本科毕业设计（论文）

外文翻译

高等数学启发式教学中数量与形状结合的探讨

作者：Wenhao Xie，Xiaoqun Sun，Jinjin Liang，Xiaoyan Wang

国籍：中国

出处：

http://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=f5a7db833be98bf319f4106feb54fefaamp;site=xueshu_se

中文译文：

摘要：数与形是数学研究中的重要研究对象。数与形的结合方法使数与形产生联系。启发式教学是根据教学内容的特点、学生的知识水平和思维水平，引导学生一步一步积极思考，积极学习的一种教学思想。探讨了数形结合在高等数学启发式教学中的现实意义。通过具体的案例分析，我们认识到运用这种教学方法可以使学生更加深入地了解高等数学知识内部的联系，提高学生参与课堂教学活动的积极性。

关键词——数与形的结合;启发式教学;高等数学.

Ⅰ.介绍

启发式教学是一种指导思想，而不是一种具体的监督方法。关于“高等数学”启发式教学的探讨，既没有固定的教学模式，也没有固定的教学方法。具体来说，体现启发式教学基本特征的教学方法，可以称为教学的启发式方法[1]。

启发式教学需要教师通过一定的教学方法，引导学生通过自己的努力获得知识。其目的是以学生为教学活动的主体，激发学生的积极思维，培养学生的学习主动性和积极性。启发式教学能够激发学生学习知识的内在动机，激发学生学习和发现科学的欲望。

数形结合是一种数学思维方法;它结合了抽象的数学语言、数量关系、直观的几何图形和位置关系。将抽象思维与形象思维相结合，可以使复杂问题简单化，使抽象问题具体化。从而达到优化求解问题的目的。数与形的结合包括“形与数的解释”和“形与数的帮助”两个方面。

Ⅱ.数形结合在高等数学启发式教学中的意义

数形结合教学思想在高等数学教学中的作用[2]：

帮助学生深入理解数学的概念，使学生完美和谐地理解数学概念。这种理解和知识细化的过程是引导学生主动探索的过程，而不是盲目的“灌输”。

数量和形状的相结合在启发式教学中的应用，有利于学生加深数学思维和用多视角多方法解决数学问题，这种数学思维训练可以培养和提高学生的学习能力和运用知识的能力。

数字与形状相结合在启发式教学中的应用有助于学生培养直觉思维能力，深化思维能力，感受数学的魅力。

Ⅲ.数形结合在高等数学启发式教学中的应用

A:在课堂教学中，如果能恰当地引入数形结合的教学方法，学生就能轻松地进入教学情境，从而激发学生自觉、积极地思考，自然地接受新知识。

例1:在“定积分定义”部分，在提出计算“曲梯形”面积的问题之前，我们可以这样安排教学环节:先画三个图形:1.矩形(图1);2.我们改变矩形的一边一个微小的连续曲线弧度(图2); 3.我们将图2中微小的连续曲线弧度改为连续的，并在较大的范围内变化(图3)，然后让学生计算他们的面积。图1的面积是最容易计算的，因为矩形的面积等于长度乘以高度。对于图2，由于圆弧的高度变化很小;我们用下摆上一个点的高近似地代替其它点，也就是说，用直线代替曲线，用矩形的面积代替梯形的面积。当然，曲线梯形的“曲线高”变化较小;近似替换的精度较高。在计算图3的面积时，由于“曲线”的变化较大，所以如果直接用图2的方法近似代替，误差会更大。如何启发学生在出现小误差的情况下，用直线代替曲线?学生将考虑使用图2中的方法。那么我们将进一步启发学生如何参照图2的情况呢?可能一些学生将提出底部边距可以分为很多小区域,由于曲线是连续的,所以在一个很小的范围内,曲线的变化很小,我们可以用图2的方法计算每个小的近似区域划分的弯曲的梯形,然后我们可以计算近似大弯曲的梯形的面积总和。因此，我们可以很自然地引入这种“分割、近似计算、求和、取极限”的方法，最终得到曲线梯形的面积，从而得到定积分的定义。

图1矩形

图2具有微小变化的梯形曲线

图3具有大变化的梯形曲线

B：在教学的过程中,为了使学生加深理解一些重要的定义和定理,如果老师可以设计教学方法结合图形引导学生进入教学步骤,他们可以帮助学生更好地理解定义和定理。它将获得意想不到的教学效果。

