本科毕业设计（论文）

外文翻译

学生对二次函数顶点概念的理解与其个人对顶点概念的理解的关系

作者：安妮·伯恩斯·柴尔德斯，德拉加·维达科维奇

国籍：美国

出处：国际数学教学杂志

中文译文：

摘要

本文探讨了六十六名学生在代数问题和现实问题这两种不同情境下对二次函数顶点概念的个人理解及其意义。从学生个人对顶点的概念理解可以归纳为，包括顶点为最大值或最小值(最高点或最低点)、顶点与对称性的关系、顶点为起点或转折点、顶点为截距、顶点为交点以及其他类别。这些类别是在探索学生如何能够解决显式计算和现实世界的实际应用问题中归纳出来的。根据行动-过程-对象-模式( APOS)理论框架对学生的回答进行分析(Asialaetal.1996)。结果表明，探讨二次函数顶点的个人理解，有助于学生克服概念障碍，并且强调了二次函数顶点在现实问题中的应用。

关键词：二次函数，顶点，APOS，现实世界

学生对二次函数顶点概念的理解与其个人对顶点概念理解的关系

函数概念是数学中最基本的概念之一。虽然大多数人在很小的时候就被引入了这个概念，但正式的定义通常要等到学生上初中或高中才会被引入。一旦正式的定义被引入，许多学生在学习和理解函数的确切含义时就会遇到困难(Abdullah, 2010; Clement, 2001; Dubinsky amp; Wilson, 2013; Sajka, 2003)。 学生们遇到困难，这也并不令人惊讶，因为当前关于函数的概念经过了多年的演变，函数的定义也在演变和变化(Jones, 2006; Kleiner, 1989; Ponte, 1992)。

具体来说，有些学生在理解函数概念时遇到的困难是掌握二次函数思想的困难 (Afamasaga-Fuatarsquo;i, 1992; Eraslan, 2005; Eraslan, 2008; Kotsopoulous, 2007; Metcalf, 2007; Sevim, 2011; Zaslavsky, 1997)。 对二次函数的误解源于其图形表示与代数表示之间的转换，不同二次函数的代数表达式之间的联系和对变量的误解。Mesa(2007)和McCulloch(2011)建议使用图形计算器来帮助学生克服一些障碍;然而在课堂上有关函数和二次函数的理解仍然存在问题。二次函数的困难还涉及到对于二次函数顶点的误解(Borgen amp; Manu, 2002; Ellis amp; Grinstead, 2008)。 研究学生对二次函数的理解是很重要的，因为二次函数是最基本的次数大于1的多项式，在大多数代数课程中都有研究，其概念和性质是学生理解函数的基础(Eraslan, 2005; Even,1990; Metcalf, 2007; Zaslavsky, 1997)。 如果学生理解二次函数的概念及其性质和应用，他们就更容易建立和发展起有关更复杂和不同类型的函数的良好理解 (Even, 1990; Metcalf, 2007)。

本文的目的是填补文献上的空白，深入了解学生个人对顶点概念的理解与他们在代数问题和现实世界这两个不同情境中寻找顶点的能力的关系。

研究背景

因为文献证实了学生对函数，尤其是二次函数感到困难（Afamasaga-Fuatarsquo;i, 1992; Eraslan, 2005; Eraslan, 2008; Kotsopoulos, 2007; Metcalf, 2007; Zaslavsky, 1997），所以当作为一名数学教师的我们遇到学生对这些概念理解有困难时并不会感到惊讶。我们教过有着不同数学背景的学生，从对数学概念知之甚少到对数学概念有更深刻的思维认知。学生的能力各有差异，但是存在着一个普遍问题就是当没有明确指示他们需要使用的具体方法时，学生很难概括一个数学概念以便将它应用到现实世界的问题中(Dubinsky amp; Wilson, 2013; Rebello, Cui, Bennet, Zollman, amp; Ozimek, 2007)。也就是说学生必须知道如何利用自己对概念的理解，来确定在何时何地，以何种方式来解决不同情境下的问题。特别地，我们注意到学生在概括顶点的概念时遇到了困难，不知道什么时候使用它。例如，直接明确给出“求顶点”的问题时学生能够正确计算;但被要求计算“公司收入的最大值”时，学生往往没有将其与顶点概念联系起来，没有意识到这是一个求顶点的类似问题。对于这些学生来说，探索知识与应用脱节的原因是非常重要的，这样可以更好地理解学生在学习过程中的想法。

本研究的目的就是为了填补知识与应用脱节原因的这一空缺,特别是确定学生个人对顶点概念的理解与他们在代数问题和现实世界中寻找顶点的能力的关系,学生如何感知和理解二次函数顶点的概念。

研究问题

1.学生如何感知和理解二次函数顶点的概念?

