杭 州 师 范 大 学

本科生毕业设计（论文）外文文献翻译

在香港的学校数学教科书中的代数推理与运算

原文作者 Kwong-Cheong Wong and Rosamund Sutherland

摘要：为了促进通过理解学习数学，许多国家的数学教育家建议证明（和证明相关的推理）应该在学校数学中发挥核心作用。 针对这一建议，本研究探讨了学生在香港一本流行的学校数学教科书中学习推理和解决代数问题的机会。本研究采用了Stylianides法(2009)。 结果表明，这种机会相对有限。此外，绝大多数论证都不需要什么推理。数学教材里只有许多经验非证明论点的例子，几乎没有推测的机会。总的来说，结果表明，证明在香港的学校数学中扮演着很边缘的角色。

关键词：推理和证明；学校数学教材；代数；香港

导言

除了验证数学陈述的真实性外，证明还可以在数学中具有许多其他功能，包括解释，这可以促进数学中的意义制造和理解(deVilliers1990)。因此，世界各地的许多数学教育工作者，特别是美国的数学教育工作者，建议证明和证明相关的推理渗透到学校数学的所有年级水平和内容领域(例如，Ball等人。2002；nctm2000；Stylianou等人。2010汉娜和德维利尔2012).此外，因为教科书可以有一个K.-C.Wong（amp;）香港理工大学香港红电子邮件：wongkwongcheong@gmail.com R.萨瑟兰 布里斯托尔大学，英国布里斯托尔 copy;斯普林格国际出版公司2018年A.J.Stylianides和G.Harel(编。)，数学教育研究的进展证明和证明，ICME-13专著，https://doi.org/10.1007/978-3-319-70996-3_13 185

186 K.-C.Wong和R.Sutherland对学生所学知识的影响，在不同的国家进行了许多研究，以审查学生从学校数学教科书（如汉娜和德布鲁恩）中学习推理和证明的机会1999；Nordstrom和Lofwall2005史黛西和文森特2009；苯乙烯类化合物2009汤普森等人。2012；戴维斯2012；Bieda等人。2014；Davis等人。2014藤田和琼斯2014Otten等人。2014a,b；亨特2016)。然而，几乎所有这些研究都是在西方国家进行的，很少在东亚国家（如新加坡、韩国、香港）进行，在这些国家，学生在国际数学成就研究(如TIMSS)(如Mullis等人)人。 2012). 本研究旨在补充该领域的研究知识，考察学生在香港一本流行的中学数学教 科书中解决代数问题时学习推理和证明的机会。 预期所取得的结果将揭示 在这些成绩优异的国家（或地区）中，如何在学校数学中对待推理和证明，并提供关于中国文化可能对学校数学理解问题的影响的见解。

文献综述

如上所述，近年来，在不同的国家进行了许多研究，以审查学生从学校数学教科书中学习推理和证明(RP)的机会。在本节中，我们简要回顾了这一系列文献，根据所使用的分析框架的复杂性，这些文献大致可分为三个阶段。在第一阶段，所使用的分析框架相当原始。这一阶段始于汉娜和德布鲁恩(1999)，他在代数、几何、函数和关系、指数和对数以及三角学等主题上，使用了一个由三类组成的框架，即证明、讨论证明和非证明。他们发现，一本教科书有21%的说明项目和21%的练习涉及证明或讨论证明，而另一本教科书分别为17%和16。在瑞典，Nordstrom和Lofwall(2005)调查了瑞典两本流行的高中数学教科书中的证明，主题是代数、几何、统计和概率、函数和微积分、指数和对数、三角学和复数。他们发现，即使在几何学中，“与安大略教科书相比，证明或讨论证明的情况也很少”（第451页）。在澳大利亚，史黛西和文森特(2009)在九本澳大利亚八年级数学教科书的论述部分中，研究了七个主题中使用的推理模式。他们发现了七种推理模式：使用一般案例进行演绎，使用特定案例进行演绎，使用模型进行演绎，规则与模型一致，实验演示，诉诸权威，定性类比。他们还发现“演绎解释

