本科毕业设计（论文）

外文翻译

通过定义和实例揭示学生对函数概念的理解

作者：Michal Ayalon, Anne Watson amp; Steve Lerman

国籍：澳大利亚

出处：Research in Mathematics Educationn, 19:1, 1-19, DOI:10.1080/14794802.2016.1249397

中文译文：

摘要：本研究旨在探讨一些学生在回应虚拟学生的函数陈述时所表达的函数概念。我们还问他们“函数”是什么意思，许多人自愿在回答中使用例子。这项任务是与来自英国和以色列两个课程体系的教师合作制定的。10-13年级的10名优秀英语学生和10名同等年级的优秀以色列学生（共80名学生）。数据分析包括确定学生对其回答中所表达的函数的主导思想，以及分析学生用来解释其回答的示例类型。各国样本之间的差异导致人们猜测课程和教学的影响，特别是单词在概念形象发展中的作用。尽管大多数学生表示他们对这个词有意义，但那些对早期概念的相关经验是围绕着“函数”这个词组织起来的学生，通常对作为对象的函数有更强的理解。

关键词：函数 函数概念 示例空间 课程

介绍

函数是数学中的一个重要概念，其解释和表示的多样性遍及纯数学和应用数学。学生对函数的心理概念意象可能不同于数学定义，可能在一定程度上依赖于课程。概念图像受到学生在学校中接触的例子和原型例子的影响。根据教师的决定、资源和课程结构，学生的学习经历对学生的素质有着重要的影响。我们提出了这些问题，在英国和以色列这两个国家，对一小部分学生进行了抽样调查，以便我们能够深入研究学生的反应，并对他们理解什么是“函数”的复杂性作出推测，用两种不同的课程背景来质疑他们的课程经验的作用。

我们的目标是：

·在以下情况下了解学生对函数的概念：

提示学生对虚拟函数的陈述作出反应；

询问他们“函数”对他们来说意味着什么；

他们自愿在回答中使用示例。

·推测课程与教师期望之间的可能联系。

理论背景

函数的概念在数学学习中具有基础性的重要性，几十年来一直是数学教育研究界关注的主要焦点。在数学教学中，探索数学概念的方法多种多样。有一个函数的历史概念，发展于17世纪，作为两个相互关联的数值变量之间基于规则的关系。重点是一个变量（通常称为因变量）的变化如何与另一个变量（通常称为自变量）的变化相关联。还有最近的函数的有序对定义，这通常被称为Bourbaki方法。这种形式集合论的定义是非常不同的；在这种方法中，函数概念不仅与数字相关，而且两个变量之间的依赖概念是隐式的。

我们认为这些历史观点与理解函数的两种方法有关：对应和协变量。对应方法将一个唯一的y值与一个输入x值相关联，从而在x和y之间建立一个连接。对应方法在教学方法（如映射和输入-输出模型）中得到了强调。它有助于引入领域和范围的概念，以及“到”和“一对一”的概念，并对理解两组数字之间的关系（有时）可以表示为一般的代数“规则”做出合理的解释，通过这些规则，特定的输入值可以转换为特定的输出值。对应方法和有序对定义在技术上是相似的；但是，前者似乎比后者更容易理解，后者可以看作前者的封装表达式。这两种观点都可以说是着眼于函数的逐点感知，因为学习者首先强调的是变量的特定实例或子集之间的关系，无论是数字、对象还是表达式。函数的共变方法包括理解一个变量的变化与另一个变量的变化相关的方式，或者这些变量如何一起变化。在其最强的形式中，这包括将每个变量视为参数函数，而不是一个集合中的值依赖于其他集合。在更常见的形式中，这是关于比较以变化率或梯度表示的自变量变化的因变量。这种形式与存在物理依赖性的建模现象有关，也与水平轴代表x的数学约定有关，这是生成y值的自变量，因此在x方向上的移动与y坐标的变化相关联。分析、操作和理解变化量之间的关系说明了协变量的观点，这可能导致对作为两组变化值之间的关系的函数的理解，而不是对单个值的作用的理解，也可以用图表来说明变量的瞬时变化率。函数的双重视图表示对应关系和协变量，使学生能够更好地理解对函数执行的操作，例如“移位”转换（例如，将改为或取导数。

