本科毕业设计（论文）

外文翻译

9点二次曲线:计算机重新发现和证明

作者：德·维利尔斯，迈克尔

国籍：南非

出处：国际科学与技术数学教育杂志

这里给出了一个启发式的描述，利用几何画板重新发现一个不太为人所知的，但却是美丽的，推广的9点圆到9点圆锥曲线，以及一个相关的推广的欧拉线.利用TI-92计算器的符号代数工具，给出了解析几何的初步证明.

1.介绍

虽然欧拉显然是第一个(1765年)表明,三角形的边的中点和高度的英尺长度确定一个独特的循环,直到1820年, 布里昂雄和彭赛列表明,三段的中点垂心到顶点存在着同样的圆,因此赋予它一个名字：九点圆.九点圆通常也被称为欧拉或费尔巴哈圆.(1822年，卡尔·费尔巴哈证明了九点圆与三角形的内圈和外圈相切.)

与九点圆密切相关的一个结果是欧拉线，即垂心(H)、质心(G)、22外心(O)和九点中心(N)共线,还有HG=2GO和HN=3NG.

2002年10月，作者利用动态几何软件几何画板研究了九点圆的不同泛化方法.这导致发现了一个有趣的推广，到一个9点椭圆(当所有的点都在三角形的边上时)，或到一个9点双曲线(当一些点位于边的扩展上时).在与一些似乎对此一无所知的同事交谈之后，并查阅了一些作者可以接触到的书籍之后，他兴奋地想了一会儿，他有了一个新的发现.

想象一下，当他联系上从卡迪夫大学退休的约翰·里格比(John Rigby)时，他是多么的失望.里格比不仅迅速地向他提供了自己的证据，而且还指出，这个结果是用投射法在[2]中提到和证明的.事实上，结果只是一个更一般的结果，即11点二次曲线的特殊情况(当点位于边的延伸部分时)! 作为一个非常依赖于想象的人，这是相当惊人地(并且谦卑地)了解到这个结果已经在19世纪90年代的[3]中被发现和证明，在那个时候数学家们还没有接触到我们今天拥有的那种奇妙的动态几何软件.

在2003年，作者还设法获得了约翰·西尔维斯的一本优秀的书，令他惊讶的是，九点椭圆也被提到，并在那里使用仿射几何[4]优雅地证明.在这里，也解释了如何得到一个六点抛物线作为一个极限情况.

然而，在这篇文章中，将描述重新发现这个美丽的结果的实验，它似乎不那么著名(主要是由于几何的衰落).其次，将展示作者如何利用解析(坐标)几何和TI-92计算器的符号代数能力来初步证明它.9点椭圆的结果也将链接到欧拉线的泛化，这在提到的两个参考文献中没有出现，但这并不陌生.

2.实验发现

调查开始时考虑的是，如果不同时测量海拔，而是同时测量任何三个Cevian（从顶点到对边的直线），会发生什么.如图1所示，构建从cevian点H到顶点的线段中点，导致人们怀疑这些线段中是否存在任何重要的点.用画板动态地拖动和操纵三角形一段时间后，突然从视觉上似乎显示出cevians D、E和F的最后落脚点，以及中点J、K和L都位于一个椭圆上.当一个画板工具被用来画一个椭圆穿过这些点中的任何一个，椭圆穿过剩下的第六个点时，这一点立即被证实了.令人惊喜的是，随着进一步的拖动，这个椭圆总是通过三角形ABC边的中点.换言之，共有九个点位于这个唯一确定的椭圆上！

有一点上相当兴奋，椭圆的中心N和质心G构造了三角形ABC，发现不仅H，N与G共线，而且HN=3NG.换言之，结果也推广了欧拉线.

3. 证明有效结果

证明结果（对于边上的点）是相当常规的，因为它显然是仿射定理，因此只需要选择适当的特例以此来证明它在总体上是正确的.例如，在仿射变换下，不保留角度、长度和形状，但以下是保持不变的平面图形的性质（比较[5]和[6]）：

• 对应的线和点的平行性和共线性；
• 对应点与对应线段的比值.

此外，如[7]和[8]所示，单个平面二次曲线都是一个正等价的，这意味着只要使用一个正变换，任何椭圆都可以映射到任何其他椭圆上，任何双曲线映射到任何其他双曲线上，任何抛物线映射到任何其他抛物线上.（事实上，对于抛物线来说，相似之处在于比较[9].）

4. 计算机辅助证明

因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以简单地考虑直角三角形图2中的ABC，ang;BAC=30°，ang;BCA=60°，点为B和C分别放在（0；0）和（1；0）处.下一个

和

被随意选为cevian AD和CF的落脚点. 将H标记为AD和CF的交点，并绘制cevian BH以在E处与AB相交，并标记如图所示，从H到顶点的中点J，K和L. 同时标出中点如图所示，三角形X，Y和Z的边的角度.

