本科毕业设计（论文）

外文翻译

在小学，初中和高中开展图论活动

作者：Daniela Ferrarello和Maria Flavia Mammana

国籍：意大利

出处：Teaching and Learning Discrete Mathematics Worldwide:Curriculum and Research

摘要：本文介绍了在西西里岛部分中小学开展的一项实验教学活动。该活动涉及有关图论的几个主题。在这里，我们高度重视教授欧拉图的方法。整个项目的目的是提出一种有趣、简单的数学方法，以促进小学生、初中生、高中生对数学的良好态度。为了达到这一目标，我们还展示了一些数学与现实生活的联系，使数学不像学校里经常教授的那样抽象。通过这次活动，我们也获得了数学知识和实践能力(与图论有关)，尤其是与推理和数学化有关的数学能力，特别是通过在数学模型中使用图来解决问题。教学实验因学段不同而有所不同，但方法上是统一的，以实验室评课活动为基础，提出问题与同学一起解决，通过操纵对象，在老师的指导下进行。这些活动是通过使用人工制品来实现的：在维果茨基安符号调解的意义上，我们使用符号，地图，语言以及在许多情况下使用新技术的人工制品来调解数学概念。根据具体的认知理论，课程还涉及身体作为学习的一种手段，特别是对于儿童。

关键词：图论；数学建模；欧拉轨迹；欧拉循环

1介绍

运用数学知识解决现实生活问题的能力在各种国内和国际测试(INVALSI、PISA、TIMSS)中得到了广泛的测试，自去年以来，在意大利的高中数学期末考试中也得到了广泛的测试。但是，根据所得到的结果，学生在解决这类问题上有困难。

数学更常被看作是难以理解、难以学习的数字和规则的学科:许多学生认为数学毫无用处，看不到它与日常生活的联系。研究现实生活中的问题正成为各级教学的中心:

全国数学教师委员会(NCTM)在与老师、学生和家长交流K-12级数学模型时发挥了领导作用。2015年NCTM中学数学教学重点问题为数学建模，2016年数学教育年度展望也以数学建模为主题(Levy 2015)。

数学建模的思想是，给定一个现实生活中的问题，把它转化成一个数学问题，用数学知识来解决它，最后把解决方案应用于现实问题。

在这种背景下，图论是一个很好的建模问题的工具。即使它是一个相当新的数学分支(诞生于1700年底)，多年来，它在交通、电信、科学实验等领域的应用已经取得了领先地位。

图论在数学教育中呈现出几个优势:它使学生看到数学的应用，开始一些论证，促进推理。

图论很容易理解，使用起来很有趣，在建模真实情况时也很有趣。它可以用来发展“一种合适的数学视野，不是归结为一套需要记忆和应用的规则，而是作为一个框架来解决重要问题，探索和感知在自然界和人类创造中重现的关系和结构”(MIUR 2012)。

基于此，本文讨论了我们在过去12年中在小学、初中和高中进行的一种图论方法。意大利以外的国家都有结构化的离散数学方法(包括图论、计数方法、递归、迭代、归纳和算法)，参见DeBellis and Rosenstein(2004)，Rosenstein(2014)。事实上，自1989年起，美国国家数学教师委员会(NCTM)就推荐在学校引入离散数学，而在意大利，课程中并没有明确要求引入离散数学。

2哥尼斯堡大桥问题

1736年，彼得堡科学院发表了伦纳德·欧拉的一篇文章，欧拉在文中解决了哥尼斯堡七桥问题:哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。

图1欧拉图(1741)

欧拉建议用A，B，C和D表示城市的四个部分，A和D是岛屿，B和C是大陆（图1）。他用AB表示A和B之间的桥梁，用BD表示B和D之间的桥梁：因此，如果公民从A开始，移动到B然后到D，我们可以用ABD表示他/她的行走路线。如果公民然后从D移动到C，整个步行将是ABDC。ABDC这个词说明了公民穿过了多少座桥梁：在这种情况下，三座桥梁，一般比字母少一个。反之亦然，如果公民穿过n座桥梁，那么描述他/她的步行的字母数是。解决问题的单词应该有8个字母（在A，B，C，D中）对应于7座桥。解决问题意味着找到正确的字母。

