本科毕业设计（论文）

外文翻译

整理函数概念

作者：Amy F. Hillen、LuAnn Malik（艾米.希伦、卢安.马利克）

国籍：美国

出处：《数学教师》，第106卷第7期(2013年3月)，页526-533

中文译文：

1. 卡片分类

卡片分类可以为探索各种主题提供机会，在卡片分类任务中，每个参与者都会收到一组卡片——每一张都描述了一段关系——并被要求将这些卡片按照自己的理解进行分类，我们已经成功地完成了以下关于函数的卡片分类任务。

在关于函数的卡片分类中，卡片可能会根据函数的类别(例如：线性的、二次的)和表示方法(例如：方程、表、图、现实情境上下文)等特征而变化，并且可能还包括一些非函数。这些卡片在不同的特征上差别很大，因此参与者可以用多种方式对卡片进行分类，从而揭示他们当前的概念，并且这为之后大家对如何“最好”地对卡片进行分类可以热烈讨论奠定了基础。

函数的概念对学生未来的数学机遇至关重要，因此这也是K-12课程(NCTM)的中心主题。在中学阶段，学生应该“理解函数关系，灵活地选择、转换和运用它们的各种表现形式；并且了解并比较函数类的性质，包括指数函数、多项式函数、有理函数、对数函数、和周期函数。考虑到函数概念在K-12课程中所扮演的核心角色，教师必须利用对函数概念的深刻理解来支持学生学习这一基本数学结构。

虽然卡片分类任务传统上被用来评估教师的内容知识，但我们认为：它们不仅为教师，还可以为学生提供强大的学习机会。我们将通过与当地学区7-12年级的实践教师进行专业发展会议，来描述卡片分类任务的计划和发展方式。尽管我们将此活动设计为与教师一起进行，但我们邀请您考虑如何与您共事的学习者(如高中生)一起完成这个活动。为此，我们还提出了一些建议，以适应这样的受众者更好的完成。

1. 设计卡片

设计和选择卡片都包括在分类任务中，我们首先为会议确定了数学目标：

1. 讨论一个关系作为一个函数意味着什么——特别的：一个函数“规则是：集合的每个元素分配一个集合的唯一元素(其中可能等于也可能不等于)”
2. 在多个表示之间建立连接。

研究表明，尽管大多数教师能够给出函数的定义，但他们倾向于使用的示例，对函数的定义有些狭隘。更抽象的函数，如定性图或没有单一封闭形式规则的函数，不太可能被使用。因此，我们对卡片分类任务的第一个目标是为教师提供一个机会来描述使一种关系成为一种函数的特征，同时让他们接触到各种各样的函数族和表示。我们希望可以为与他们一起工作的学生拓宽函数示例集。

我们的第二个目标是让我们的学生在不同的表示法之间建立联系，这是数学工作的一个关键方面，因此，我们包含了许多不同表示法的函数类型。我们的意图是要求教师按函数族进行排序（如果他们不是自发的这样做），这样他们能够在不同的表象之间建立联系。

为了促进与我们会议目标相关的讨论，我们还包括了参与者可能会分类不同的“特定的卡片”，这些“有争议的”卡片将为我们所希望的激烈的数学辩论奠定基础。例如：我们猜测参与者可能会不同意例如的表达式可以表示函数关系。我们预料到有些人会争论它不是一个函数，因为图没有通过垂线测试，这是一个经常用来确定关系是否是一个函数的规则，然而，我们期望其他人争辩说，可以通过解出来使这个关系成为函数，我们希望还有其他人可能会争辩说表示是的函数关系，或者其中是幂函数。因此，我们计划利用参与者对这些有争议的卡片进行分类的方式上的差异来构建关于函数的定义的讨论。

考虑到我们的数学目标，我们的意图是包括各种各样的卡片，以便鼓励多种方法来分类它们，同时依靠有争议的卡片来推动讨论向前发展。因此，我们在本文所描述的会议中使用了大量的卡片——37张。

1. 促进任务

这里所描述的课程是在中学教师专业发展课程中进行的，时间大约为两个半到三个小时。然而，在其他时间限制下，这项任务很容易被简化地执行；下面的阶段可以分几天进行。

个人思考和分类

每个参与者得到一套卡片、一个图形计算器和绘图纸，并被要求单独工作15分钟，将卡片分类到他或她认为的所属类别，并命名且简要描述每个类别。参与者经常会问他们是否可以直接在卡片上写字；如果他们认为这样做会有帮助，就鼓励他们这样做。

