本科毕业设计（论文）

外文翻译

线性方程组的解结构

作者：David C. Lay

国籍：美国

出处：Linear Algebra and Its Applications,4ed,David C.Lay.pdf

中文译文：线性方程组的解集

1.5 线性方程组的解结构

线性方程组的解结构是线性代数的重要研究对象．在后续的学习中他们会以不同的形式多次出现．这节以向量符号的形式给出解的结构及其几何解释．

齐次线性方程组

若线性方程组可以写成的形式，则称线性方程组为齐次线性方程组，其中是行列的矩阵而是中的零向量．这样的方程组至少有一个解，即（中的零向量），而零解通常叫做平凡解．对给定的方程，重要的是它是否有非平凡解，也就是满足的非零向量．由节解的存在性与惟一性定理（定理），得出以下事实．

齐次线性方程组有非平凡解，当且仅当方程组至少有一个自由变量．

例　1　确定下列齐次方程组是否有非平凡解，并写出它的解集．

解：令该方程组的系数矩阵，用行化简法把增广矩阵［］化为阶梯形．

因是自由变量，有非平凡解（对于任意的的取值），为写出其解集，继续对［］进行阶梯化：

解出基本变量和得，，是自由变量.的通解的向量形式表达：

===,其中 =

这里由通解向量的表达式作为公因子提出来．这表明该例题中的每一个解都是的倍数．平凡解可由得到．几何意义下，解集是中通过的直线，见图1．

图1

注意，非平凡解向量可能含有零元素，只要不全是就可以．

例　2　一个方程也可以看作是方程组，写出下列齐次线性 “方程组”的所有解集．

(1)

解：这里无需写出其系数矩阵，用自由变量表示．通解为

和为自由变量．写成向量形式，通解为

＝＝＝＋

＝＋（为自由变量） (2)

计算表明，方程(1)的每个解都是向量和的线性组合，如(2)式所示．解集为Span{,}．因为不是的倍数，解集是通过原点的一个平面．见图2．

图2

例1和例2以及后面的练习，说明齐次方程总可以表示为Span{,hellip;,}，其中,hellip;,是适当的解向量．若惟一解是零向量，则解集就是Span{}，如果方程只有一个自由变量，解集是通过原点的一条直线，见图1．如果有两个及两个以上自由变量，那么图2的通过原点的平面就给出的解，见1.3节图11．

参数向量形式

最初的方程(1)是例2中的平面的隐式表达，解此方程就是要找这个平面的显式表达，就是说，将它作为u和v所生成的子集．方程(2)称为平面的参数向量方程．有时也可写为

来强调参数可取任何实数值，例1中，方程(是自由变量)，或者(为实数)，是直线的参数方程．当解集用向量形式表示为如例1和例2时，我们称之为解的参数向量形式．

非齐次方程组的解

当非齐次线性方程组有许多解时，一般可表示为参数向量形式，即由一个向量加上满足该非齐次线性方程对应的齐次方程的一些向量的任意线性组合的形式．

例　3　写出的解，其中

，

解：这里就是例1的系数矩阵，对［］作行变化得

所以，，是自由变量.的通解可以写向量形式：

＝＝＝＋＝＋

方程，或用表示一般参数，

(为实数) (3)

就是用参数向量形式表示的解集，回忆例1中的解集有参数向量形式

(为实数) (4)

(与(3)中的相同)，故的解可由向量加上的解得到，向量本身也是的一个特解(在(3)中对应)．

为了从几何上描述的解集，我们可以把向量加法理解为平移，给定或中的向量与，给加上的结果就是将沿着平行于通过与的直线移动，我们称平移到而得到的.见图3.如果或中的直线上的每一点被平移，就得到一条平行于的直线，见图4.

图3 ，使

图4 直线的平移

假设是通过与的直线，由方程(4)表示，的每个点加上得到由方程(3)表示的平移后的直线，注意也在直线(3)上，我们把(3)叫做通过平行于的直线方程.于是的解集是一条通过而平行于的直线．图5说明了这一结论．

图5 与的解平行

图5中和的解集之间的关系可以推广到任意形如的方程，当自由变量有多个时，解集将多于一条直线，下列定理给出了这一结论，证明见习题25.

定理6　设有方程，为一个特解，则的解集是所有形如的向量的集合，其中是齐次方程的任意一个解．

定理6说明若有解，则解集可由的解平移向量得到，是的任意一个特解，图6说明有两个自由变量时的情形.即使当时，方程组()的解集也可以想象成是一个非零点和一条不通过原点的线或平面．

图6 与的解平行

注意　定理6与图6仅在方程至少有一个非零解的情形下成立．若无解，则解为空集．

下列算法总结了例1、2、和3中的计算：

1．把增广矩阵行化简为简化阶梯形．

2．把每个基变量用自由变量表示．

3．把一般解表示成向量，如果有自由变量，其元素依赖于自由变量．

4．把分解为向量(元素为常数)的线性组合，用自由变量作为参数．

1.6　线性方程组的应用

你也许希望现实生活中涉及线性代数的问题会是只有惟一解，或者可能无解．本节的意图是要说明有多解的线性方程组是如何自然产生的，这里的实例来自经济学，化学和网络流．

经济学中的齐次线性方程组

本章介绍中提到的500个变址的500个方程组成的方程组，现称为Leontief “投入-产出”(或“生产”)模型．在2.6节将详细讨论这个模型，那时我们有更多的理论和更好的符号．日前，我们先看一个简单的“交易模型”，这个模型也是由Leontief提出的．