研究表明，在学校层面上，职能观之间的转换可能是分层的。例如，Tall（1992）将函数视为计算一个数值集的指令，将其视为集合之间的对应关系，将其视为描述变化，使用函数描述情况，以及将函数（通常以图形形式）理解为它们自己的对象正确的。Ronda（2009）在学生对线性函数的理解中确定了一系列“增长点”，这些“增长点”可以更普遍地应用于函数：方程可能首先作为公式或过程来产生值；然后作为关系的表示；然后表示关系的属性；最后，函数是可以操作或转换的数学对象。

Vinner和Dreyfus（1989）指出，学生对函数的心理想象可能与数学定义不同。它们通常基于一个概念图像，这个概念图像指的是“学生头脑中与概念名称相关联的所有心理图像的集合，以及表征它们的所有属性”。一些研究表明，在许多情况下，学生使用的函数概念图像是有限的。Dreyfus和Eisenberg（1983）报道了大学生关于函数是连续的、光滑的和可计算的的一般概念。Markovits等人建议引入不连续函数、具有分裂域的函数和常数函数，以扩展学生以往的经验，并导致对形式定义的需要。但是，如果这是学生第一次遇到他们的方式，他们很难放弃行动和对函数的观点。仅将函数视为离散数据集之间的映射，可以强化函数是离散数据点集的观点。它还可以强化一种观点，即任何可以映射的都是一个函数。在这些研究中，大学水平的学生通常使用“函数”一词和相关的个人概念形象；在我们对学龄前儿童的研究中，并不是所有的学龄前儿童都像我们将要展示的那样，在他们的函数前概念体验中附加了“函数”一词。

从前面的讨论来看，学生概念形象的维度包括：行动/过程；点态/全局；对应/协变量，其中过程、全局和协变量与最终理解作为对象的函数关系更为密切。课程设计时考虑到特定的概念发展，因此如果学生表现出与课程相似的学习顺序，这并不奇怪。学生可用于函数的示例空间受其函数经验的限制，并且倾向于以教师和教科书使用的原型示例为导向。因此，课程，以及教师的决定，对任何关于学习的讨论都很感兴趣。

在这一阶段，我们需要指出，我们从维果茨基的角度来看待学习，学生所学的是从社会层面上的先例中内化出来的。语言在这里是至关重要的，因此在我们的思考中起着重要的作用，“社会性”也很重要，它包括教师对函数实例的选择，以及如何强调或视其为理所当然，因为这也是学生将如何组织他们的知识、反应和话语。这一联系是由Vinner（1983）建立的，我们可以进一步说，这也解释了，即使学生的概念形象是很好的填充，他们可能仍然会在交际中表现出有限的“正常”知识。从皮亚杰主义的角度来看，杜宾斯基也认识到，对一种情况的反应并不等同于揭示一个人的全部潜在剧目。

我们没有要求学生提供例子，但是学生回答中使用例子的程度让我们从个人例子空间（PES）的角度来分析这些例子。PES通常不符合传统的示例空间，而是通过学习者的经验构建的。它们按照内容、一般性和内在联系进行结构，因此它们的使用是由任务的特征触发的。人们普遍认为，学习者很难对陈述做出反例。有时，困难似乎是在反驳规则的逻辑中，但也可能是PES太有限的结果。

因此，本研究旨在提供来自英国和以色列这两个国家的这些影响的细节，这两个国家对函数概念的课程期望是非常不同的。我们在每一个国家都提出了同样的问题，用希伯来语对以色列提出了同样的问题，并与来自两国的教师进行了交流，以确保文化价值和课程的忠实性。本研究旨在了解学生在导论中对函数的概念的理解。