例2:在“微分中值定理”一节中，在证明了“罗尔定理”之后，我们应该特别强调“罗尔定理”的三个条件:1、闭区间上连续;2 、在开区间上可导;3、f (a) =f (b) 。为了让学生加深对该定理条件的理解，我们应该绘制如下三个函数图形(图4 -图6)，它们分别不能满足“罗尔定理”第一、第二和第三个条件的要求。在这三种情况下，我们可以很容易地看出“罗尔定理”的结论并不是建立在图形上的。没有繁琐的证明，我们可以使学生容易地记住与三个特殊函数图形相结合的定理条件。

图4不满足“罗尔定理”的第一个条件

图5不满足“罗尔定理”的第二个条件

图6不满足“罗尔定理”的第三个条件

C:在从旧知识到新知识的过渡过程中，如果教师能巧妙地运用图形，不仅能激发学生探索新知识，还能让学生对所学知识留下深刻的印象。

“微分中值定理”这一节中,从“罗尔定理”到“拉格朗日均值定理”,我们解释“罗尔定理的几何意义的学生:如果一个函数在闭区间上连续和可诱导的开区间区间端点上的平等价值观,即区间端点之间的界线是水平的,所以“罗尔定理”的结论告诉我们:至少我们可以找到一个点之间的间隔,所得曲线的切线的和弦AB(图7)。然后,我们可以让学生们去思考这样一个问题:如果我们自由选择两个端点的和弦等曲线a和B,也就是说,和弦并不总是水平。我们是否可以相应地推广“罗尔定理”的结论?也就是说，对于任何弦，我们能在开区间找到一点吗曲线的切线与弦AB平行?然后我们将绘制图形，不仅可以引导学生积极思考，还可以从图形中发现我们提出的问题是正确的(图8)，这就是“拉格朗日定理”的结论。因此，“拉格朗日定理”是由“罗尔定理”推导而来的。事实上，我们推广了“罗尔定理”的条件，换句话说，“罗尔定理”是“拉格朗日定理”的特例。这样的介绍，不仅可以实现新知识与旧知识的自然过渡，而且可以让学生加深对这两个定理之间关系的理解。

图7“罗尔定理”

图8“拉格朗日定理”

Ⅳ总结

通过前面的案例分析,如果教师能正确和合理地在启发式教学高等数学应用数形结合思想，这将在很大程度上提高学生学习高等数学的热情，培养他们主动学习的能力,掌握知识点之间的联系。这是提高学生能力的有效途径。这对推进教学改革，提高教学质量将起到积极而重要的作用。

附：The discussion on the combination of Number and Shape in the heuristic teaching of higher mathematics

作者：Wenhao Xie，Xiaoqun Sun，Jinjin Liang，Xiaoyan Wang

国籍：China

出处：http://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=f5a7db833be98bf319f4106feb54fefaamp;site=xueshu_se

原文正文：

Abstract—Number and shape are the important research objects in the mathematical research. The method of combination of Number and Shape make the number and shape to produce the connection. Heuristic teaching is a kind of teaching thought that can guide students think positively step by step and learn actively according to the characteristics of the teaching content and students knowledge and thinking level. This paper discusses the practical significance about the combination of Number and Shape in the heuristic teaching of higher mathematics. Through specific case analysis, we recognize that the use of this teaching method can make students more deeply understand the connection inside the higher mathematics knowledge, and improve the enthusiasm of students to participate in classroom teaching activities.

Keywords—The combination of Number and Shape; Heuristic teaching; Higher mathematics.

I. INTRODUCTION

Heuristic teaching refers to a kind of guiding thought rather than a kind of specific supervising method. The discussion about heuristic teaching of《Higher mathematics》, neither has the fixed teaching modes, also has no fixed teaching method. Specifically, the teaching method which reflects fundamental characteristics of the heuristic teaching, can be referred to as the method of heuristic of teaching[1].

Heuristic teaching needs that the teacher guides the students to obtain knowledge through their own efforts by certain appropriate teaching methods. The aim is regarding the students as the main body of teaching activity, inspires their active thinking, and cultivates their learning initiative and enthusiasm. The heuristic teaching can inspire the students intrinsic motivation of the knowledge acquisition and stimulate the students desire of learning and discovery science

The combination of number and shape is a kind of mathematical thinking method; it combines the abstract mathematical language, quantity relationship with intuitional geometric figure and location relationship. It can make complex problem simply and abstract problems specifically by the combination of abstract thinking and imaginal thinking. Thus, it can achieve the aim of optimization solving problem ways. The combination of number and shape includes two aspects of “explaination shape with number” and “helping number with shape”.

