GA凸函数的性质及其应用

KAIZHONG GUAN

中国广东省江门市五邑大学数学与计算科学学院，邮编529020，电子邮箱：guan668@aliyun.com

摘要：本文研究了一些涉及GA-凸函数和GA-凹函数的序列。通过研究这些序列的单调性，我们得到了一类新的不等式，其中一些是对已知不等式的推广.

引言

回想一下，一个定义在区间上的实值函数，如果对于所有和都满足（1.1），则该函数为凸函数.

(1.1)

如果（1.1）对所有和都严格满足，则称为严格的凸函数.如果（1.1）式中不等号相反，则称为凹函数.且在这种情况下，对所有和都严格满足，那么就称为严格的凹函数.

众所周知，有关凸函数的理论在数学和其他领域具有重要的地位.有许多有关凸函数的文献材料（例如：参见[12]和[18]）.目前，对凸函数的研究已经发展成为一个更大的函数理论，它适用于几何领域或者遵守均值比较的其他定理中.例如根据平均值的类型，算术（A）或几何（G），考虑定义域和值域，我们将遇到以下四类函数之一（见[12]）

• AA凸函数（通常的凸函数）；
• AG凸函数（俗称对数凸函数）；
• GG凸函数（也称为积凸函数）；
• GA凸函数可以称为几何算术凸函数.

定义1.1（详见[3]和[8]）.假设为的子区间.如果对于所有和，函数满足下式(1.2)，则称为GA凸函数，

(1.2)

如果对（1.2）中所有和都严格满足，则称为严格凸函数.反之，如果（1.2）式中不等号相反，则称为凹函数.且在这种情况下，对所有和都严格满足，那么就称为严格凹函数.

同时，可以发现有很多学者对AA凸函数、GA凸函数的研究有很多兴趣.特别是Bennett和Jameson[6]，Chen和Qi等人[7].Kuang[9]，Qi和Guo[13]都研究了凸函数序列的单调性.2010年，Guan[8]研究了一些基于GG凸（凹）函数的序列，得到了一些有趣的结果.在这些结论的帮助下，作者推导了Alzer不等式、Minc-Sathre不等式以及其他一些涉及正数的幂之和或个数算术平均数之比的一些不等式.许多数学家都有研究过这些不等式，想要了解更多有关信息，请具体参阅本文中的参考文献.然而，据我们所知，对于研究GA凸（GA凹）函数序列的单调性这方面的课题寥寥无几。

本文主要研究一些涉及GA凸（凹）函数序列的单调性的应用，并推广了许多新的不等式，包括Minc-Sathre不等式、Martins不等式、Alzer不等式和其他类似的不等式.同时对文献中的一些结果进行了改进和推广.

引理

为了建立我们的主要结果，我们需要几个引理，将在本节中介绍.

引理2.1（见）设是的子区间，为定义在上的连续实值函数.

1. 设是上的GA凸（凹）函数当且仅当是上的凸（凹）函数，有；
2. 如果在上有连续导数，则是GA凸（凹）函数当且仅当增大（减小）.

注2.2设是上定义的连续实值函数.由于，因此

1. 如果是增大的，则为AA凸函数 为GA凸函数；
2. 如果是递减的，则是GA凸函数 是AA凸函数.

对于凹函数，式（1）和（2）是恰好相反的.且对这些条件是严格满足的，如下例所示.

例2.3（1）设为递增的函数，则在上满足GA凸函数的定义，但它同样也满足AA凹函数的不等式；

（2）设是单调递减的函数，它在上满足AA凸性，但在GA函数上满足凹性.

引理2.4假设和和，则

(2.1)

对于上定义的每个GA凸函数，当且仅当满足（2.2）和（2.3）两个条件，即

(2.2)

(2.3)

证明：尽管证明与Bennett[4，Lemma2]的相似，但为了使读者更容易理解，我们还是将其包含在内.

首先，假设（2.1）对每个GA凸函数都成立.当为常数时，得到（2.2）.因为

与

是位于上的GA凸函数，从（2.1）可以看出与这说明了（2.3）成立.

另一方面，由于，我们选择两个正数，这样可以得到

与

易知

与

同样，当时，有

与

其中.因此，对于任何给定的GA凸函数，由的GA凸性得

(2.4),.

经过简单地计算以及运用（2.2）和（2.3），我们得到

(2.5)

从（2.4）和（2.5）可以看出

因此，（2.1）对所有GA凸函数成立，即引理2.4证毕.