根据三角学和坐标几何学，点A，Z，X的坐标和Y很容易确定如下：

接下来，通过求解联立线性方程来找到H的坐标

（线AD）和

给出（线CF）

通过使用Ceva定理，或者通过直线BH和AC的交点，可以找到E的坐标为

因此，段HB，HC和HA的各个中点J，K和L的坐标为

现在，以下面的等价形式重写一般圆锥的方程：

这里等

由于五个点唯一地确定一个圆锥形（如通过使用不变交叉比或[11]中的帕斯卡定理，如[10]中所示），现在可以通过替换任何五个圆锥形的坐标来确定圆锥形方程. D，E，F，J和K这六个点中的一个，求解五个联立线性方程组. 出于后一目的，TI-92计算器的符号代数处理设备非常适合.通过按图3所示设置矩阵，可以如图4所示快速获得解决方案.（请注意，图3和图4是由两个不同的TI-92显示器编译而成的，因为所有内容都无法放入一个显示窗口，尽管只需一个滚动即可观察TI-92上的其余部分）.因此，圆锥的理想方程为

由于, 圆锥形是椭圆形的. 使用TI-92或任何其他符号代数软件包，可以容易地通过代入上述方程式来验证点L，X，Y和Z也位于该椭圆上.

通过使用公式[5]中的一般椭圆的对称轴和中心，或通过对称参数，使用椭圆的中心N的坐标为：

求解中位数AX和CZ给出的联立方程，或使用其他方法，找出三角形ABC的质心G的坐标为

直线HG的方程为

然后使用TI-92将N的x坐标代入该方程式，即可得到如图5所示的简化形式.通过合理化N的y坐标的分母，可以得到相同的简化形式，这证明N位于HG线上，因此H，N和G是共线的.

最后，借助TI-92以及勾股距离公式的应用，也可以很容易地证明比率，如图6所示.

5. 进一步的拓展

当D、E和F与各边的中点X、Y和Z重合时，得到了一个有趣的退化情况，从而得到一个内切的六点椭圆，而点H、N和G重合，则广义欧拉线无定义.(如果考虑到等边三角形的特殊情况——在这种情况下，椭圆简单地变成了圆，那么退化的情况由于对称而被忽略.)

此外，如果我们允许出现的cevians落在三角形的外侧，则在边的延长线上，椭圆可以变成双曲线，如图7所示.通过[4]，也可以得到六点抛物线 当H变为无穷大时取极限.因此，结果更普遍地具有射影性，并且进一步的11点圆锥泛化直接来自于圆锥形的射影等效性（可以使用适当的投影性将任何圆锥形映射到任何其他圆锥形上），以及投影下共线性的不变性（另请参见 [6]和[7]）.

6. 结论性意见

本文不仅显示了计算技术的价值，它不仅在视觉上重新发现/发现结果以及提供查找证据的信心，而且还轻松地处理了解析证明的代数计算.在没有更优雅的方法的情况下，通过计算机代数的分析技术无疑会提供一种非常有效的验证手段.

这里介绍的证明也只需要解析几何的基础知识，而无需合成射影几何的高级知识.但是，从消极的一面来看，这种分析证明通常不能使人们理解为什么结果是正确的.

尽管他们提供了确定的条件，但他们常常给人以不满的感觉：对更深刻理解的未解决需求.从本质上讲，它们通常简单地归结为一种蛮力的方法，即处理代数方程式和搅动等效的方程式和表达式，直到获得理想的结果.

致谢

这项研究由国家研究基金会（NRF）资助，部分资金来自比勒陀利亚比勒陀利亚，空间定位与空间洞察（SOSI）项目，编号2050502.SOSI是由Pro ff协调的三个南非校园的联合项目. 德克·韦塞尔斯（UNISA），赫拉克勒斯·纽乌德（NWU），迈克尔·德·威利斯（Michael de Villiers）（英国）.

注意

此处讨论的结果的压缩格式（Winzip）的动态几何图形（Sketchpad 4）草图可以直接从以下位置下载：http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/9point.zip（如果不提供） 可以使用Sketchpad 4的免费演示版查看该草图的副本，该演示版可以从以下网址下载：http://www.keypress.com/sketchpad/sketchdemo.html）

参考文献

[1] Posamentier，A.，2002，《高级欧几里得几何学》（美国，Emeryville：重点学院出版社），第158-159页.

[2] 贝克，HF，1922年，《几何原理》，第二卷（剑桥：剑桥大学出版社），第41-42页.

[3] Russell，J.W.，1893年，《纯几何学》（牛津：牛津大学出版社），第1页. 212.

[4] Silvester，J.R.，2001年，《几何：古代与现代》（牛津：牛津大学出版社），第214-215页.

[5] De Villiers，M.，1993，圆锥的圆锥不变性和线对称性，澳大利亚高级数学杂志，7（2），32-50.

[6] Yaglom，Y.，1973年，《几何变换III》，第二版（华盛顿：MAA），第9-20页.

[7] Fishback，W.T.，1969年，《射影和欧几里得几何学》（纽约：约翰·威利）.

[8] Pettofrezzo，A.J.，1966年，《矩阵与变换》（新泽西州恩格伍德·克利斯）：Prentice-Hall.

[9] De Villiers，M.，1994，所有抛物线都相似吗？决不！毕达哥拉斯（Pythagoras），34，26-30.

[10] Courant，R.和Robbins，H.，1981，什么是数学？第四版（牛津：牛津大学出版社），第202–203页.

[11]温格，1962年，《投影几何概论》（纽约：多佛出版社），第118-119页

附：

The nine-point conic: a rediscovery and proof by computer

MICHAEL DE VILLIERS*

Mathematics Education, Edgewood Campus, University of KwaZulu-Natal,

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