欧拉表明，使用以下推理无法解决这个问题。如果区域A连接到只有一个桥的另一个区域，那么正确的单词只包含一次A，无论步行是否从A开始。如果区域A与具有三个（五个，七个......）桥的另一个区域连接，则正确的单词包含A两次（三次，四次......），无论步行是否从A中开始。通常，如果一个区域连接到具有奇数（用n表示）座桥的其他区域，则与该区域相关联的字母恰好出现次。然后，在哥尼斯堡七桥问题的特定情况下，字母A必须出现三次，字母B,C,D必须分别出现两次：所以我们应该有一个单词有个字母，超过了解决问题的8个字母。哥尼斯堡的市民无法找到他们想要的步行路线。这个问题要通过图论来解决（图2）。

哥尼斯堡七桥图(图2)用A,B,C,D四个点表示城市里的四个区域，用点与点之间的连线表示区域之间的桥梁。哥尼斯堡市民的问题可以看作是在图2中不把铅笔从纸上拿起来，并且在同一条线上不经过两次的情况下经过每一条连线的问题。

图2哥尼斯堡地图叠加图

3理论框架

作者已经开展了几项活动，在不同学段引入图论。

这些活动是通过横向教学（Ferrarello等人，2014）和技术使用实现的。在横向教学中，教师进入学生现实生活的领域，提供符合学生年龄，需求和全班需要的活动。在技术使用上，通过使用“ad hoc”应用程序来帮助建模情境。

我们所进行的图表活动都基于一个共同的理论框架:维果茨基扬(Vygotskijan)视角下的符号学中介，通过实验活动，基于具体认知理论，支持数学概念建构活动。

数学内容是通过使用人工制品进行中介的，在Vygotskijan的意义上(Vygotskij 1981,p.137):写作、说话、使用数学符号、地图、图表都涉及到中介过程，当任务被给定时，这些中介过程会将位置符号转换为数学符号。我们的学生（从儿童到成人）使用文字和图片等书面标志来表示任务所要求的情况，推测可能的解决方案，进行测试，然后他们用语言来争论可能的解决方案并与其他人进行沟通，最终将符号转化为数学意义（Bartolini Bussi和Mariotti 2008）。

图表完全符合具体的思维框架(Lakoff and Johnson 1999)。图形不仅可以在纸上绘制，还可以作为真实的对象进行操作:例如，小学时的真实字符串，还可以使用特殊的软件构造;通过这种方式，节点可以被拖拽，边缘可以被扭曲，就像它们是真实的一样。身体和大脑作为一个整体，通过使用基础隐喻(Lakoff和Nunez 2000)，例如字符串作为边缘，参与数学意义的构建。

操纵对象是实验室活动的四个组成部分之一(Anichini et al. 2004;Reggiani 2008):(1)需要解决的问题;(二)被操纵的对象;(3)与人的互动;(4)教师的角色。

1.要解决的问题是一个既不是特别难也不是特别简单的任务：在与老师、同学的交流合作中可以解决的，即处于就近发展区。

2.对象，无论是真实的还是虚拟的，都是可以操纵的;

3.人与人之间的互动是指与同伴合作解决问题以及教师与学生之间进行数学讨论以强化概念。

4.教师的角色是一个培训师，引导和鼓励学生去发现，去争论，去猜测，去证明。

事实上,我们可以把实验室环境想象成一个文艺复兴时期的工作室，学徒们通过做、看、模仿、交流来学习，总而言之:实践。在实验室活动中，意义的构建一方面严格限制于工具的使用，另一方面则限制于人们在课堂上交流和分享知识之间的相互作用。