引理2.5（见[5]）.设为正项递增的序列.如果序列

随着的增加，然后序列

也随着的增加而增加.

主要成果

定理3.1设是定义在上的实值函数，建立集合

(3.1)

如果是一个递增的GA凸函数，那么

(3.2)

当为递减的GA凹函数，则式（3.2）中的不等号反向.

证明：由于为递减的GA凹函数的证明思路与为递增的GA凸函数是相似的.所以我们这里只证明为递增的GA凸函数的情形.首先，我们先来证明（3.2）中的左不等式成立.不难发现序列

是递增的.对于，我们有

(3.3)

因为是递增的GA凸函数，所以从（3.3）可以看出

(3.4)

对（3.4）的两边从求和到，我们得到

(3.5)

由上式和的单调性表明

因此，即可证得（3.2）中的左不等式成立.

最后，我们可以很容易地看到

是递减的.由此对于，我们有

(3.6)

因为是递增的GA凸函数，所以从（3.6）可以看出

(3.7)

将（3.7）的两边从求和到，我们得到

这表明（3.2）中的右不等式成立，因此定理3.1证毕.

注意，（3.2）中的左不等式意味着序列

是递增的.其中是递增的GA凸函数.现在，我们可能得到以下更多的结果.

定理3.2设为定义上的实值函数，为一个正项递增的序列，自然

也为一个递增的序列.

1. 如果是一个递增的GA凸（凹）函数，则序列

递减.即有

(3.8)

1. 如果是一个递减的GA凸（凹）函数，则序列

递增.

证明：由于相关证明是类似的，这里只给出（1）的证明，省略（2）的证明.

因为序列和都为递增序列，对于，有

(3.9)

同理可得，

(3.10)

又由于为递增的函数，结合（3.9）和（3.10）可得到

(3.11)

和

(3.12)

如果为GA凸函数，那么则满足

结合（3.12）可推导

(3.13)

显然，我们有

(3.14)以及

从（3.13）和（3.14）可以看出

(3.15)，

因此，即可证得不等式（3.8）成立.

如果为GA凹函数，即有

(3.16)

结合（3.11）和（3.16），可推出

(3.17)

对（3.17）的两边从求和到，易得

(3.18)

这表明不等式（3.8）也成立，因此定理3.2证毕.

注3.3当满足下列条件时，Qi和Guo[13]建立了与定理3.2（1）相同的结果，如果满足以下条件：

1. 为定义在上的一个递增凸（凹）函数；
2. 正数序列以及两者都单调递增.

根据[5]中的命题4，如果序列递增，那么对应序列也是递增的.反之，则不成立.注3.3和注2.2对定理3.2进行了改进并推广了文献[13]中的定理1.如果正数序列和都递增，那么则有

因此，由定理3.2的证明，我们可以很容易地得到以下结果.

定理3.4设为定义在上的实值函数，为一个正项递增的序列，因此也为正项递增的序列.

1. 如果为递增的GA凹函数，那么序列

递减.

1. 如果为递减的GA凸函数，那么

递增.

参考文献

[1] H. Alzer, On some inequalities involving (n!)1/n , Rocky Mountain J. Math., 3(1994), 867–873.

[2] H. Alzer, On an inequality of Minc and Sathre, J. Math. Anal. Appl., 79(1993),

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[3] G. D. Anderson, M. K. Vamanamurthy, and M. Vuorinen, Generalized con

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[4] G. Bennett, Meaningful sequences, Houston J. Math. 2(2007) 555–580.

[5] G. Bennett, Meaningful inequalities, J. Math. Inequal., 4(2007), 449–471.

[6] G. Bennett and G. Jameson, Monotonic averages of convex functions, J. Math.

Anal. Appl., 252(2000), 410–430.

[7] C.-P. Chen, F. Qi, P. Cerone, and S. S. Dragomir, Monotonicity of sequences

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[8] K. Z. Guan, Multiplicative convexity and its applications, J. Math. Anal. Appl.,

362(2010), 156–166.

[9] J.-Ch. Kuang, Some extensions and refifinements of Minc–Sathre inequality, Math.

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[11] H. Minc and L. Sathre, Some inequalities involving (r!)1/r , Proc. Edinburgh Math.

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[12] C. P. Niculescu and L. E. Persson, Convex Functions and Their Applications.

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[13] F. Qi and B. N. Guo, Monotonicity of sequences involving convex function and

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