假设一个国家的经济可以划分为许多部门，如各种制造，交通，娱乐和服务业．假设我们知道每个部门年度的总产出，并精确知道该总户出是如何在其他经济部门进行分配或“交易”的，称一个部门产出的总货币价值为该产出的价格．Leontief证明了下面的结论．

存在能够指派给各个部门总产出的平衡价格，使得每个部门的总收入恰等于它的总支出．

下面的例子说明如何求平衡价格．

例　1　假设一个经济由煤炭、电力(电源)和钢铁三个部门组成，各部门之间的分配如下表所示，其中每一列中的数表示该部门总产出的比例．如表1的第二列，将电力的总产出分配如下：40%给煤炭部门，50%给钢铁部门，剩下的10%给电力部分．(电力部门把这10%作为运转费用．)因此所有产出都必须分配，每一列的分数之和等于1．

记符号，，分别表示煤炭、电力和钢铁部门年度总产出的价格(即货币价值)，如果可能，求平衡价格使每个部门的收支平衡．

表 1一个简单的经济问题

部门的产出分配			采购部门
煤炭	电力	钢铁
0.0	0.4	0.6	煤炭
0.6	0.1	0.2	电力
0.4	0.5	0.2	钢铁

解：某一部门所在的列表示它的产出的去向，它所在的行表示它从哪些部门获得了投人例如，表1的第一行说明煤炭部门接受(采购) 40%的电力产出和60%的钢铁产出，因为相应部门的总产出价格为和煤炭部门必须支付电力部门美元，支付钢铁部门美元，因此煤炭部门的总支出是 美元。为使煤炭部门的总收入等于它的总支出，有

(1)

交易表的第二行说明电力部门的开支有0.6美元采购煤炭，0.1美元采购电力，0.2美元采购钢铁，因此电力部门的收支平衡条件是

(2)

最后，交易表的第三行导出最后的条件：

(3)

为求解方程组(1)、(2)、(3)，将所有未知量移到方程的左边并合并同类项．(例如，在方程(2)的左边将写成．)

接下来进行化简．为简明起见，数值舍入到小数点后两位．

通解是，，为自由变量．这个经济问题的平衡价格向量为

＝＝＝

任意(非负)取值可以算出平衡价格的一种取值．例如，如果取为100(或1亿美元)，那么，．即如果煤炭的产出价格是9400万美元，电力的产出价格是8500万美元，钢铁的产出价格是1亿美元，那么每个部门的总收人和总支出将会相等．

配平化学方程式

化学方程式反映了化学反应的物质消耗和生产的数量．例如，当丙烷气体燃烧时，丙烷()与氧()结合生成二氧化碳()和水() ，按照如下形式的一个方程式

()

为“配平”这个方程式，化学家必须找到，hellip;，的全体数量，使得方程式左边碳()、氢() 、氧()原子的总数等于右边相应原子的总数(因为化学反应中原子既不会被破坏，也不会被创造) ．

配平化学方程式的一个系统方法是建立描述一个化学反应中每一种类型的原子的数目的一个向量方程．由于方程式(4)包含三种类型的原子(碳、氢、氧)，给(4)式的每一种反应物和生成物构造一个属干的向量、列出每个分子的组成原子的数目如下：

，，，

要配平方程式(4)，，hellip;，的系数必须满足

将全部项移到等式左边(修改第三和第四个向量的符号)，得到：

化简该方程式的增广矩阵得到通解

，，是自由变量.

因为化学方程式的系数应为整数，取，那么，，．配平的方程式为

如果方程式中的每个系数乘两倍(比如说)，该方程式仍然是配平的然而在一般情形下，化学家倾向于使用全体系数尽可能小的数来配平方程式．

网络流

当科学家、工程师或经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组．例如，城市规划和交通工程人员监控一个网格状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售．许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程．

一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点．流的方向在每个分支上有标示，流量(速度)也有显示或用变量标记．

网络流的基本假设是网络的总流入量等于总流出量，且流经一个节点的总输入等于总输出，例如，图1-28 显示30单元经过一个分支流入一个节点，和 标记该节点经过其他分支的流出，因为流量在每个节点中是守恒的，我们有．类似地，每个节点的流量可以用一个方程描述．网络分析的问题就是确定当局部信息(如网络的输入)已知时每一分支的流量．

图 1一个节点

例　2　图2中的网络是Baltimore街道一些单行道路在一个下午早些时候(以每小时通过车辆数目计算)的交通流量．计算该网络的车流量．

图 2Baltimore街道

解：写出该流量的方程组， 并求其通解，如图1-29 所示，标记道路交叉口(节点)和未知的分支流量．在每个交叉口，令其车辆驶入数目等于车辆驶出数目．

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交叉口	车辆驶入数目	车辆驶出数目
A
B