本科毕业设计（论文）

外文翻译

概率论及其应用概论

作者：威廉·费勒

国籍：美国

出处：约翰威立出版有限公司，1968年，220-227页

中文译文：

2.期望

为了实现合理的简单性，通常需要通过一些“典型值”来概括地描述概率分布。一个例子由II，7的等待时间问题中使用的中值和二项分布的中心项提供。 在典型值中，期望值或平均值是迄今为止最重要的值。它最适合分析操作，并且由于称为采样稳定性的属性，统计学家更喜欢它。其定义遵循平均值的惯用概念。如果在确定的个家庭中有个孩子，则家庭总数，孩子总数

每个家庭的平均子女数是。 概率和频率之间的类比表明如下：

定义 设为随机变量，假设具有相应概率的值。平均值或期望值被定义为

（2.1） ，

倘若该系列绝对收敛。在这种情况下，我们说有一个有限的期望。如果发散，那么我们说没有有限的期望。

有时将概率直观地视为重复实验中可观察频率的限制是方便的。这将导致对期望的以下直观解释。让实验在“相同条件下”重复次，并用表示实际观察到的值。对于大数，的平均值应接近。大数定律给这种模糊的直观描述提供了实质性和精确性。

不言而喻，最常见的随机变量有有限的期望，否则这个概念是不切实际的。然而，没有有限期望的变量与物理学中的重要循环问题有关。术语表示平均值和数学期望值是同义词。我们还谈到了分布的均值，而不是指相应的随机变量。这种符号在数学和统计学中普遍被接受。在物理学中，、和是常见的替代品。

我们希望计算诸如这样的函数期望。该函数是一个新的随机变量，假设为，一般来说，的概率不是，而是，定义为的总和。显然在任何情况下

（2.2）

如果系列收敛。相同的过程得出一般性：

定理1 任何函数定义一个新的随机变量。如果有有限的期望，那么

（2.3） ；

当且仅当存在时，该系列绝对收敛。对任何常数，我们有。

如果在同一样本空间上定义了几个随机变量，则它们的总和是一个新的随机变量。其可能的值和相应的概率可以从的联合分布中容易地找到，因此可以计算。更简单的过程由以下重要部分提供：

定理2 如果是具有期望的随机变量，则其总和的期望存在并且是他们期望的总和：

（2.4） 。

证明 只需证明（2.4）两个变量和。使用符号（1.3），我们可以写出

（2.5） ，

扩展到所有可能的值，（不必全部不同）。这两个系列绝对收敛，因此，它们的总和可以被重新安排为，也被定义为的期望。这样就完成了证明。

显然，没有相应的一般定理适用于过程，例如，通常不同于。 因此，如果用表示平衡骰子的数字得分，

， 但是 。

然而，简单的乘法规则适用于相互独立的变量。

定理3 如果和是具有有限期望的相互独立的随机变量，那么它们的乘积是具有有限期望的随机变量，并且

（2.6） 。

证明 要计算，我们必须将每个可能的值乘以相应的概率。于是

（2.7） ，

由于系列绝对收敛，重新排列是合理的。

通过归纳，相同的乘法规则适用于任意数量的相互独立的随机变量。

对于条件概率分布的期望也具有符号是方便的。如果和是具有联合分布（1.3）的两个随机变量，给定的的条件期望是在处假定该值的函数

（2.8） ，

只有对于所有的，当系列绝对收敛和时，这个定义才有意义。

条件期望是一个新的随机变量。 为了计算它的期望，我们必须通过乘以（2.8），并对求和。结果是

（2.9） 。

3.实例和应用

（a）二项分布。在成功概率为的n重伯努利试验中，让作为取得成功的数量。我们知道具有二项分布，从

中来。最后一个和包括二项分布的所有项，因此等于1。因此，二项分布的均值是

（3.1）

无需通过通常有利的方法计算就可以获得相同的结果。让作为在第k次试验中获得的成功次数。该随机变量仅假设0和1具有相应的概率和。因此

，

从那以后

（3.2） ，

我们直接从（2.4）得到（3.1）。

（b）泊松分布。如果有泊松分布（其中），那么

。

最后一个系列包含分布的所有术语，因此增加了统一性。因此，泊松分布具有均值。

（c）负二项分布。设几何分布的变量为,其中。然后。我们有一个几何系列的衍生物以至于。我们在VI，8中已经看到，可能被解释为伯努利试验序列中第一次成功之前的失败次数。更一般地说，我们研究了与伯努利试验相对应的样本空间，这些试验一直持续到第n次成功。因为，让，令为第r-l次和第r次成功之间的失败次数。然后每个都有几何分布，并且。总和