2.学生个人对二次函数顶点的理解如何塑造他们在代数问题和现实世界这两种不同情况下对顶点概念的应用能力?

二次函数研究

关于学生对于二次函数感到的困难，文献中列举了一些：学生对变量的理解，二次函数平移后的解析式以及学生对二次函数不同形式解析式之间的关系，学生对这几个方面都有一定程度的困难。(Borgen amp; Manu, 2002; Ellis amp; Grinstead, 2008; Eraslan, 2008; Eraslan, Aspinwall, Knott, amp; Evitts, 2007; Kotsopoulous, 2007; Vaiyavutjamai amp; Clements, 2006; Zaslavsky, 1997)。

Orit Zaslavsky(1997)是关于二次函数最全面的研究之一，该研究基于对学生回答的分析，确定了学生理解二次函数的五个主要障碍:图形解释,二次函数与二次方程的关系，二次函数和线性函数之间的类比，二次函数解析式的变化，过分强调一个特殊点的坐标。她通过对来自以色列知名地区的8所高中的10年级和11年级共25个数学班级进行课堂观察，并对800多名学生的问题进行的书面回答来收集数据。其中所提出的问题大多是多项选择题，任务大多数是处理二次函数的图形表示和解析式表示之间的转换。除了确定的五个障碍外，很明显能得出以下结论：学生们更喜欢将代数方程转换成图形，而不是将图形转换为代数方程，并且学生们更喜欢使用二次函数的标准形式，而不是其他形式，比如顶点形式。虽然对二次函数的研究较多，但对学生关于二次函数顶点的理解还缺乏深入的研究。Ellis和Grinstead(2008)的研究中有一小部分内容涉及寻找二次函数顶点。通过对34名学生参加的代数II/三角学课程的视频观察以及两组半结构化的访谈，他们找到了在二次函数的标准解析式情境下寻找了系数、和之间的联系，以及这些系数对二次函数的图像的影响。但却有一个出乎意料的发现：其中许多回答都是不正确的。学生们相信系数代表二次函数的斜率。也有学生认为系数c会影响顶点的横坐标，这是一个错误的理解，还有学生认为顶点的坐标没有受到系数a的影响，这也是一个错误的理解。

Borgen and Manu在2002年所写的学生真正理解什么？这篇文章中对二次函数的顶点也有所提及。他们的观点是，即使是那些在课堂上表现很好，看上去对二次函数掌握的不错的学生，实际上对二次函数也不一定有很好的理解。通过观察两个学生合作探究的录像：寻找一个二次函数的驻点,以确定该驻点是最大还是最小的。可以发现即使最终答案是正确的,学生对这些概念的理解还是十分薄弱的。其中有一名学生利用计算器，但由于对二次函数的标准式和顶点式有混淆，导致二次函数图像不正确。

虽然还有一些关于二次函数的研究,但对于学生关于二次函数顶点概念的理解都缺乏深入研究。更具体地说，就是似乎没有任何研究来探索学生个人对二次函数顶点的理解，以及他们在具体的现实世界问题中应用这个概念的能力。

方法

Bogdan 和Biklen所写的定性研究中的数据是在2012年秋季在美国东南部一所大型公立研究型大学收集的。参与研究的学生是来自数学建模入门课程的两个不同小组。数学建模入门课程的两个小组每周开两次会，每个小组有45名学生。而参加定性研究是自愿的，共有66名参与者，其中所有参与者都未使用真实姓名。

《数学建模导论》是一门为本科毕业设计的课程，而不是其他课程的前提。因此，所有的学生都要学习该课程，大多数学生也将这门课程作为他们数学要求的最后一门课程。对于非数学专业，也没有上过大学数学课程的学生来说，这是他们在整个本科生涯中唯一要学习的数学课程。