Ⅱ. THE SIGNIFICANCE OF THE COMBINATION OF NUMBER AND SHAPE IN THE HEURISTIC TEACHING OF HIGHER MATHE

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本科毕业设计（论文）

外文翻译

高等数学启发式教学中数量与形状结合的探讨

作者：Wenhao Xie，Xiaoqun Sun，Jinjin Liang，Xiaoyan Wang

国籍：中国

出处：

http://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=f5a7db833be98bf319f4106feb54fefaamp;site=xueshu_se

中文译文：

摘要：数与形是数学研究中的重要研究对象。数与形的结合方法使数与形产生联系。启发式教学是根据教学内容的特点、学生的知识水平和思维水平，引导学生一步一步积极思考，积极学习的一种教学思想。探讨了数形结合在高等数学启发式教学中的现实意义。通过具体的案例分析，我们认识到运用这种教学方法可以使学生更加深入地了解高等数学知识内部的联系，提高学生参与课堂教学活动的积极性。

关键词——数与形的结合;启发式教学;高等数学.

Ⅰ.介绍

启发式教学是一种指导思想，而不是一种具体的监督方法。关于“高等数学”启发式教学的探讨，既没有固定的教学模式，也没有固定的教学方法。具体来说，体现启发式教学基本特征的教学方法，可以称为教学的启发式方法[1]。

启发式教学需要教师通过一定的教学方法，引导学生通过自己的努力获得知识。其目的是以学生为教学活动的主体，激发学生的积极思维，培养学生的学习主动性和积极性。启发式教学能够激发学生学习知识的内在动机，激发学生学习和发现科学的欲望。

数形结合是一种数学思维方法;它结合了抽象的数学语言、数量关系、直观的几何图形和位置关系。将抽象思维与形象思维相结合，可以使复杂问题简单化，使抽象问题具体化。从而达到优化求解问题的目的。数与形的结合包括“形与数的解释”和“形与数的帮助”两个方面。

Ⅱ.数形结合在高等数学启发式教学中的意义

数形结合教学思想在高等数学教学中的作用[2]：

帮助学生深入理解数学的概念，使学生完美和谐地理解数学概念。这种理解和知识细化的过程是引导学生主动探索的过程，而不是盲目的“灌输”。

数量和形状的相结合在启发式教学中的应用，有利于学生加深数学思维和用多视角多方法解决数学问题，这种数学思维训练可以培养和提高学生的学习能力和运用知识的能力。

数字与形状相结合在启发式教学中的应用有助于学生培养直觉思维能力，深化思维能力，感受数学的魅力。

Ⅲ.数形结合在高等数学启发式教学中的应用

A:在课堂教学中，如果能恰当地引入数形结合的教学方法，学生就能轻松地进入教学情境，从而激发学生自觉、积极地思考，自然地接受新知识。

例1:在“定积分定义”部分，在提出计算“曲梯形”面积的问题之前，我们可以这样安排教学环节:先画三个图形:1.矩形(图1);2.我们改变矩形的一边一个微小的连续曲线弧度(图2); 3.我们将图2中微小的连续曲线弧度改为连续的，并在较大的范围内变化(图3)，然后让学生计算他们的面积。图1的面积是最容易计算的，因为矩形的面积等于长度乘以高度。对于图2，由于圆弧的高度变化很小;我们用下摆上一个点的高近似地代替其它点，也就是说，用直线代替曲线，用矩形的面积代替梯形的面积。当然，曲线梯形的“曲线高”变化较小;近似替换的精度较高。在计算图3的面积时，由于“曲线”的变化较大，所以如果直接用图2的方法近似代替，误差会更大。如何启发学生在出现小误差的情况下，用直线代替曲线?学生将考虑使用图2中的方法。那么我们将进一步启发学生如何参照图2的情况呢?可能一些学生将提出底部边距可以分为很多小区域,由于曲线是连续的,所以在一个很小的范围内,曲线的变化很小,我们可以用图2的方法计算每个小的近似区域划分的弯曲的梯形,然后我们可以计算近似大弯曲的梯形的面积总和。因此，我们可以很自然地引入这种“分割、近似计算、求和、取极限”的方法，最终得到曲线梯形的面积，从而得到定积分的定义。

图1矩形

图2具有微小变化的梯形曲线

图3具有大变化的梯形曲线

B：在教学的过程中,为了使学生加深理解一些重要的定义和定理,如果老师可以设计教学方法结合图形引导学生进入教学步骤,他们可以帮助学生更好地理解定义和定理。它将获得意想不到的教学效果。