所有的活动都倾向于通过学习过程中情感和思维的积极互动来支持数学学习的发展，因为“情感影响思维，就像思维影响情感”（Brown 2012，p.186）。

在我们的活动中，相同的主题（图表）在不同的背景下通过使用不同的层次来处理，如Van Hiele（1986）所建议的，在垂直课程中从可视化和描述到理性和逻辑。在小学，学生可以获得工具，能够“表达关系和数据，并在有意义的情况下，使用表达来获取信息，表达判断和做出决定”——在五年级结束时达到在“关系，数据和预测”部分（MIUR 2012）的目标。此外，游戏作为一种“适合不同情境的发展策略”的手段，也被赋予了重要的意义。在中学阶段更注重形式化、普遍化、议论化，以“培养沟通、讨论、恰当辩论的能力”。在高中可以引入简单的证明和算法(MIUR 2012)。对于高中生来说，理解数学模型的概念是很重要的。一般来说，在意大利的学校里，它被认为是数学和物理之间的一种联系(例如通过数学导数的概念理解速度的物理概念)。它还应该像其他数学模型一样，成为一种借助图形表示和引用实际上下文的推理方法。

4主题

在本文中，我们介绍了近年来我们开展的一些活动。小学，中学和高中的主题相同，比如欧拉图，但方法根据学段而变化（Van Hiele 1986）。在这里我们简单直观地介绍相关内容。对于严格的方法，请参阅West（2001），Wilson（1996）。

5小学、初中和高中的欧拉图

几所学校在不同的年份开展了几项活动。

2007年，我们首次在一所初中的八年级开展了图论活动，次年又在一所小学的六年级开展了图论活动。在2012年我们在小学三、四、五年级开展了图论活动。然后我们撰写了一份关于高中的方案，并在九年级和十年级得以实施。

该活动的开展方式对所有学段都是相同的:实验室活动(Chiappini 2007)。具体而言，我们使用技术手段来支持各个层次的教学和学习。我们使用新旧技术，即纸张、铅笔、字符串，也使用软件和在线游戏。使用的新技术是:

bull;yEd，图形编辑器(https://www.yworks.com/products/yed);

bull;Cabri (http://www.cabri.com/);

bull;Icosien (http://www.freewebarcade.com/game/icosien/);

bull;Planarity(http://planarity.net/);

bull;Fly tangle (http://www.giochigratisonline.it/giochi-online/giochi- puzzle/flytangle3 /)

yEd是一个开发用于绘制和操作图形的免费软件。使用yEd，我们可以从现有电子表格导入图像或我们自己的数据，通过直观的用户界面轻松创建图表，自动（或手动）排列图表元素，并导出创建的图形的图像（参见图3）。yEd已经在小学和初中使用，而在高中我们使用了Cabri geometre。我们使用Cabri绘制图形，而不是动态几何系统。可以使用任何其他动态几何软件。当然，DGS的第一个任务不是绘制图形，但当时（2007年）yEd还没有开发出来。

Icosien是一款在线游戏。它不是一种教育游戏，但我们将其用于教学目的。事实上，游戏的目的是通过构建Semieulerian和Hamiltonian图形来围绕一些钉子包裹一个字符串以创建每个级别的给定形状（图形中可以构造一条轨迹，该轨迹仅使用每个顶点一次，但不一定每一条边）（见图4）。

Planarity和Fly-tangle是玩家必须排列图形顶点以使得除了顶点之外没有线相交的游戏。

图3所示的眼动图屏幕

图4 Icosien博弈实例

bull;小学活动的内容包括：图形的定义，平面图，顶点着色，欧拉图，哈密顿图（这些活动持续30到40小时）。

bull;中学活动的内容包括：图形的定义，模型情形图，欧拉图（这些活动持续15到20小时）。

bull;高中活动的内容包括：图形定义，欧拉图，Fleury算法，跨越三叉，Kruskal算法，应用（这些活动持续约20小时）。

在各个层面，我们提出了欧拉图主题，这是我们从这一点开始集中在本文中的主题。

在我们开发的活动中，我们有以下目标（以下P代表小学，M代表中学，H代表高中）：

bull;认识到图表提供了问题的可能建模;（P，M，H）

bull;知道如何以问题的形式从问题转向模型;（P，M，

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