杭 州 师 范 大 学

本科生毕业设计（论文）外文文献翻译

数学抽象核心素养

——学生对三角形概念的抽象

Hutagalung E E,Mulyana E,Pangaribuan T R

摘要：数学抽象是学生建构数学知识和过程本身的一种认知过程。本研究探讨了学生有关三角形概念以及面积的数学抽象过程。本研究在美国的一所初中进行，共有23名7年级(12-14岁)学生参与了这项研究。首先，研究人员提出了四个问题对学生进行测试。然后研究人员通过观察测试结果和随后的学生访谈收集数据。最后，对数据进行定性分析。研究人员发现，成绩较差的学生倾向于理解成；三角形是由三条直线围成的内部区域以及三条直线本身组成的；同时，他们也倾向于把三角形的面积理解为一个三角形被“底乘高”分成两个部分。此外，有迹象表明成绩差的学生需要老师的帮助，这样他们才能达到更高水平的抽象。

关键词：数学抽象素养； 三角形概念抽象；

一、 介绍

人们普遍认为数学有抽象的对象，如函数序列。除此之外，学生们还在学习高等数学时抱怨这门课“太抽象”。在这里，我们将讨论什么是抽象。

维伦斯基认为，一个对象是抽象的还是具体的，并不依赖于对象的属性，而是个体与对象的关系属性。一个孩子，大约6岁，可以做2 8，8 7，15 6，22 3等等，不需要帮助。但如果让他这么做，加上3 17，2 15，甚至6 15，他就会有困难。这是因为他的思维是把第一个数字加上和第二个数字从零开始一样多的跳跃。例如，2 4=6是通过从2到3、3到4、4到5、5到6这样四次跳跃得到的。他无法算得6 15是因为工作记忆不能容纳15次跳跃之多。在这种情况下，15 6是具体的，但6 15是抽象的。这个孩子还未学习额外的属性，例如加法交换律，所以6 15变得抽象。

再比如，当读者阅读这篇文章时，首先呈现的是抽象的内容。在阅读摘要后，读者会得到对这篇文章的大致描述。然后，当读者完整阅读这篇文章时，摘要就会变得更清晰(不那么抽象)。这些例子证明了哈赞和扎兹基斯的观点：一个人越接近一个物体，那么与之形成的联系越多，对它的感觉就越具体。

抽象来源于拉丁语abstractum，意思是抽出。一些作者说抽象是一个过程，而另一些人说抽象是一个对象。但是，我们并没有发现作者所说的抽象是否定抽象作为客体的过程，反之亦然。我们同意抽象有两种意义，一种是过程，一种是由过程输出的概念(抽象)。因为，首先，根据德雷福斯的说法，“对大多数数学家来说，这是一个抽象概念，是一个对象，它包含了一个结构—元素和它们之间的关系——在不同的环境中出现的许多实例都是相同的。第二，根据Tall的观点，学生的抽象性是通过观察对象的特征而产生的。因此，在本文中，将抽象看作是过程，同时也看作是其过程的输出。

汉斯·弗罗伊登塔尔关于垂直数学化的抽象。他写道:“在另一个世界里，符号被塑造，重塑，操纵，机械地理解和反思；这就是垂直数学化。在数学学习中，学生根据与其他事物不同的相似之处来识别几个物体、情境或经历。这些相似之处在这个学生的脑海里形成了一个新的方案。当学生们形成一个新的方案时，他们实际上是在塑造、重塑或修改现有的方案。Gray和Tall认为它是符合抽象意义的。他写道:“抽象是从情境中得出可思考的概念（抽象）的过程。”

换句话说，Gray和Tall用压缩这个术语来描述存储机制以一个词或短语命名的现象为依据的信息。此外，其中一些现象被称为一个可思考的概念，因此它们可以被讨论和思考。当孩子们基于经验形成(抽象)新的概念时，他们实际上是在创造可思考的概念之间的联系。

皮亚杰介绍了在数学和科学学习中的两种抽象，即经验抽象和反思性抽象。斯坎普关于抽象的概念包括对相似性的认识，以及随后将这些相似性实现为新的精神对象。这意味着斯坎普的概念是基于经验的。因此，这也被称为经验抽象。因此，经验抽象是一个人在经验和观察的基础上形成新概念的活动。这一观点与Hershkowitz，Schwarz和Dreyfus的声明有关，他们都认为抽象依赖于个人经验。

米切尔莫尔和怀特认为，数学中的抽象对于创造有效的数学学习是非常重要的，其中包括三角形。在印度尼西亚，对几何抽象的研究采用了多种方法和背景，如Nurhasanah，Dewi，Annas，Fitriani等人。本研究将描述学生在抽象三角形概念和面积方面的低成就（困难）。

我们注意到，数学抽象总是谈论学生通过自己的经验形成新的概念或知识时的心理活动。本研旨在探究“低年级学生在学习三角形概念和面积时是如何数学抽象的?”以及“当学生理解三角形的概念和面积时，会存在什么抽象现象（困难）?”