例2:在“微分中值定理”一节中，在证明了“罗尔定理”之后，我们应该特别强调“罗尔定理”的三个条件:1、闭区间上连续;2 、在开区间上可导;3、f (a) =f (b) 。为了让学生加深对该定理条件的理解，我们应该绘制如下三个函数图形(图4 -图6)，它们分别不能满足“罗尔定理”第一、第二和第三个条件的要求。在这三种情况下，我们可以很容易地看出“罗尔定理”的结论并不是建立在图形上的。没有繁琐的证明，我们可以使学生容易地记住与三个特殊函数图形相结合的定理条件。

图4不满足“罗尔定理”的第一个条件

图5不满足“罗尔定理”的第二个条件

图6不满足“罗尔定理”的第三个条件

C:在从旧知识到新知识的过渡过程中，如果教师能巧妙地运用图形，不仅能激发学生探索新知识，还能让学生对所学知识留下深刻的印象。

“微分中值定理”这一节中,从“罗尔定理”到“拉格朗日均值定理”,我们解释“罗尔定理的几何意义的学生:如果一个函数在闭区间上连续和可诱导的开区间区间端点上的平等价值观,即区间端点之间的界线是水平的,所以“罗尔定理”的结论告诉我们:至少我们可以找到一个点之间的间隔,所得曲线的切线的和弦AB(图7)。然后,我们可以让学生们去思考这样一个问题:如果我们自由选择两个端点的和弦等曲线a和B,也就是说,和弦并不总是水平。我们是否可以相应地推广“罗尔定理”的结论?也就是说，对于任何弦，我们能在开区间找到一点吗曲线的切线与弦AB平行?然后我们将绘制图形，不仅可以引导学生积极思考，还可以从图形中发现我们提出的问题是正确的(图8)，这就是“拉格朗日定理”的结论。因此，“拉格朗日定理”是由“罗尔定理”推导而来的。事实上，我们推广了“罗尔定理”的条件，换句话说，“罗尔定理”是“拉格朗日定理”的特例。这样的介绍，不仅可以实现新知识与旧知识的自然过渡，而且可以让学生加深对这两个定理之间关系的理解。

图7“罗尔定理”

图8“拉格朗日定理”

Ⅳ总结

通过前面的案例分析,如果教师能正确和合理地在启发式教学高等数学应用数形结合思想，这将在很大程度上提高学生学习高等数学的热情，培养他们主动学习的能力,掌握知识点之间的联系。这是提高学生能力的有效途径。这对推进教学改革，提高教学质量将起到积极而重要的作用。

附：The discussion on the combination of Number and Shape in the heuristic teaching of higher mathematics

作者：Wenhao Xie，Xiaoqun Sun，Jinjin Liang，Xiaoyan Wang

国籍：China

出处：http://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=f5a7db833be98bf319f4106feb54fefaamp;site=xueshu_se

原文正文：

Abstract—Number and shape are the important research objects in the mathematical research. The method of combination of Number and Shape make the number and shape to produce the connection. Heuristic teaching is a kind of teaching thought that can guide students think positively step by step and learn actively according to the characteristics of the teaching content and students knowledge and thinking level. This paper discusses the practical significance about the combination of Number and Shape in the heuristic teaching of higher mathematics. Through specific case analysis, we recognize that the use of this teaching method can make students more deeply understand the connection inside the higher mathematics knowledge, and improve the enthusiasm of students to participate in classroom teaching activities.

Keywords—The combination of Number and Shape; Heuristic teaching; Higher mathematics.

I. INTRODUCTION

Heuristic teaching refers to a kind of guiding thought rather than a kind of specific supervising method. The discussion about heuristic teaching of《Higher mathematics》, neither has the fixed teaching modes, also has no fixed teaching method. Specifically, the teaching method which reflects fundamental characteristics of the heuristic teaching, can be referred to as the method of heuristic of teaching[1].

Heuristic teaching needs that the teacher guides the students to obtain knowledge through their own efforts by certain appropriate teaching methods. The aim is regarding the students as the main body of teaching activity, inspires their active thinking, and cultivates their learning initiative and enthusiasm. The heuristic teaching can inspire the students intrinsic motivation of the knowledge acquisition and stimulate the students desire of learning and discovery science

The combination of number and shape is a kind of mathematical thinking method; it combines the abstract mathematical language, quantity relationship with intuitional geometric figure and location relationship. It can make complex problem simply and abstract problems specifically by the combination of abstract thinking and imaginal thinking. Thus, it can achieve the aim of optimization solving problem ways. The combination of number and shape includes two aspects of “explaination shape with number” and “helping number with shape”.

Ⅱ. THE SIGNIFICANCE OF THE COMBINATION OF NUMBER AND SHAPE IN THE HEURISTIC TEACHING OF HIGHER MATHE

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