《数学建模导论》主要包括线性函数、线性方程和模型、二次函数、二次方程、函数的变换和组合、指数函数和对数函数。本课程使用的教材是Harshbarger和Yocco在《管理、生活和社会科学应用》的背景下在2010年编写的大学代数。其中第三章的主要内容是二次函数和其它非线性函数，包含了关于二次函数顶点的内容。而该章节就是为前面提及的数据收集奠定了一定的基础。

数据收集

数据是从两个不同小组学生在《数学建模导论》的上课期间中的书面作业收集来的。学生的书面作业由考试2中的两个问题和考试3中的一个问题组成(图1)。

考试1题目

1请根据函数解析式及其图像，回答下列问题

a该二次函数形成的抛物线图象是 （上凸，下凸）。

b顶点坐标是（ ，），取到 （最大值，最小值）。

2产品的利润可以用函数（美元）表示，其中x是生产和销售的单位数量。

a为达到利润最大化， 单位要生产和销售。

b最大利润是 ，请四舍五入。

考试2题目

3找到一个顶点的意义是什么?也就是说什么是顶点?它出现在哪里?

图 1 用于数据收集

考试2的第1题是求二次函数顶点的显式代数方法。考试2中的第2题和第1题是使用同一个思想方法来求解一个实际应用的问题。学生要找出能使利润最大化的单位数量和公司的最大可能利润。考试2中的问题1和问题2中是按照一定顺序呈现的，第一个问题是明确的。考试2中的这两道题是在第三章关于二次函数的讲解之后，在秋季中旬给出的。这些问题的目的是洞察学生在回答与求二次函数顶点有关的不同类型的问题时的可能思想。

考试2的第3题是对之前收集的书面数据（即试卷2）的补充。考试3在考试2后大约三个星期举行。考试3的问题是基于顶点的理解，旨在洞察学生对二次函数的顶点的个人理解。

理论框架和数据分析

从学生在考试2和考试3的书面答案中收集的数据是数据分析的基础。所有的书面答案都是根据学生对给定问题的回答方式进行誊抄、分析和编码的。根据学生处理不同类型问题的能力，采用了基于行动-过程-对象-图式( APOS)框架(Asiala et al.， 1996)的理解水平。

APOS理论是皮亚杰反思性抽象思想的延伸，是建立在学生理解数学知识的行动-过程-对象-图式框架之上的。理解数学概念的第一步是行动，它是一个或多个数学对象的外部驱动转换。行动是可以从大脑中回忆一个事实，或者需要一个逐步的算法。例如，一个学生在处理二次函数时，他在理解的行动层面上的表现为需要并依赖于公式来计算顶点。

一旦这些行动被内化和反思，那么它就变成了一个过程，与行动不同，它是由内部驱动的。个人现在能够反映和描述转换中的所有步骤，而不需要实际行动这些步骤。一旦构建完成，此过程就可以被逆转、协调或衔接。继续上面的例子，这个过程可以是一个人不需要遵循显式公式而能找到任何二次函数的顶点。

然而，一旦个体对应用于特定过程的行动进行了反思，意识到过程是一个整体，意识到转换可以对其进行行动，并能够实际构造这些转换，过程就被封装到一个对象中。将对象反封装回它产生的过程通常是重要和必要的。例如，继续上面的例子，一个个体可以比较和关联二次函数的两个顶点，并且可以在概念之间创建衔接，这是对这个特定概念的一种对象级别的理解。

最后，图式是由行动、过程、对象和其他模式的集合，以及它们之间的联系形成的，这些联系带来了数学问题的情况。图式是作为行动、过程和对象概念之间的新关联而发展和构建的。(Asiala, Cottrill, Dubinsky, amp; Schwingendorf, 1997; Cottrill et al., 1996)

APOS最适合分析学生对二次函数顶点概念的感知和理解，因为该理论能够在不同层次上描述学生对概念的理解。基于行动、过程和理解对象级别的数据,通过根据APOS描述和编码，这为解释学生的表现提供了非常具体的方法。

结果

为了解释学生如何感知和理解顶点的概念和学生如何

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本科毕业设计（论文）

外文翻译

Studentsrsquo; Understanding of the Concept of Vertex of Quadratic Functions in Relation to their Personal Meaning of the Concept of Vertex