13数学中代数的推理与推理...187对于一些主题（特别是负整数的乘法和梯形的面积[都是100%])是常见的，但对于其他主题(特别是分数的除法[只有17%])则不常见”(第285页）。在第二阶段，根据证明相关结构的各自概念，提出了两个更复杂的框架。这一阶段始于Stylianides(2009他给出了推理和证明(RP)的概念化，以包括四个主要的证明相关活动：识别模式（确定的和可信的）、进行猜想、提供证明和提供非证明的论点。基于这一概念化，他提出了一个分析框架，以检查RP机会在一个面向改革的6-8年级教科书系列的代数，数论和几何。他发现约40%的检查任务是RP任务，约5%是提供证据的任务。他还发现97%的似是而非的模式和88%的确定模式没有导致猜想，70%的猜想没有导致证明。Thompson等人。(2012)提出了证明相关推理的概念，并建立了教科书分析的解析框架，用于考察二十本美国当代高中数学教科书中指数、对数和多项式等主题的RP机会。他们发现5.4%的练习含有RP。在第三阶段，两个有影响的分析框架由Stylianides(2009)和Thompson等人。(2012)进行教科书式的RP机会分析。使用从Stylianides改编的框架(2009)，戴维斯(2012)研究了美国三种不同组织（常规、混合和面向改革）的中学数学教科书中涉及多项式函数的RP的离散性，发现它们分别包含4%、9%和22%的RP实例。在另一项研究中，戴维斯等人。(2014)在两本以美国改革为导向的中学高等代数教科书中考察了RP机会。他们发现，10.80%的RP任务在练习部分，24.75%的RP句在一本教科书的论述部分，而在另一本教科书中，分别为15.76%和30.23。他们还发现，这两种教科书中的模式很少被用来发展猜想或有效的论点。使用汤普森等人改编的框架。(2012)，Otten等人。(2014a,b)在六本美国中学几何教科书中为学生（13-16岁）检查RP机会。他们发现大约25%的练习是RP任务，不到5%是证明性任务。他们还发现RP过程本身是一个明确的反射对象是罕见的。也在美国，Bieda等人。(2014为了补充中学数学RP的研究，分析了七年级五年级小学数学教科书的RP机会。他们改编了Stylianides(2009)和Thompson等人。(2012)，并发现3.7%的检查任务涉及RP。在日本，藤田和琼斯(2014)分析了一本流行的8年级日本教科书的几何组成部分，使用了一个框架，主要基于与第三次国际数学和科学研究(TIMSS)相关的工作，并根据Stylianides的工作(2009)和Thompson等人。(2012)。他们发现，70%的检查练习涉及直接证明，24%涉及制作在证明之前的猜想。最近，亨特(2016)采用了Otten等人的框架。(2014a在三本中学教材中，考察六个几何主题（三角形、全等三角形、相似三角形、毕达哥拉斯定理、四边形和圆）的RP机会。他发现，这三种教科书分别有32%，35%和77%的RP任务在他们的运动部分。可以对上述审查的研究提出一些意见。首先，不同教科书中的RP机会差异很大-从3.7%(Bieda等人。2014)至77%(亨特2016)。第二，较高的等级往往有更多的RP机会。第三，几何学往往比代数有更多的RP机会。最后，面向改革的课程（有利于证明）往往比传统课程有更多的RP机会。但正如蔡和Cirillo所指出的(2014我们应该谨慎地比较这些研究的结果，因为不同的研究使用不同的框架和方法（例如抽样和分析单位）。在此背景下，我们的研究旨在探讨学生从香港一本流行的学校数学教科书中解决代数问题中学习RP的机会。