一些参与者可能从一个表面层次的特征开始分类，比如表示法；他们可能把所有的图表放在一堆，把所有的表格放在一堆，等等。如果参与者没有使用更复杂的方法来整理卡片，我们会问他们是否能想出其他方法来整理卡片。大多数参与者最终会将卡片按函数族进行分类。

有些参与者比其他人更早完成任务，有些人可能只分到很少的类别，或者只有两个类别，比如函数和非函数，为了迫使这些参与者继续探索这个任务，我们询问他们的类别是否可以进一步分类。

参与者还经常会遇到一些他们一开始不确定如何分类的卡片，我们鼓励他们创建一个“不确定”堆，如果他们纠结于特定的卡片，就建议他们在分类整理完剩下的卡片后重新检查这些卡片。

小组讨论

在参与者有机会单独工作后，我们要求他们以小组形式工作30到45分钟。在这段时间里，他们将分享他们创建的分类，并讨论为什么每张卡片适合于每个类别，他们将利用他们在个人分类中看到的相似点和不同点来最终达成一种卡片分类的方法。在参与者工作的时候，我们认真地倾听他们的讨论，并在他们出现停滞时提出问题来帮助他们。我们发现，参与者经常很快就对描述方程式和图表的卡片如何进行分类达成一致(也许是因为他们在这些表示上有更多的经验)，但是对描述表格和存在上下文背景的卡片进行分类就比较困难。正如一位参与者所指出的：“我不得不花更多的时间在有上下文背景的卡片上。”

当处理描绘表格的卡片时，参与者通常首先从绘制对开始，或者将数据输入图形计算器以生成散点图。我们敦促他们超越这些方法，要求他们考虑如何在不生成图表的情况下思考表格。例如：参与者通常不会卡片20制作一张图表，因为他们识别到了不变的变化率(当增加1,减少2)，这表明了一个线性关系。我们询问参与者，这种类型的方法是否有助于理解其他描绘表格的卡片，或者他们是否注意到表格中可能有助于确定潜在关系的任何模式。

一旦参与者同意了卡片分类的方法，要求每一组通过制作一张海报来创造一个分类的记录。这项作业可以通过将卡片粘在海报纸上，然后标记每个类别(或简单地将卡片号写在海报上)来有效地完成。

检查别人的分类

尽管参与者也用类似的方法按照函数族来分类卡片，但我们发现，分类在其他方面也有所不同，值得研究更仔细。为此，我们要求参与者花至少15分钟的时间进行“画廊漫步”，在此期间，他们要仔细地检查每一张海报，并将他们的任何问题或评论记录在便签上，这些便签可以直接贴在海报上或贴在海报附近。每个小组还应该阅读其他人对他们的海报所写的问题和评论，并思考如何回应它们。

第17张卡常常会引发许多问题和评论，因为这张卡的类别不同。有些组可能将卡片17归类为一个线性函数。其他人可能不同意，并写下这样的评论，“我不确定你能称之为线性的”和“这是不连续的，不是线性的。”这样的评论可以作为全班讨论的有益出发点。每个小组也应该阅读其他人写的关于他们的海报的问题和评论，并思考如何回应它们。

如果任务分几天进行,我们可以收集所有小组的卡片,将它们的电子版进行张贴,并要求参与者参与一个版本的画廊行走的家庭作业,下节课会提出具体的问题和评论,然后可以开始全班讨论。

全班讨论

我们发现，参与者经常关注海报之间的差异，比如不同的小组如何对一张特定的卡片进行分类(通常是那些有争议的卡片)。如果参与者的提问和评论没有注意到这些差异，我们提出的问题将有助于集中他们的注意力。

我们可能会问：“我注意到没有两组人把卡片 17放在同一个类别。那么你是如何决定把17号卡片放在哪里的呢？有小组成员解释说，他们把它归入线性类别中是因为他们认为“它是线性的，除了那一点是一个离群值。”其他的小组，可能会争辩说：第17张卡片更适合分段函数的类别，因为“你不举起铅笔就画不出来。”这里我们要问，“分段函数的概念和lsquo;不动笔就画出来rsquo;有什么关系？”

我们要求教师参与者考虑他们的语言、描述和分类对学生的影响。参与者应该达成一致的是：卡片17线性可能会导致对线性关系的误解，所以将卡片17识别为一个分段(或分段线性)函数是适当的。

