本科生毕业设计（论文）外文文献翻译

题 目	初中生数学动态几何问题的学习障碍及对策研究——以近五年杭州中考为例

How to Solve It

——A New Aspect of Mathematical Method

原文作者 G.Polya 单位 科学出版社

摘要：

解题是数学的核心，是创造性思维方法研究中不可或缺的课题。怎样才能更好，更高效率地解题，如何想到好的解题方法一直是数学教育者都在钻研的问题。而其中最为突出的代表便是数学教育家波利亚了，他出版了《怎样解题》，书的中心思想即探讨如何在解题过程中诱发灵感。具体的核心部分便是其中的“怎样解题表”，包含以下四大解题步骤：

1.弄清题意：未知是什么？已知是什么？条件是什么？画张图，引入适当的符号；

2.拟定计划：找出已知数与未知数之间的联系，如是找不出直接的联系，你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？

3.执行计划：实现你的求解计划，检验每一步骤，你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？

4.回顾反思：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？能不能把这一结果或方法用于其他的问题？

很多学生经常发现老师能够提供了非常巧妙的解法，面对突如其来的解题过程，好像魔术师对魔术进行解密，让你茅塞顿开，就会感叹我怎么没想到呢？老师是怎么做到的。怎样解题表便指出“教学生思考”按照上述步骤，引导学生从已知走向未知，将题目信息进行编排整理，发挥主观能动性找出一个可能解决的模型计划并去执行，若失败则重复上一步，最后进行检验回顾，领会方法汲取经验，并进行类比推广，概括方法论，建立全新的数学模型，让学生看到“做饭”全过程，让数学知识活灵活现，从而提高了学生读题解题效率。所以运用波利亚解题理论进行解题教学，对课堂教学有回归素质教育的现实意义．

关键词：解题； 波利亚； 类比推广

正文：

6.四个阶段

在求解过程中,我们很可能再三地改变我们的观点,或者改变考虑问题的途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时,我们对题的概念可能很不完整:当我们有些进展以后,我们的看法就不同了:而当我们几乎已经得到解答的时候,看法就会更不相同。

为了把我们表中的问题与建议进行适当分组,我们把工作分为四个阶段。首先,我们必须了解问题;我们必须清楚地看到要求的是什么?其次,我们必须了解各个项之间有怎样的联系?未知数和数据之间有什么关系?为了得到解题的思路,应该制定一个计划。第三,实现我们的计划。第四,我们回顾所完成的解答,对它进行检查和讨论。上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况:一个学生想出了一个异常好的念头,于是跳过所有的预备步骤,解答就脱口而出了。如此幸运的念头当然是求之不得的,但是也可能发生很不如愿和很不走运的事:即学生通过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是:学生并没有理解问题就进行演算或作图。一般说来,在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情況下,去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过程中检查每一步,就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已完成的解答,则可能失去某些最好的效果。

7.弄清问题

回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的在校内外,这种愚蠢和可悲的事情却经常发生,但教师应力求防止在他的班里发生这样的事。学生应当弄清问题,然而他不仅应当弄清它,而且还渴望解它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣,这并不是他的过错,问题应当精选所选的题目不太难但也不要太容易,应顺乎自然而且趣味盎然,并且有时在叙述方式上也应当自然而有趣。首先,必须了解问题的文字叙述。教师在某种程度上可以检查这一点,他可以要求学生重新叙述这题目,而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还应当能够指出问题的主要部分,即未知数,已知数据,条件。所以老师提问时,不要错过这样的问题:未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问题和某一图形有关,那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果对这些对象需要给以名称,他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号,他就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中,假定我们并不期望有一个明确的回答,而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测,那么另外还有一个问题可能是有用的,即:满足条件是否可能呢?在本书第二部分中,把“弄清问题”分成两个阶段:“熟悉问题”和“深人理解问题”)。

8.例子

让我们说明上节中的某几点内容。我们选下列简单问题:已知长方体的长、宽、高,求其对角线长度。为了对此问题作有益的讨论,学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依赖学生对空间关系的朴素知识。教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体,其尺寸可以测量,也可以估计,要求学生不作测量,间接地求出教室的对角线长度。教师指出教室的长、宽、高,用手势说明什么是对角线,通过不断地和教室相联系而使他画在黑板上的图变得更加形象。

以下是老师与学生间的对话

“未知数是什么?”