任务

本课题以学生的视觉函数方式为研究对象，旨在通过提供多种定义和准定义，激发学生对与函数相关的各种观念和概念的思考。

这项任务包括两部分。第一部分介绍了一个由五个虚构的学生组成的小组讨论什么是函数的情况，每个学生都提出了自己的想法：

●Arthur说：我把函数看作是输入输出机器，它接收一些输入并给出适当的输出。

●Ruth说：我认为函数是一个集合的每个元素到另一个集合的一个元素的映射。●Ian说：对我来说，函数代表变量之间的关系。

●Naomi说：函数显示一个变量相对于另一个变量的变化。

●Liz说：我把函数看作是从给定x值计算y值的表达式。例如，y=4x 7。

学生被要求阅读每个学生的想法，并用以下方式写下他们对想法的回应（以Arthur的陈述为例）：

以下哪个陈述反映了你对Arthur对函数的描述的思考？记下你的回答并解释你的选择。

任务的第二部分要求学生对函数有自己的想法：

现在，在你回答了学生的想法之后，写下什么是你的函数。这项任务的具体设计旨在激发学生对各种不同的函数观的思考，希望他们能“挖掘”到可供他们支持或反驳这些函数观的函数世界，并寻找共性和限制。我们选择这五个函数概念来反映他们可能遇到和构建的各种概念，根据教师、cur-riculum和研究。Arthur的输入-输出思想强调点和行动概念；Ruth的思想强调集合、关系和映射作为一个过程；Ian的思想强调变量、模式和依赖性之间的关系；Naomi的思想我们希望能引出任何关于协变量的思想；Liz将借鉴学生的代数函数经验。当然，这些想法在数学上并不完全不同，使用虚构人物来呈现这些想法的目的是让学生像在课堂上说的那样思考每个描述。大多数受访者对其中一项以上的陈述持肯定态度，这一事实表明，他们并不认为只有一项陈述可以被选择。

任务的第二部分旨在考察学生在考虑了各种观点后，选择了什么样的写作作为自己的函数观，这当然可能在前面的问题中受到了挑战。

任务脚本是在英语和希伯来语的母语教师的帮助下开发的，这样所有学生的语言期望都是相似的。两个作者团队是双语的，他们有很强的数学能力，并且熟悉两种语言环境中的当前规则，因此我们知道这些概念在每种语言中都被忠实地再现，并且以每种语言所期望的方式表达。研究小组没有遇到因文化背景而产生的数学概念差异。研究小组已将希伯来语学生的答案翻译成英语，没有任何翻译需要进一步讨论潜在含义的情况。正式的背译被认为是不必要的。

我们承认，任务的设计方式可能会引发一些函数性的想法，而忽略其他函数，但这在保持课程忠实性方面是不可避免的。

以色列和英语课程

不可能每年对英语和以色列的函数课程进行直接比较，因为在研究时，英语中学课程主要是按级别描述的，以色列的课程是按年份描述的。但是，可以比较内容的顺序。我们通过参考教师的报告实践来加强这一点。

作为一个拥有中央教育系统的国家，以色列学校课程由教育部制定和管理，教科书必须得到正式批准。以色列中学国家数学课程（教育部，2009年）提供了有关教学职能的详细建议。函数课程从7年级（12岁）开始，在数值函数的上下文中明确使用“函数”一词，通过数值表和代数表达式以口头、图形的方式描述，并在7年级定义为将唯一的数字与我们选择的每个数字相匹配。这些匹配可以用图形表示，但是学生也会遇到排除某些数值的域。不使用“映射”来连接有序对的思想。变化率是y变化率和x变化率的商；讨论了常数和非常数的增减率及其图形表示。常数函数包含在讨论中。学生在现实现象的背景下明确讨论图形和变化率。函数表示法是为12到14岁的儿童引入的，无论是在线性函数的形式化处理之前还是期间。

因此，典型的以色列学生会知道，有一些东西叫做“函数”需要研究，它们与根据某种规则匹配数值变量有关，可以用图形表示，有时用代数表示，也可以用符号表示。一个变量相对于另一个变量的变化率是用区间上的变化商计算的，可以是常数、零或变化；变化可以是增加或减少。线性函数是一类特殊的函数，具有特殊的性质。

这两个国家的大一点的学生，然后有一个正式的处理求积，组合和转换函数，微积分。在11/12年级之前，英语系统不要求“函数”一词及其符号在高年级学生开始转换时使用，因此需要将其视为对象。函数的早期介绍是通过推广线性和二次序列以及研究域值和范围值之间的映射。然后，这些映射生成数据表，这些数据表可用于绘制图形，首先是线性图形，然后对其特性进行研究。映射、序列和数据表都可以用来泛化底层的顺序“位置到术语”规则。在我们的研究中，学校里为年轻学生提供的教科书也提供了输入-输出“机器”，用于开发线性函数规则的代数表达式，这些规则被称为图、方程、规则，等等。在这些教科书中，我们发现“函数”一词的引入时间和方式几乎没有一致性，尽管一些针对学校的中央非法定指南建议在输入-输出和映射图中使用“函数”一词。在教科书中，这个词有时被推迟到正式处理，有时出现在没有评论或定义之前。与以色列不同，在我们研究早期微积分之前的英语课程或这些教科书中，“变化率”一词并不明显，它首先被隐式地称为线性函数的梯度。这一思想被扩展到16岁（11/12岁）以上学生的非恒定变化率的求积，作为微积分的起点，通过对增加和减少函数的定性和定量研究。

