本科毕业设计（论文）

外文翻译

问题公式化：对学生自拟问题的见解

作者：南希·A·冈萨雷斯

国籍：墨西哥

出处：Problem Formulation: Insights from Student Generated Questions，School Science and Mathematics，1996,96(3)：152-157

中文译文：

这篇文章描述的是关于问题公式化一个方面的探讨。未来的小学和中学教师所面对的是一个由数据和条件所构成的数学情境，但是并没有直接的问题。他们被要求提出一些问题，这些问题学生可以用给定的信息信息来回答。本文本着探索的精神，这篇文章从两方面对学生提出的问题进行了分析——一方面是所提出的问题中包含的信息的性质，另一方面是这些问题所引起的回答。仔细分析学生所提出的问题有助于教育专家理解数学问题，并促进更好的数学问题在课堂上被提出。

几年来，数学教育者对问题解决领域表现出了普遍的兴趣，他们的注意力集中在解决给定的问题。然而，在研究人员和教师中，一个相对被忽视的主题是“问题本身的问题”(Getzels, 1988)。也就是说，很少有人关注如何获得有关构思、构造和提出数学问题的过程的知识。事实上，Kilpatrick(1987)呼吁进行研究，着手解决一些围绕问题形成的潜在问题。

在“有价值的数学任务”标准中，《数学教学专业标准》(全国数学教师委员会[NCTM]， 1991年)建议数学教师应提出需要解决问题的任务。然而，人们对这种教学活动所涉及的过程知之甚少。本研究旨在为未来中小学数学教师在数学课程的学生中发现一些问题形成的线索。本研究透过分析受特定数学情境启发而产生的学生问题，集中在问题形成过程的一个特定观点上。

本文旨在寻找一些线索，以帮助数学教师理解问题形成过程中所提出的问题的性质。除了注意课程负荷的差异(Fennema amp; Franke, 1992)和数学自我概念(Thompson, 1988)之外，这些线索提供了另一种方法来比较职前中小学教师。从对未来教师提问行为的了解中，我们可以开始寻找方法，使提出的问题和产生的问题之间建立强有力的联系。如果我们能让未来的老师学习好问题的特点，以及如何将好问题与特定的学习结果相匹配，那么我们就有了一个工具来改变他们的教学和评估问题的质量。

方法

研究设计：扮演老师/研究员的角色(Duckworth, 1986)，开启一项探索性调查旨在了解更多职前教师所提出的问题——问题的目的在于让学生去解决。通过努力发现由两个不同人群产生的问题的模式、相似性和差异性的证据来指导学生对实际书面作业的批判性观察。通过寻找以下主要研究问题的答案来进行比较:

1.所提出的问题所包含的信息来源是什么?

2.所提出的问题会引出什么样的回答?

所进行的研究在性质上是初步的，因此结果不是决定性的。然而，收集到的数据集和他们的发现为解决问题的各个方面提供了见解，并提出了哪些方面值得研究。

对象或课程

参与研究的学生是两门不同的本科数学课程的学生。以下是课程和学生的大致描述。

1.其中一门课程名为“中小学教师数学III”。这是必修三门课程中的最后一门。在校学生21人，均为小学教育专业。21名学生中有3人正在辅修数学。

2.第二个课程“中学教师数学”是未来中学教师的必修课。所有30名学生都是数学专业的学生，他们都在努力获得中学数学教学认证。注册这门课程的先决条件是一年的微积分。

过程

在斯蒂芬·布朗(1984)的一篇论文中。重点是让学生去调查情况，而不是去解决问题。他将情况描述为比问题宽松得多，而且，“情况本身并不会问内在的问题”。学生的任务是提出问题”(第15页)。

受布朗所列出的可能构成情境的“事物”的影响，人们开始寻找可以被认为是数学意义丰富的情境。例如，有一种情况包含大量的数据，但毫无疑问，可以在报纸和杂志上找到它的统计图表。通过不阅读附图的文章，人们可以观察数据、构想、阐明和提出问题。这个问题，连同数学情境中包含的数据可以产生一个需要解决的问题。

图1.数学情境的一个例子

图1演示了一个数学情境，其中包含数据，但没有内置问题。类似的情境也可以在报纸上找到，在关于典型的一天的如何花销的文章中。

注意，在图1所示的情况下没有问题，因为没有任务;任务是解决可能提出的问题。Dillon(1988)将这一活动称为“问题发现”，它“可以被认为是一个最终解决问题的过程”(第105页)。