“长方体对角线的长度。”

“已知数是什么?”

“长方体的长、宽、高。”

“引入适当的符号,用哪个字母表示未知数?”

“长、宽、高应选哪些字母?”

“联系a,b,c与x的条件是什么?”

“x是长方体的对角线,长方体的长、宽、高为a,b,c”

“这是个合理的问题吗?我意思是说,条件是否充分,足以确定未知数吗?”

“是的,是充分的。如果我们知道a,b,c,我们就知道平行六面体。如果平行六面体被确定,则对角线也被确定了。”

9.拟定计划

当我们知道,或至少大体上知道,为了求解未知数,必须完成哪些计算、要作哪些图的时候,我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划,其过程可能是漫长而曲折的。事实上,求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者,在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后,突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助,促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题与建议正是要诱发这样一种好念头。

为了弄清学生的心理活动,老师应当回想他自己的红题时碰到的困难与取得成功的经验。我们当然知道,如果我们对该论题知识贫乏,是不容易产生好念头的。如果我们完全没有知识,则根本不可能产生好念头,一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关事实,则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子,但是不收集必需的材料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某些有关内容,如以前解决的问题,以前证明过的定理。因此,以下列问题开始工作常常是合适的:你知道一个与此有关的问题吗?

困难就在于:通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关,即,与它有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把力量放在主要的共同之处上:看着未知数试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题来如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题,那是很幸运的。我们应当争取这样的运气:通过探索我们是可以得到它的。这里有个问题与你的问题有关,且早已解决,你能利用它吗?上述问题,如能很好地理解和认真地加以考虑,常常有助于激发起一连串正确的想法:但它们并不总是有用的,它们并非魔法。如果这些问题不行,我们必须寻找某些其他的适当接触点,并且探索问题的各个方面:我们不得不变化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变问题的专门方法,例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等:具体细节是重要的,但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当的辅助问题:如果你不能解决所提出的问题,则应首先尝试去解决某些与此有关的问题尝试去应用各种已知的问题或定理,考虑各种修改,对各种辅助问题进行试验,我们可能离开原来的问题太远,甚至最后有失掉它的危险。但是还有个很好的问题可以把我们带回原处:你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件？

1. 例子

我们回到第8节中的例子

“你是否知道一个与此有关的问题?”

“看着未知数,你是否知道一个具有相同未知数的问题?”

“好,未知数是什么?”

“平行六面体的对角线。”

“你是否知道任何具有相同未知数的问题?”

“不,我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题”

“你是否知道任何具有相似未知数的问题?”

“你看,对角线是个线段,就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知数是直线长度的问题?”

“当然,我们曾经解决过这样的问题,例如找出直角三角形的一个边”

“好啊!这里有一个知你的问题有关的问题,且早已解决,你能利用它吗”

“你真走运,你想起了一个与你当前问题有关的问题,而且这个问题你以前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它,你能否引进某个辅助元素?”

“看这里,你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗?”

我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图1中用阴影画出的直角三角形。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备:即使这样明白的提示也不能使学生开窍,那么他应当动用所有越来越明显的提示。

“你是否想在图1中有个三角形?”

“在图中,你想有哪种三角形?”

“你现在还不能求出这对角线:但你说过你能求出三角形的一个边。那么现在你该怎么办呢?”

“如果对角线是三角形的一个边,你能找出它吗?”

经过或多或少的帮助后,学生终于成功地引进了决定性的辅助元素,即图中阴影三角形,在鼓励学生进入实际计算之前,教师应确信其学生对问题的理解已有足够的深度。

“我想,画出那个三角形是个好主意,你现在有了个三角形,但是你是否有未知数?”

“未知数是三角形的斜边,我们可用毕达哥拉斯定理去计算它。”

“如果两边为已知,你会计算。但它们是已知的吗?”