分类结果的另一个典型区别是卡片13的分类方式。卡片13显示对地球表面温度与十年之间关系的三种不同的增长率估计。也许，出于这个原因，一些队伍将这种关系归类为分段的。请注意，分段函数的一个关键特征是它们能够为自变量的非重叠区间分配不同的规则。“不同规则”的概念可能导致参与者忽略了卡片13需要三个不同的线性函数：

因为我们的目标之一是考虑这个问题：什么是函数？我们花了相当多的时间讨论小组的非函数类别的卡片。通常，参与者都认为23、34和37卡片不是函数卡片。首先说明： 37卡片不通过垂线测试，这个说明提供了一个让参与者思考这个测试的机会。为了支持23卡片不是函数的说法，参与者经常指出“每个对应不止一个。”

将讨论移到卡片4，这对许多参与者来说是一个重要时刻，他们必须将他们的思维从坚持是的函数，转变为更广泛地去考虑函数的定义。在这一点上，许多参与者将准备重新考虑一些他们最初标记为非函数的卡片，并可能建议创建一个名为的新类别，包括卡片4、23和34。在这部分的讨论结束时，参与者应该同意唯一没有作用的是卡片25和37所描绘的关系。(然而，如果参与者建议包含参数函数，他们可能会争辩说，卡片37中的关系可以被描述为参数函数，而卡片25是唯一的非函数关系。)

我们的第二个目标是在多个表示之间建立连接。实现这一目标的一种方法是选择所有或大多数小组创建的函数类，比如：二次函数，然后问，“大多数小组认为卡片7、15、16、24和32是二次函数。” 你怎么知道这些牌是连在一起的？

参与者通常很容易认出卡片15描绘的是一个二次关系，因为这种情况在教科书中经常使用。然而，参与者常常很难将卡片24进行分类，这可能是因为这种关系通常被视为计算圆面积的公式，而不是圆的直径和面积之间的关系。

参与者所创作的海报，尤其是海报之间的差异，很可能会帮助他们讨论更多的数学概念。例如：将卡片33(关系为的图)标记为反函数，而其他组则将其标记为有理函数、双曲线函数或倒数函数。这些差异通常归因于教师目前使用的不同课程和函数概念的呈现方式。当被要求考虑什么可能令人困惑(从一个学生的角度)或标记卡片33作为一个逆函数的问题时， 参与者经常注意到,逆函数描述了更广泛的一类函数,特别是教二年级代数的学生，他们经常争论说，学生们可能刚刚接受了逆函数倒数的概念，即是的倒数，这是逆的意思，反函数的表示法经常让学生们产生错误的想法认为和是互反函数。参与者可能会指出一些特定的函数，比如卡片33所描绘的函数，可能会强化这种误解，因为就是说倒数函数是它自己的逆函数。

参与者也可以把卡片12上描述的情境(当距离是固定的，旅行的时间是速率的函数)带入这个讨论中。他们可能会注意到，在固定距离下，“时间与速率成反比”或“时间与速率成反比变化”——这是描述这种特殊函数关系的另一种方式。

在专业发展环境中，这种类型的讨论可以提高参与者对数学中如何使用符号语言的模糊性的认识；突出语言、符号和数学意义之间的张力；或许最重要的是，强调学生在努力建立理解函数时所面临的一些微妙而重要的挑战。

在卡片分类任务结束时，我们要求参与者以书面的形式对自己的经历进行反思。我们会问这两个问题：

1.你对数学或数学教学有什么新的想法？

2.在这节课中，你想探讨哪些问题？

第一个问题帮助我们理解参与者认为他们从卡片分类任务中学到了什么。第二个问题允许参与者提出问题，并允许我们设计后续的会议来解决这些问题。最近，参与者提出他们想要更深入地探讨二次关系的表格表示，以了解如何从一组有序对确定二次方程一般形式的系数。

1. 一个任务，多个目标

教师对函数的概念认识影响着他们教导这一重要数学概念的方式，因此也影响着学生理解函数的方式。这里所描述的卡片分类任务为参与者提供了重新审视和完善他们对函数理解的机会。此外，参与者还进行了丰富的数学讨论和辩论，就如何最好地分类卡片达成一致意见。