在大约三周的时间里，在课堂讨论和家庭作业中，这两门数学课的学生都从图形化的情境中获得了提出问题的经验。他们被期望调查给定的情况，并提出几个问题，这些问题可以通过参考图表中提供的信息来回答。这两门课我都教过，两组学生都接触过同样的问题生成活动，使用图表作为数学情境。

数据采集

为了研究每组学生提出的问题，在一次定期的课堂考试中，将相同的数学情况(图1)作为其中一项呈现给两组学生。图表之前的说明如下:

用下面的图表写出5个不同的问题，这些问题可以用图表上显示的信息来回答。把你的问题编上序号。不要回答你的问题。有两点需要澄清。首先，由于考试时间的限制，学生不需要回答他们提出的问题。第二，如果回答提出的问题所需要的过程不是重复上一个问题所引起的答复，则将一个问题定义为“不同的”。

学生们被要求每人写五个问题。因此，21名初等数学课的学生预计会产生105道题，30名初等数学课的学生预计会产生150道题。

发现

研究人员将学生提出的问题重新写在一张单独的索引卡上;在卡片的背面，问题是由代码来识别的。为例。E-19-2表示问题来自于初等数学组，由第19号学生写，问题是第二个提出的。

这次调查的重点是在学生问题中寻找模式。因此，在“参考信息来源”方面，我们对学生的问题进行了分析，并将其整理成不同类型的例子，包括所有学生内部和所有学生之间，以及两组内部和两组之间。从这些例子，问题的类别被派生和描述。同样的分析过程也被用于寻找与“所提出的问题所引起的各种反应”相关的问题类别。因此，没有预先确定的问题列表;问题的类别是从数据中衍生出来的。

应当指出的是，并不是所有提出的问题都以询问的形式出现;相反，有些问题以陈述的形式出现，指示问题解决者对信息做些什么。例如，“将此图中的信息转移到带有适当标记的条形图上。”

信息来源

第一个研究问题涉及在所提出的问题的上下文中搜索所引用的信息源(或数据)中的模式。对这些问题的分析和分组可分为五类。以下是五个类别中每个类别的描述和示例(直接取自受试者的书面作业)。

1.情境所给信息。这个问题涉及到数学情景(图)中给出的信息。例如，“你每天工作8个小时，一天工资的百分之几用来交税(联邦的、州的和地方的)?”

2.适当修改信息。这个问题是指已经修改过的信息与图中给出的原始形式相比);修改后的信息将在问题中提供。例如，“假设你是一名兼职工作者。你每天工作5小时。绘制一个新的饼图，表示花费在每个区域的时间，保持每个区域的百分比不变。标记图表的所有部分。”

3.根据所给信息进行适当拓展。这个问题所涉及的信息只是增加了给定信息的大小。例如，“如果一个工人每天工作8小时，每周工作5天，每年工作52周，那么这个工人每年花了多少小时来支付州税和地方税?”

4.补充另外信息。该问题涉及在所提出的问题中所提供的新资料。这个信息被标记为“新的”，因为它不是在图中找到的，而是由问题装题者创建的。它现在是对数学情况的补充。例如，“你为国税局工作。一个去年工作了2080小时的人进来了。他每小时赚10美元。你最好估计一下他在联邦税上花了多少钱。”

5.不明确的。这一类保留为一个毫无意义、由于资料不足而无法回答或遗漏的问题(记得每个人都被要求写五个问题)。

表1.按来源列出未来教师的问题数量和百分比。

按类别(信息来源)和未来教师组划分的问题百分比如表1所示。

可以看出，小学组的大多数问题(76%)都参照了图表中给出的信息。只有8%的问题包含修改、扩展或添加的信息。相比之下，虽然第二组也有大多数问题(56%)，但39%的问题提供了修改、扩展或添加的信息。

一个明显的区别是在不明确的类别中。第二组中有5%的问题属于这一类，而初级组中有16%的问题不清楚、遗漏或毫无意义。

引发性反应

第二个研究问题是关于在回答职前教师提出的问题所需的各种活动中寻找模式。提出的每一个问题都属于下列类别之一。

1.观察。这个问题可以通过阅读或观察图表来回答。例如，“一个普通工人每天工作多长时间来缴纳州税和地方税?”