1. 研究方法

本研究主要试图去描述学生在学习三角形的概念和面积有关知识的过程中蕴含的数学抽象。为了实现这一目标，我们进行了一项描述性研究。其中对三角形相关知识进行了学生的个人书面测试，然后是学生面试。本研究以万隆市7年级（12-13岁）23名低成就学生为对象。我们以七年级98名学生的前三次数学测验（即线与角、三角形、四边形）的平均分为参考线，以此区分出成绩较差的学生。首先转化为z分数，然后是z分数平均值小于minus;1(因为1是其偏差标准)的学生。

然后，本次研究共有23名学生参加，进行了笔试，其中4人进行了面试。测试者根据测试情况被确定为S2、S3、S4和S5四个等级。我们对测试数据和访谈数据进行了定性分析，发现学生在三角形概念和面积方面的数学抽象成就较低，存在一定的认知难度。

三、研究结果与分析

1、三角形概念的抽象

在书面测试过程中，当要求低分学生选择一个三角形图形并说明他的选择依据时，在图1、2的两个图形中，我们发现所有低分学生都可以正确选择出三角形图形。基于这一结果，我们可以知道低成绩的学生可以直观地使用相关属性，如三角形的角和直边。视觉直观可以帮助学生建立心理表征，并帮助学生参与到抽象中。此外本研究还发现，成绩较差的学生尽管可以在视觉上正确选择三角形，但是仍旧需要老师的帮助，带领他们到达更高的水平。

关于选择原因，其中十九个学生写：三角形的边长必须是一条直线，三个学生写：三角形必须有三个角并且边长都是直线。因此，我们也可以发现，学习成绩差的学生可以用不完整的语言来表示数学对象。正如霍恩和沃森所指出的，“孩子们用来解释原因的语言hellip;hellip;表明，尽管他们的知识有所发展，但他们的注意力仍然受到有限的视觉图像的控制。”

图1 图2

我们选取了一位S2学生的回答情况，如下：

选择：图1 原因：因为图2不是由直线组成的。

此外我们和一位S4学生进行了访谈。通过访谈，我们确认了该学生对三角形概念的抽象，如下:

P：...在图1、2中，你选择的数字2不是三角形，对吗?

S4：先生，您指的是哪一个?

P：这个(指着图案2).

S4：是的，因为这不是直线。

P：好的，这意味着图1是三角形，是吗?

S4：是的。因为这条线是直线。

P：那么，三角形是线还是包括线以及内部区域?

S4：线以及内部区域。

P：哦. .现在，看看这张纸（展示一张三角形的纸）。这是一个三角形?

S4：是的。因为边是直的。

...继续讨论三角形的概念。

另一个实验对象也表达了同样的观点。一开始，低成绩的学生倾向于将三角形解释为一个由直线界定的区域(内部区域)。实际上，根据Mulyana的说法，三角形由三条不同的线段组成，这三条线段的端点与另一条线段的端点重合，即首尾顺次连接。虽然低成绩学生表达的数学语言有一个词线，如Mulyana所表达的，我们认为低成绩学生不能说有正确的定义的三角形，即使对他们自己。这与安纳斯等人的研究结果是一致的，该研究表明低分组的学生往往定义三角形不完全，他们仍然使用常规属性。这意味着低分组的学生从视觉上定义了三角形的概念。

虽然低成绩学生表达的数学语言有一个词线，如Mulyana所表达的，我们认为低成绩学生不能正确完整地说出三角形的概念，甚至对他们自己。这与安纳斯等人的研究结果是一致的，该研究表明低成绩组的学生往往定义三角形不完整，他们仍然使用常规属性。这意味着低分组的学生往往从视觉上定义了三角形的概念。

因此，对于三角形的概念有三种抽象低能的理解，即三角形的边是直线，三角形必须有三个角和边，三角形由直线所界定的面积(内部面积)和直线本身组成。那么，低成绩的学生只能通过教师的帮助和指导，在学生已经经历过的过程之间创造关系，从而形成对三角形的新认识。在这项研究中，即使受试者能够传达三角形由直线组成，他们也不能在新的情况下使用它，正如米切尔莫尔和怀特指出的，在新的情况下应用这个概念也是抽象的教学之一。根据这些信息，我们注意到，低成绩的学生将三角形解释为由直线界定的区域(内部区域)。

1. 三角形面积的抽象

以前，低成绩的学生往往将三角形理解成由三角形的内部面积组成，而不是由直线组成。但是，他们的抽象与三角形面积的抽象无关。从访谈中可以看出，低成绩学生往往会根据周长得来的公式来区分三角形的面积。成绩差的学生往往不理解三角形面积是三角形所围成的面积(内部面积)，而是简单地理解为底乘高的一半。这意味着他们需要帮助来建立过程之间的关系，形成对三角形面积的新理解。

当低分学生被要求计算三角形面积时，他们并没有抽象地认为面积变化与底和高有关。当23名学生被要求解答一个简单的问题(计算直角三角形的面积)，只有一个学生因为不记得公式而无法解答这个问题，而其余的学生都能正确地解决问题。通过对四名学生的访谈，只有S4和S2能得出直角三角形的两条边是垂直的，即高和底。至于S3和S5，他们需要一点帮助和引导，在正在经历的过程之间建立一种连接，形成对底和高的新理解。

题：计算△DBC的面积。

S3：

图3

图3是一位S3学生的答题情况。可以看出这位S3学生错误地识别了△DBC的高度。在之后的访谈中，S3表示AD是△DBC的高度，因为它是AB线和DC线的截线。基于这些信息，我们可以推测这位S3学生在解决问题时对高和底的抽象有一定的难度。因为S3认为三角形的高度总是在三角形的内部区域或其中一条边。我们同意Dewi等人的观点，认为学生在解决问题时的抽象过程存在一定的难度。

这也代表了低分学生在解决三角形面积问题时的一种常见错误。在学习过程中，如前所述，成绩差的学生能够知道三角形的高和底是垂直的，但在面对复杂的图形时，

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