“一个边已给定,是c。另一个边,我想也不难求出。是的,另一边是另个直角三角形的斜边。”

“很好!现在我看出你有个计划了。”

1. 实现计划

想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件,如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中,还要有好运气。但实现计划则容易得多,我们所需要的主要是耐心。

计划仅给出一个一般性的大纲,我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节,直到每一点都完全清楚了,没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止如果学生真的拟定出一个计划,则教师就比较清闲了。现在的主要危险是学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采纳某个计划的学生,很容易发生这种现象:但若是学生自己搞出来的计划即便经过某种帮助并且学生满意地看出了最终的思路,则他就不那么容易忘记。教师必须坚持让学生检查每一步骤。根据“直观”或“形式”上的论证,我们可以使自己相信每一步骤的正确性。我们可以集中力量在有问题的疑点上,直到完全搞清楚,毫不怀疑每一步骤都是正确的为止:或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点(在许多重要的场合,直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的;更进步的讨论让我们留给哲学家们

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本科生毕业设计（论文）外文文献翻译

题 目	初中生数学动态几何问题的学习障碍及对策研究——以近五年杭州中考为例

How to Solve It

——A New Aspect of Mathematical Method

原文作者 G.Polya 单位 科学出版社

1. Four phases.

Trying to find the solution, we may repeatedly change our point of view, our way of looking at the problem. We have to shift our position again and again. Our conception of the problem is likely to be rather incomplete when we start the work; our out-look is different when we have made some progress;itis again different when we have almost obtained the solution. In order to group conveniently the questions and suggestions of our list, we shall distinguish four phases of the work. First, we have to understand the problem; weave to see clearly what is required. Second, we have to see how the various items are connected, how the unknown is linked to the data, in order to obtain the idea of the solution, to make a plan. Third, we carry out our plan. Fourth,look back at the completed solution we review and discuss it.

Each of these phases has its importance. It may hap.that a student hits upon an exceptionally bright idea and jumping all preparations blurts out with the solution. Such lucky ideas, of course, are most desirable,but something very undesirable and unfortunate may result if the student leaves out any of the four phases without having a good idea. The worst may happen if the student embarks upon computations or constructions without having understood the problem. It is generally useless to carry out details without having seen the main connection, or having made a sort of plan .Many mistakes can be avoided if, carrying out his plan,the student checks each step. Some of the best effects maybe lost if the student fails to reexamine and to reconsider the completed solution.

1. Understanding the problem.

It is foolish to answer question that you do not understand. It is sad to work for an end that you do not desire. Such foolish and sad things often happen, in and out of school, but the teacher should try to prevent them from happening in his class.The student should understand the problem. But he should not only understand it, he should also desire it solution. If the student is lacking in understanding or in interest, it is not always his fault; the problem should be well chosen, not too difficult and not too easy, natural and interesting, and some time should be allowed for natural and interesting presentation.

First of all, the verbal statement of the problem must be understood. The teacher can check this, up to a certain extent; he asks the student to repeat the statement,and the student should be able to state the problem. Fluently. The student should also be able to point out the principal parts of the problem, the unknown, the data, the condition. Hence, the teacher can seldom afford to miss the questions: What is the unknown? What are the data? What is the condition?

The student should consider the principal parts of the attentively, repeatedly, and from various sides is a figure connected with the problem he should draw a figure and point out on it the unknown and the data. If it is necessary to give names to these objects he should introduce suitable notation; devoting some attention to the appropriate choice of signs, he is obliged to consider the objects for which the signs have to be chosen. There is another question which may be useful in this preparatory stage provided that we do not expect a definitive answer but just a provisional answer, a guess. Is it possible to satisfy the condition?

(In the exposition of Part II [p. 3]'Understanding the problem'is subdivided into two stages: ' Getting acquainted'' Working for better understanding

1. Example.

Let us illustrate some of the points explained in the foregoing section. We take the following simple problem: Find the diagonal of a rectangular parailelepiped of which the length, the width, and the height are known.In order to discuss this problem profitably the students familiar with the theorem of Pythagoras, and with some of its applications in plane geometry, but may have very little systematic knowledge in solid geometry. The teacher may rely here upon the students unsophisticated familiarity with spatial relations.The teacher can make the problem interesting bymaking it concrete. The classroom is a rectangular parallelepiped whose dimensions could be measured, and canbe estimated; the students have to find, to'measure directly, 'the diagonal of the classroom. The teacher points out the length, the width, and the height of the classroom, indicates the diagonal with a gesture, an enlivens his figure, drawn on the blackboard, by referring repeatedly to the classroom.The dialogue between the teacher and the students may start as follows:

“What is the unknown?'

'The length of the diagonal of a parallelepiped.'

what are the data?'

The length, the width, and the height of the parallele-piped Introduce suitable notatio

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