2.计算。这个问题需要对算法进行操作。例如，“一个工人的工作日中，有多少比例是用来支付所有的税(联邦税、州税和地方税)?”

3.转换。这个问题可以通过从一种符号形式到另一种符号形式的改变来回答。例如，“给定上面的图表示在不同类型的图(例如，柱状图)上给出的相同信息，并记住对图进行标记。”

4.解释。反应包括从以图形形式表示的数据进行推断。例如，“解释图表的含义。”

5.灵活应用。没有现成的算法解决方案;为了解决提出问题时，一个人必须把不熟悉的情况简化成熟悉的情况。例如，“如果一个人向联邦政府提交季度纳税报告，那么如果他的季度总收入为2万美元，在没有扣除项目的情况下，他将为本纳税年度的一个季度缴纳多少联邦税?”

6.评估。这个问题需要一个人根据数据分析做出批判性的判断。例如，“如果约翰一小时赚4美元，每周工作40个小时，他想租一间月租350美元的公寓，你认为他还有足够的钱来支付所有其他的日常开支吗?”证明你的答案。”

7.感知。对这类问题的回答会促使一个人将注意力集中在图表中选定的方面，然后根据个人经验和感知形成一个回答。例如，“你认为一般工人最希望他/她的收入花在什么地方?”列出它们。

8.不明确。这一类别再次开放，作为一个毫无意义、由于资料不足而无法回答或遗漏的问题。

按类别和未来教师组划分的问题百分比如表2所示。

对每一组提出的问题进行比较，可以发现以下几点:

（a）初级组中有30%的问题需要观察并直接从图中读出答案，而次级组中只有9%的问题属于这一类;

（b）第二组有23%的问题是应用型的，而初级组只有3%的问题是应用型的;

（c）两组学生的大部分问题都需要执行算法的技能;

（d）初级组没有提出任何可能导致翻译或评估类型的回答的问题;

（e）虽然这两门正在学习的数学课程的内容中没有特别提到，但这个初级小组提出了问题，这需要对个人经验和看法进行深思熟虑。

表2.按回答类型划分的未来教师问题的数量和百分比。

议论

未来的小学教师在延伸数学情境中的数据和条件所预测的边界时，倾向于更加保守。他们在创建自己的数据和超越已经给出的数据方面并没有那么积极主动，只有8%的问题包含修改、扩展或添加的信息，这一事实证明了这一点。一种可能的解释是，在这学期中，我们留出了很短的时间来练习提问，这些问题的灵感来自于图形化的插图。一个合理的方法是在整个学期中穿插各种活动，这样学生就有时间发展技能、数学知识，以及在特定情况下引入新元素所必需的信心。

这两组人提出的大部分问题都可以通过观察或通过对算法的操作来回答。这些活动属于较低层次的认知。然而，由于生成的问题是作为课堂考试的一部分出现的，所以学生可能倾向于尽可能地保守。这是。他们倾向于问一些“安全”的问题，他们确信这些问题是合法的、直接的，并且会导致一个容易解决的问题。或许，如果这是一项带回家的作业，学生们可能会有更多的时间来发挥创造力，而不会那么担心冒着风险提出与实际情况截然不同的问题或陈述所带来的后果。

未来的教师头脑中有一个特定的观众—小学,初中 ,或高中是可能的。基于他们对这一层次数学知识的认知和信念，他们可能产生了一些问题，这些问题通常可以在为他们的课堂目标读者编写的数学教科书中找到。如果是这样，那么低水平的提问应该不足为奇。经验证据表明，死记硬背式的低级问题是小学数学教材中占主导地位的问题类型(很好地说明了这一点。Fiber， amp; Bobango, 1986)。看来，教师教育项目需要做大量的工作，以促进未来教师在提出需要更高层次回答的问题方面的专业技能的发展。

现在已经很清楚，在今后的课程中提出问题的工作中，需要把时间和精力花在调查类型的活动上。无论初级或中级，没有一个主题提出了集中于调查程序的问题。例如，下面的问题要求学生收集额外的数据，然后将其与给定的数据集进行比较:这张图表显示了一个工人如何花掉8个小时的收入，这与你认识的一些人(如家庭成员、老师地的商人等等)相比如何?”调查活动的

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