么。然后我们反转方向，让他们猜，当最左边的轴截距到达我们选择的任意坐标时，对称轴的位置。当我们听到正确答案时，我们就会停止运动，询问他们是如何得出结论的。求平均值是他们已经知道的技能，所以我们再次建立在先验知识的基础上。现在学生们有了所有他们需要的信息来图象化地解释对称轴。

此时，学生需要一个代数公式。利用学生二项式相乘的知识，我们相乘如下:

学生们现在可以看到，二次式的首项系数，是直线斜率的乘积。接下来将这些系数代入对称轴公式:

拆分、化简和整理的结果是

即两条直线在轴上截距的平均值。在与学生一起在教室里研究时，我们使用数值系数而不是符号系数进行这种探索，并且为了清楚地识别在乘法后的参数，不简化计算。例如，。将方程中的二次项系数和一次项系数代入对称轴公式:

然后将函数在对称轴处的坐标带入函数计算，得到顶点的坐标为2。学生们现在可以用图象和代数的方法看到对称轴的依据。

我们每人花一天时间学习图象和代数方法，以找到和定义抛物线的对称轴和顶点。第三天可以用来处理与本课相关的问题。我们建议花更多的时间来整合课一和课二，解决以下问题:

问题范例

用指定的方法求下列二次函数的对称轴:

1. ;轴截距的平均值

2. ;对称轴公式

3. ;请使用两种方法

第三课:为什么负的首项系数会使抛物线倒转?

在第三课中，我们将介绍抛物线的方向，并再次强调第一课中抛物线与直线上对应点之间的关系。从线性函数值的乘积中求出二次函数值是理解本课概念的关键。学生们在过去的几年里已经学习了，带有不同符号的因子相乘会产生符号为负的积，而带有相同符号的因子相乘会产生符号为正的积。在这节课中，学生将会看到这个已经熟悉的概念是如何构造出大多数抛物线的形状的。

在生成图4中的图象之后，我们回顾第一课的概念，即对于每个值，抛物线上的值是两条直线的相应值的乘积。我们在最右边选择一个值，在这两个线性函数都是正的，并指出二次函数是正的。然后，选择一个抛物线值为负的值，我们问学生，为什么？因为只有当其中一条直线的值变为负值时，抛物线才于相交，进入负值区域。继续这个讨论，我们问学生什么时候抛物线值会再次变为正的。学生们意识到抛物线只在两个截距之间是负的。我们还探索了如何改变斜率，并让学生认识到，除非两条直线在轴上有相同的截距，否则总有一个中间区域。

图5 当一条线的斜率为负，另一条线的斜率为正时，抛物线开口向下

课堂讨论的下一个方面是让学生找到一种将抛物线倒过来的方法。(学生提供了在图5中生成抛物线的方向。)我们偶尔需要指出的是，在轴截距之间的区域，两条直线位于轴的同一侧(无论是上面还是下面)的唯一情况是，其中一个斜率为正，另一个斜率为负。在这种情况下，直线的值在轴截距外有相反的符号;在轴截距之间，线性函数有相同的符号。学生们知道倒置抛物线的唯一方法是让两条直线在轴截距之间相交。

如果学生理解了抛物线的形状有向上或向下开口的原因，我们将再次利用上一课的二项式乘法以进行代数解释。我们知道二次函数的首项系数是两条直线斜率的乘积。当一条线的斜率为正，另一条线的斜率为负时，首项系数为负。从我们的探索中，学生们知道这种情况会产生一个向下开口的抛物线。学生们可能还会注意到直线在y轴上的截距的乘积是二次函数表达式中的常数项，

以及抛物线的轴截距。对于这节课来说，一天的课堂讨论一般就足够了。然后我们又花一天的时间来解决将这三个课整合在一起的问题。

问题范例

这些抛物线是开口向上还是开口向下?

讨论和解释的附加论题

根据你学校区域的课的范围和顺序，下列论题可以用图象化的解释来补充代数过程。

论题1:为什么二次函数求根公式有?

为了解决二次函数求根公式的结构问题，我们重新打开之前在几何画板中保存的对称轴图，将参数改为;注意，我们任意选择了10这个数字。无论我们如何调整，这个替换将导致两条平行线移动相同的距离。然后我们让参数动起来，这样学生们就可以看到抛物线随着两条直线之间的距离变化上升和下降。近年来的文章提倡将二次函数求根公式教学为

(加罗法洛和特林特 2012;里金斯2012)。学生应该认识到公式的第一部分是对称轴的位置。现在我们很容易能够看出为什么在这个公式中需要一个:一个值在对称轴的正方向，另一个在负方向;两者到对称轴的距离都是相等的。利用动画，我们告诉学生当两条直线重合时，只有一个解是可能的。这一步为学生使用判别式确定抛物线的截距的性质提供了铺垫。

论题2:配方法的图象解释

我们首先构造两个抛物线——通过将函数求平方，来创建一个在轴上截距分别为0和6的抛物线。我们向学生展示在几何画板上与是相同的抛物线。我们的目标是让学生们看到，配方法就等于找到斜率为1的线性函数，它在轴上和抛物线的对称轴相交，对线性函数表达式求平方，然后将抛物线向下平移。

通过几何画板的可视化，我们帮助学生看到向下移动的幅度是从对称轴到轴截距距离的平方。这种可视化为配方法提供了铺垫，因为它提供了对配方过程的图象化解释。我们可以让学生找到

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