背景：香港特别行政区

香港作为中国的一个特别行政区，有自己的学校课程，由教育局授权，与中国不同。2009年，香港特区政府为10至12岁（15至17岁)的学生推出新高中数学课程）。这一新课程包括两部分：必修部分和扩展部分，后者是更先进和可选的(见教育局香港特区政府2007)。在本研究中，我们重点研究了课程的必修部分，因为这一部分是所有学生都必须学习的共同核心。本必修部分由三个部分组成（“代数和数”、“措施、形状和空间”和“数据处理”），旨在培养学生：“(a)批判性和创造性思维、数学概念化、探究和推理的能力，以及在日常生活中以及在数学环境和其他学科中使用数学来制定和解决问题的能力；(b)与他人交流的能力，以及用数学语言清晰、逻辑地表达自己的观点的能力；.”（同上，第2页）。这些目标在任何方面都不是独一无二的-相似的目标可以找到，例如，在美国的学校数学共同核心标准(CCSSI2010)。在这些目标中，人们可以找到一些推理和证明的迹象（例如，“数学推理”和“与他人交流，用数学语言清晰、逻辑地表达他们的观点”）。香港的学校可以自由选择由商业出版商制作的范围广泛的教科书，但通常从教育局提供的推荐教科书清单中选择教科书，因为这些教科书保证与新课程完全一致。数学教科书中代数的推理与推理...189本研究选择的系列是新世纪数学(NCM)(梁等人。2014–2016)，这是推荐的教科书清单，并由一位著名的数学教育家合著。根据轶事证据（据我们所知，市场上没有出版物统计），NCM是目前在香港使用的最受欢迎的教科书之一，即使不是最受欢迎的教科书之一。我们选择进行教科书分析而不是其他方法来调查学生学习推理和证明的机会的理由是，香港教师在日常规划和教学中经常使用教科书。例如，Tam等人指出了这一点。(2014):对许多教师（在香港）来说，教科书，而不是官方的课程和评估指南，是“课程文件”，因为他们在教学中严重依赖教科书。（第101页）关于这一点，梁和朴(2002)还注意到：hellip;看来，香港的[系统]依赖于一种分工，课程开发人员和教科书编写者的作用是确保良好的教育学嵌入课程和教科书中。教师的角色是忠实地遵循课程，并确保学生遵循建议的程序。这将腾出教师的准备时间，使他们有更重的教学负荷。（第128页）因此，教科书中对推理和证明的处理很可能影响教师的教学决策，从而影响学生学习推理和证明的机会。

分析框架和方法

在数学教育研究中，有不同的证明概念(例如，见Stylianides2007；Reid和Kniping2010)。在本研究中，我们遵循了Stylianides在学校数学背景下对证明概念的有影响的概念化(2007它强调学生证明实践的社会文化方面：

证明是一种数学论证，是对一种数学主张或反对一种数学主张的一系列相互联系的断言，具有以下特点：1.它使用课堂上接受的陈述（一组被接受的陈述），这些陈述是真实的，没有进一步的理由。2.它采用的推理形式（论证模式）是有效的，已知的，或在概念范围内的课堂社区；3.它与适当的、为课堂社区所知的或在课堂社区的概念范围内的表达形式（论证表示方式）进行交流。（第291页)(原文强调）

这种证明（和证明）的概念化与Stylianides的分析框架是相容的(2009我们在这项研究中适应了。我们调整Stylianides框架的原因是，我们的研究项目，本研究是其中的一部分，有类似的目的，即我们都旨在调查为学生设计的推理和证明机会，在一个战略选择的教科书系列跨越不同的层次和不同的内容领域。苯乙烯化合物rsquo;(2009框架是基于他对推理和验证(RP)的概念化，他建议用这个术语来描述包含所有四个主要证明相关数学活动的总体活动：(a)识别模式，(b)提出猜想，(C)提供证明，(D)提供非证明论点。如表所示13.1前两项活动被归类为数学概括的范畴，后两项活动被归类为为为数学主张提供支持的范畴。这种概念化背后的思想是，进行数学概括（识别模式和猜想)和为数学主张提供支持(证明）是做数学的两个基本和相互关联的方面(Boero等人。2007)。此外，有两种模式：可信的和确定的；两种证明：一般的例子和论证；两种非证明的论点：经验的论点和理由。Stylianides的原始框架和我们改编后的框架的一个重要区别是，我们使用的演示类别比他的更广泛；具体来说，我们在演示类别中还包括“定义证明”和“计算证明”(见表13.3在我们所研究的教科书系列的练习中经常使用。在这项研究中，跟随汉娜和德布鲁恩(1999)，我们重点研究课程的必修部分，并研究了所选教科书系列第10年级的所有代数章节(即“代数和数字”链中的章节。(其他两个方面的RP机会，见Wong2017a,b。)这涉及新世纪数学第4A和4B两本书的全部八章：第一章数制、第三章一元二次方程、第四章函数基本知识、第五章二次函数、第

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