因此，典型的英国学生在大约15岁之前不会知道有数学对象称为“

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本科毕业设计（论文）

外文翻译

Studentsrsquo; conceptualisations of function revealed through definitions and examples

Michal Ayalon^a, Anne Watson^b and Steve Lerman^c

aDepartment of Science Teaching, Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israel; ^bDepartment of Education,

University of Oxford, Oxford, UK; ^cSchool of Law and Social Sciences, London South Bank University, London, UK

ARTICLE HISTORY

ABSTRACT

This study aims to explore the conceptualisations of function that some students express when they are responding to fictitious studentsrsquo; statements about functions. We also asked them what is meant by “function” and many voluntarily used examples in their responses. The task was developed in collaboration with teachers from two curriculum systems, England and Israel. It was given to 10 high-achieving English students from each of the years 10–13 and to 10 high-achieving Israeli students from comparable years (total of 80 students). Data analysis included identifying studentsrsquo; dominant ideas for functions as expressed in their responses, and analysing the types of examples that students used to explain their responses. Differences found between the samples from the countries led to conjectures about the influence of curriculum and teaching, and in particular, about the role of word, in this case “function”, in concept image development. Whereas most students showed that they had a meaning for the word, those students whose relevant experience of earlier concepts had been organised around the word “function” generally showed stronger understanding of function as object.

Received 20 September 2015

Accepted 26 March 2016

KEYWORDS

Functions; conceptualisations of function; example spaces; curriculum

Introduction

Function is a key idea in mathematics, the diversity of its interpretations and represen- tations spreading across pure and applied mathematics. Studentsrsquo; mental concept images of functions may be different from mathematical definitions (Vinner amp; Dreyfus, 1989) and may be to some extent curriculum-dependent. Concept images are influenced by the examples to which students have been exposed in school (Vinner, 1983) and pro- totype examples (Schwarz amp; Hershkowitz, 1999). The learning experiences of students according to teachersrsquo; decisions about contexts and resources, and the structure of the cur- riculum, are of interest to us in this qualitative exploratory study. We posed the same ques- tions in two countries, England and Israel, to a small sample of students so we could study responses in depth and make conjectures about the complexity of their understanding of

CONTACT Michal Ayalon mayalon@edu.haifa.ac.il

Supplemental data for this article can be accessed here: http://dx.doi.org/10.1080/14794802.2016.1249397

copy; 2017 British Society for Research into Learning Mathematics

what is meant by lsquo;functionrsquo;, using two different curricula backgrounds in order to question the role of their experience of the curriculum.

We aim:

• to learn about school studentsrsquo; conceptualisations of function when:
  • responses are prompted to fictitious studentsrsquo; statements about functions;
  • they are asked what, for them, is meant by “function”;
  • they voluntarily use examples in their responses.
• to conjecture the possible connections with curriculum and teachersrsquo; expectations.

Theoretical background

The concept of function is of fundamental importance in the learning of mathematics and has been a major focus of attention for the mathematics education research community for several decades (e.g. Dubinsky amp; Harel, 1992; Sfard, 1991, 1992; Sierpinska, 1992; Slavit, 1997; Tall, 1992; Vinner amp; Dreyfus, 1989). Various approaches have been offered to explore the concept in mathematics teaching and learning. There is the historical notion of a function, developed in the seventeenth century, as a rule-based relationship between two interconnected numerical variables. The emphasis was on how changes in one variable (usually called the dependent variable) correlated with changes in another variable (usually called the independent variable). There is also the more recent ordered pair definition of function, which is often referred to as the Bourbaki approach. This formal set-theoretic definition is very different; in this approach, a function idea is not only associated with numbers, and the notion of dependence between two variables is implicit (Markovits, Eylon, amp; Bruckheimer, 1986).

We see these historical perspectives as related to two approaches to understanding functions: correspondence and covariation (e.g. Confrey amp; Smith, 1994, 1995; Leinhardt, Zaslavsky, amp; Stein, 1990). The correspondence approach associates a unique y-value with an input x-value, thus building a connection between x and y. The corresponde

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