对有或没有学习障碍的学生进行数学文字问题解决的错误分析

原文作者 Sheri Kingsdorf and Jennifer Krawec

单位 University of Miami

摘要：对于有学习障碍的学生来说，解决应用题是一个很常见的问题。为了使教学有效，我们首先需要清楚地了解LD学生在解决问题时所表现出的具体错误。错误分析已被证明是一种有效的工具，在数学的其他领域，但很少应用于错误的文字问题。摘要本研究采用错误分析的方法，深入探讨LD学生与AA学生在解决数学问题时所犯错误的类型及频率。本研究探讨了两组学生之间的相似性和差异性，并探讨其潜在的认知过程，以及对未来研究的启示。

关键词：数学教学；解决问题；数学技能；错误模式；比较分析；认知过程

错误分析是一种评估工具，用于确定教学需要的领域(Fleishchner amp; Manheimer, 1997)。错误分析已被用于更深入地查看在任务中所犯的错误。它产生的信息超出了正确或不正确的分数，从而导致对子技能的深入了解，以及可能导致不准确的过程。数学文献已经证明误差分析是一种有价值的方法。

尽管有错误分析的使用，但它的概念基础也有它的反对者。Smith, diSessa和Roschelle(1993)已经提出反对使用它的观点。他们认为，分析解决问题过程的小单元(即错误或误解)低估了学习者所持有的复杂知识系统。学生和老师可能会采取不同的方法来解决问题;在此过程中发现的这些被识别的错误概念可能不是错误概念，而是不同的概念，或者是(错误的)对已有知识的应用。此外，主要基于错误模式的针对学生的教学可能会忽视学生掌握的数学知识的全貌。正如作者们所指出的，Smith和他的同事们所讨论的错误分析的错误识别和替换策略在研究和实践中都存在，但他们没有意识到工具的更广泛使用已经出现。错误分析已被用作一个起点，以更好地了解学生的学习系统，以进一步发展学生的数学理解。虽然应用程序在本质上大多是程序性的，定性分析支持概念调查。

例如，Seng(2010)在一项研究中使用了误差分析，该研究观察了265名七年级学生在代数方程上的表现，将他们分为高、中、低能力。他们调查了藻类进化过程中的12种错误。根据误差收集频率计数进行分析。此外，我们还采访了30名学生，以对他们解决问题的过程和程序进行定性分析。从访谈中获得的信息导致了产生最常见错误的四个主要原因。指数误差似乎是最普遍的误差，这种误差的可能原因是新教授的数学过程的干扰。森的错误分析工具集中在代数方程-证明不仅在错误的评分，而且在定性研究的基础上有用，并揭示了学生在代数概念上的重要差距。最后，作者使用频率计数来确定学生犯错误的频率，这提供了关于各种误解严重程度的关键信息。

Raghubar等人(2009)进行了一项研究，研究有学习困难和没有学习困难的学生在算术上的数位错误。研究人员调查了四组不同数学和阅读能力的三、四年级学生的算术成绩。这些学生分为四组:(1)同时存在数学和阅读困难;(2)数学困难;(3)阅读困难;错误分析采用的编码错误包括数学事实、程序错误和错误、视觉空间/视觉监控(例如，数字不对齐、过度拥挤、写错)和/或(操作)切换。他们的结论是，某些错误类型与特定的困难领域相一致。例如，数学事实错误与数学困难有更大的正相关关系，而视觉错误与阅读困难最相关。四组学生的操作开关错误频率差异不大。如果作者只检查了正确率，不同难度的学生之间的细微差别是看不见的。因此，本研究中误差分析工具的使用为不同能力的学生群体之间的比较提供了更丰富的基础。此外，研究结果显示，对于阅读困难的学生，数学教师应更注重方程的结构和建立，而对于数学困难的学生，则应接受以提高数学基础知识为导向的教学。

Luneta和Makonye(2010)对12年级学生的微积分错误进行了错误分析，揭示了如何剖析错误类型可以更好地理解错误发生的原因。在他们的案例中，错误主要与基本技能有关。他们的研究为在更复杂的操作中使用错误分析提供了真正的好处，以便看到潜在的问题。然而，最终，研究的定性方法被证明比研究的结论对未来的研究更有用。

总的来说，错误分析在提供学习者在许多数学领域的错误的更详细的信息方面是有效的，包括基本技能如减法和复杂技能如微积分。同样，它提供了关于学生对程序技能的误解以及更复杂的潜在的概念误解的信息。然而，尽管错误分析已被确定使用，但它还没有被用来提供关于解决应用题过程中所犯错误的信息。由于数学问题解决的复杂性，一个学生的错误答案可能是由于许多原因，正如Mayer(1985)的模型(图1);把这个答案简单地评定为不正确，并不能提供具体的信息来指导指导或干预。然而，对错误的分析可能会指向特定的和重复的误解，当通过干预明确地解决时，可以导致改进的性能。此外，众所周知，与AA组的同龄人相比，LD组的学生在数学知识和应用方面存在不足。目前在文献中缺少的是这些困难领域如何在解决数学问题的行为中表现出来。在其他相关领域，错误分析已经被证明是一种成功的评估工具，它可以为制定有效的指导提供基础。