作者：Annie Burns Childers ， Draga Vidakovic

国籍：American

出处：International Journal for Mathematics Teaching amp; Learning

原文正文：

Abstract

This paper explores sixty-six studentsrsquo; personal meaning and interpretation of the vertex of a quadratic function in relation to their understanding of quadratic functions in two different representations, algebraic and word problem. Several categories emerged from studentsrsquo; personal meaning of the vertex including vertex as maximum or minimum (highest or lowest point), vertex in relation to symmetry, vertex as a starting point or turning point, vertex as an intercept, vertex as an intersection, and miscellaneous. These categories are explored in relation to how the students were able to solve two problems, one an explicit computation, and the other a real world application problem of the vertex. The studentsrsquo; responses were analyzed according to the action-process-object-schema (APOS) theoretical framework (Asiala et al., 1996). Results indicate that it may be useful to explore studentsrsquo; personal meanings of the vertex to help them overcome conceptual obstacles, as well as to emphasize the use and application of the vertex of a quadratic function in real world problems.

Keywords: quadratic function, vertex, APOS, real world

Studentsrsquo; Understanding of the Concept of Vertex of Quadratic Functions in Relation to their Personal Meaning of the Concept of Vertex

The concept of function is one of the most foundational concepts in mathematics. While most are introduced to the idea at a very young age, a formal definition is usually not introduced until a student reaches middle school or high school. Once a formal definition is introduced, many students have trouble with the study and understanding of what exactly is a function (Abdullah, 2010; Clement, 2001; Dubinsky amp; Wilson, 2013; Sajka, 2003). Studentsrsquo; difficulties are not surprising as the current idea of a function took many years to evolve, and the definition of a function has evolved and changed as well (Jones, 2006; Kleiner, 1989; Ponte, 1992).

In particular, involved in some studentsrsquo; struggles with understanding the concept of function are difficulties with grasping the ideas and concepts with quadratic functions (Afamasaga-Fuatarsquo;i, 1992; Eraslan, 2005; Eraslan, 2008; Kotsopoulous, 2007; Metcalf, 2007; Sevim, 2011; Zaslavsky, 1997). Misconceptions stem from transitioning between graphical and algebraic representations of a quadratic function, the connection between the different

expressions of the algebraic forms of a quadratic function, and variable misconceptions. Mesa (2007) and McCulloch (2011) suggest that using a graphing calculator may help students overcome some of their obstacles; however, problems with understanding of functions and quadratic functions still exist in the classroom. Involved in some of the struggles of the quadratic function are misconceptions of the vertex of the graph of the quadratic function

(Borgen amp; Manu, 2002; Ellis amp; Grinstead, 2008). It is important to study how students understand quadratic functions since a quadratic function is the most basic polynomial of degree greater than one, is studied in the majority of algebra courses, and the concepts and properties are building blocks to studentsrsquo; understanding of the concept of function (Eraslan, 2005; Even,1990; Metcalf, 2007; Zaslavsky, 1997). If a student understands quadratic functions and its properties and applications it may be easier for them to build and develop a good understanding of more complex and different types of functions and concepts (Even, 1990; Metcalf, 2007). The purpose of this paper is to fill this gap in the literature and to gain insight into the connection between studentsrsquo; personal meaning of the vertex of a quadratic function and its relationship to studentsrsquo; understanding of the concept of vertex of quadratic functions in two particular representations, algebraic and word problem.

Background of the Study

As literature confirms studentsrsquo; difficulties with functions, and in particular, quadratic functions (Afamasaga-Fuatarsquo;i, 1992; Eraslan, 2005; Eraslan, 2008; Kotsopoulos, 2007; Metcalf, 2007; Zaslavsky, 1997), it does not come as a surprise that as a mathematics instructor, we have encountered student struggles with these concepts. We have taught classes and worked with students from varying mathematical backgrounds, ranging from little understanding of mathematical concepts to more sophisticated ways of thinking of mathematical concepts. Despite the differences in abilities of students, the one issue that seems to be common to all is that students have trouble and difficulties generalizing a mathematical concept in order to apply it to real world problems when they are not explicitly instructed regarding the specific tools they need to use (Dubinsky amp; Wilson, 2013; Rebello, Cui, Bennet, Zollman, amp; Ozimek, 2007). That is, problems for which a student would have to use his or her own understanding of a concept to know when, where, and how to use that particular concept to reach a solution in different contexts. In particular, we have noted that students have trouble generalizing the concept of vertex to know when to use it. For example, given the problem “find the vertex”, students are able to correctly compute; however, when th

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