我们发现，参与者认识到任务是如何影响他们的知识的。在最近的一次研讨会上，13名参与者中有11人认为卡片分类是对他们学习最有帮助的任务之一。有几位评论说，由于从事这项工作，他们对函数的看法发生了变化。正如一位中学老师所指出的，“这项任务让我意识到，如果要定义一个函数

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

Sorting out ideas about function

作者：Amy F. Hillen、LuAnn Malik

国籍： America

出处：The Mathematics Teacher, Vol. 106, No. 7 (March 2013), pp. 526-533

一．Card Sorting

Card sorting has the potential to provide opportunities for exploration of a variety of topics and levels. In a card sorting task, each participant is presented with a set of cards—each of which depicts a relationship—and is asked to sort the cards into categories that make sense to him or her. We have had some success with the following card-sorting task about functions.

In a card sort about function, the cards might vary with respect to features such as class of function (e.g., linear, quadratic) and representation (e.g., equation, table, graph, real-world context) and might also include some non-functions. The cards vary widely across multiple features, so participants can sort the cards in numerous ways, thus revealing information about their current conceptualizations and laying the groundwork for a lively discussion about how “best” to sort the cards.

The concept of function is critical to students future mathematical opportunities and as such is a central theme in the K–12 curriculum (NCTM). In the secondary school grades, students should “understand relations and functions and select, convert flexibly among, and use various representations for them; under-stand and compare the properties of classes of functions, including exponential, polynomial, rational, logarithmic, and periodic functions”. Given the central role that the concept of function plays in the K–12 curriculum, teachers must draw on a deep conceptual understanding of function to support their students learning of this fundamental mathematical construct .

Although card-sorting tasks have tradition- ally been used to assess teachers content knowledge, we argue that they can also provide powerful learning opportunities not only for teachers but also for students. We will describe the planning and facilitation of a card-sorting task by drawing on our work in leading professional development sessions conducted with diverse groups of practicing teachers of grades 7-12 from local school districts. Although we designed this task for use with teachers, we invite you to consider how you might use it with the learners with whom you work, such as high school students. To that end, we also offer some suggestions on adapting the task to such an audience.

二．Designing The Cards

In designing or selecting cards to include in the sorting task, we first identified the mathematical goals for the session:

1. To discuss what it means for a relationship to be a function—in particular, that a function is “a rule that assigns to each element of a set a unique element of a set (where may or may not equal )”.
2. To make connections among multiple representations.

Research has indicated that although most teachers can provide a definition of function, the examples they tend to use describe a somewhat narrow view of the term; more abstract functions, such as qualitative graphs or functions without a single closed-form rule, are less likely to be used. Therefore, our first goal for the card-sorting task was to provide teachers with an opportunity to describe the features that make a relationship a function as well as expose them to a wide variety of function families and representations. We hoped to broaden their set of examples of functions for the students with whom they work.

Our second goal, to have our students make connections among representations, is a critical aspect of mathematical work .Thus we included numerous types of functions that varied across representation. Our intention was to press teachers to sort by function family (if they did not spontaneously do so), so that they could make connections across representations.

To promote discussion related to our goals for the session, we also included specific cards that participants might classify differ. These“controversial”cards would set the stage for what we hoped would be lively mathematical debate. For example, we expected that participants might disagree on whether or not a relationship such as represents a functional relationship. We anticipated that some would argue that it is not a function because the graph does not pass the vertical line test, a rule often relied on to determine whether a relationship is a function. However, we expected others to argue that one could force the relationship to be functional by solving for. We hoped that still others might argue that represents a functional relationship withas a function of , or whereis a power function. Thus, we planned to use the differences in the ways in which participants categorized these controversial cards to frame a discussion about the definition of function.

Given our mathematical goals, our intent was to include a wide variety of cards so as to encourage multiple ways of sorting them while relying on the controversial cards to push the discussion forward. Hence, we used a large set of cards—thirty-seven—for the sessions described in this article .

三．Facilitating The Task

The sessions described here occurred during professional development sessions for secondary school teachers lasting approximately two and a half to three hours. However, the task could easily be implemented under other time constraints; the following phases could be spread out across multiple days.

Individual Thinking and Sorting

Each participant gets a set of cards as well as a graphing calculator and graph paper and is asked to work individually for about fifteen minutes, sorting the cards into categories that make sense to him or her and naming or giving a brief description of each category. Participants often ask whether they can write directly on their cards; encourage them to do so if th

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[268546]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word