编码:错误类型

确定了6个代码供分析。根据Mayer(1985)的模型，我们预先确定了四种错误:数字选择错误(跨类别:相关、无关、遗漏)、操作错误、遗漏步长错误和计算错误。在分析过程中出现了两个额外的随机错误代码(包括十进制错误、抄写错误、无正当性错误)和遗漏错误(问题留空)。数字选择错误包括三个类别:关联错误、无关错误和缺失错误。相关的数字错误是指学生把数字写错了，或者在解决问题时把正确的数字用错了步骤。无关数字错误被定义为学生在解决问题的过程中使用了一个与答案无关的数字。数字遗漏错误是指学生在解决问题的过程中遗漏了一个相关的数字。在分析中，所有的数字选择错误被聚合;子类别被用来检查能力组内部和之间的模式。运算错误是指学生在开始解题时选择了错误的运算(加、减、乘、除)。因为有些问题可以使用多种运算来解决(例如，在第一步或第二步中使用加法而不是乘法，使用减法)，如果运算可能导致正确的解决方案，那么它们就被认为是正确的。效率不是一个因素(即，一个学生减去4次而不是除以4不被处罚)。遗漏步骤错误被定义为学生完成的步骤少于解决问题所需的步骤。根据定义，这类错误仅限于多步问题。计算错误被定义为四种操作中的一种的计算错误(如图所示)。随机错误分为三类:十进制错误、抄写错误和无理由错误。小数错误的定义是:在求解过程或给出的解中，一个小数出现在错误的位置(或没有出现)。抄写错误被定义为学生在解决问题的作业中错误地抄写问题中的数字。没有理由的错误被定义为学生写下一个不正确的答案，不包括任何分析工作。最后，一个省略错误被定义为问题被留空。

分析

由于在本研究中纳入参与者的参数设置，确保我们的样本反映更大的研究样本是很重要的。因此，进行了一些初步的分析。首先，我们进行了卡方拟合优度检验和单向方差分析(ANOVAs)，以确定我们的最终样本是反映每个样本的更大样本

这是为了确定这38个随机选出的AA学生在解决问题上的表现是否与101个AA学生相似，而101个AA学生至少有80%的问题做错了。接下来，我们对学生的性别、种族和SES进行了一系列卡方分析，以确定能力组(即平均成绩和LD)在演示图形特征上的等价性。

为了确定两组学生在解决问题时所犯的具体错误是否存在差异，我们以选择、操作、遗漏、计算、随机dom和遗漏这六种错误类型为因变量，进行了多元方差分析(MANOVA)。所有MANOVA的假设(即，正态性，线性，方差-协方差矩阵的齐性，以及不存在异常值)都得到满足。我们用模糊限制语g计算结果的效应大小，并使用科恩(1988)的惯例(即，0.2 =小，0.5 =中，0.8 =大)来解释它们。

初步分析

卡方拟合优度检验显示，无论是LD组还是AA组，大样本与我们的研究样本之间都不存在与性别、种族或SES相关的显著差异(ps范围在.126到.981之间);此外，方差分析结果显示，当能力组分解时，更大的研究样本和我们的样本在溶液精度上没有差异(ps .330和ps .149)。ANOVA比较AA学生在更大的研究样本中显示至少80%的不正确答案的工作和我们的AA学生的研究样本在整体解决方案精度的因变量上没有显著差异(p .430)。

卡方分析结果显示，LD学生与AA学生在性别和SES上的差异均无统计学意义(p lt; 0.05)。学生的种族在两个能力组之间有显著差异，LD组黑人学生明显多于西班牙裔学生，chi; 2 (3) 2632.18, p lt; .001。由于数据显示，西班牙裔和黑人学生的数学成绩相似(美国教育部，2011)，我们对种族进行了卡方分析，使用了两个层次:白人和非白人。分析结果显示，AA组和LD组以这种方式分类时，差异无统计学意义(p gt;.05);因此，我们的结论是，不需要协变量，因为能力组在所有人口统计学变量上是相等的。

外文文献出处：hellip;hellip;

附外文文献原文

Learning Disabilities Research amp; Practice, 29(2), 66–74

sect;C 2014 The Division for Learning Disabilities of the Council for Exceptional Children

Error Analysis of Mathematical Word Problem Solving Across Students with and without Learning Disabilities

Sheri Kingsdorf and Jennifer Krawec

University of Miami

Solving word problems is a common area of struggle for students with learning disabilities (LD). In order for instruction to be effective, we first need to have a clear understanding of the specific errors exhibited by students with LD during problem solving. Error analysis has proven to be an effective tool in other areas of math but has had little application to errors in word problems. Using an error analysis approach, this study aimed to investigate in depth the various types and frequency of errors made by students with LD and their AA peers during math problem solving. The resulting similarities and differences between the two groups of students are discussed with insight into underlying cognitive processes, and implications for future research.

INTRODUCTION

Students with learning disabilities (LD) often struggle in math (Bryant, Bryant, amp; Hammill, 2000). As math is a critical component of our core curriculum and also vital to success in the workplace and daily living (Hudson amp; Miller, 2006), it is important to understand the specific difficulties expe- rienced by students with LD. The literature shows several dimensions of mathematical cognitive knowledge, such as base ten notation, calculation, basic math facts, and problem solving, as pitfalls for students with LD (Raghubar et al., 2009; Russell amp; Ginsburg, 1984). Compared to the other areas of difficulty, problem-solving proficiency requires sub- stantially more conceptual and procedural knowledge. As such, focused problem-solving instruction is often relegated to higher grades where these foundational concepts have been mastered. Problem solving, however, actually ente

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