是第r次成功之前的失败次数。换句话说，是一个随机变量，其分布是由两个等价公式VI，（8.1）或VI，（8.2）中的任何一个定义的负二项式。由此得出这个负二项式的平均值是。这可以通过直接计算来验证。从VI，（8.2）可以清楚地看出

，

并且分布增加了统一性。这种直接计算的优点在于它也适用于非整数r。另一方面，第一个论证导致了不需要知道分布的明确形式的结果。

（d）抽样的等待时间。通过替换对个不同元素进行采样。由于重复，大小为的随机样本通常包含少于个不同的元素。随着样本量的增加，新元素将越来越少地进入样本。我们对获取个不同元素所需的样本量感兴趣。（作为一个特殊情况，考虑种可能的生日总体，这里表示样本包含个不同生日的那一刻的抽样人数。对于随机放置球进入细胞，可以进行类似的解释。我们的问题对于可以将收购与随机抽样进行比较的收集优惠券和其他项目特别感兴趣。）

为了简化语言，如果它导致样本添加新元素，则我们就称作投入成功。 然后是投入的数量，包括r次成功。令。然后是第k次和第（k 1）次成功之间的不成功投入的数量。在这些投入中，包含个尚未进入样本的元素，所以是使用进行伯努利试验中首次成功之前的失败次数。因此，根据示例（c），。因为，我们最终得到

（3.3） 。

特别地，是耗尽整个总体所需的预期数量的投入。时，我们有和。这意味着，平均而言，七个投入足以覆盖数量为10的总体的前半部分，但后半部分将需要平均约23个投入。

为了得到（3.3）的近似值，我们将其解释为矩形的区域，其基础是以为中心的单位区间，其高度是该点的纵坐标。用图表下面的区域替换这个矩形的区域，我们得到近似值

（3.4） 。

作为一个应用任意选择，并考虑预期的投入数量，以获得包含整个总体的部分的样本。当是的最小整数时，这等于。当时，（3.4）中错误地趋于0，我们在限制中找到了想要的期望值。注意，所有这些结果都是在不使用概率分布本身的情况下获得的。[后者可以很容易地从IV，（2.3）中的占用概率得出。]

（e）估计问题。一个瓮包含编号为1到N的球。当使用随机取样替换时，设为n次投入中的最大数字。 事件意味着投入的n个数中的每一个都小于或等于，因此。 因此的概率分布由下式给出

（3.5） 。

它遵循

（3.6）

。

对于大数N，最后的和大约是曲线下的从到的面积，即。 因此，对于大数N，它满足

（3.7） 。

如果一个城镇有辆汽车并且观察到的样本，那么观察到的最高牌照（假设随机性）的预期数量约为910。实际上统计学家使用观察到的最大值来估计一个样本中未知的真实数N。这个方法是在上次战争期间用来估计敌人的数量（参见问题8-9。）

（f）统计检验的适用范围。这个例子说明了实际运用期望来避免繁琐的概率计算分布。

真菌Sordaria的孢子以八个链的形式生产。链可能分成几个部分，最终孢子在含有1至8个孢子的投射中逃逸。有理由假设七个链路的断裂是随机独立的，并且链路具有相同的断开概率。在这个假设下，理论上可以计算单峰，双峰等等的联合分布，但这将涉及繁琐的计算。另一方面，对于假设的经验检验，足以知道单峰，双峰等等的预期数量，并且这些很容易被找到.例如，位于链末端的孢子有的可能成为单峰，而对于所有其他孢子，这个概率等于。因此，通过加法规则，由一条链产生的预期单峰的数量为。类似的论点表明预期的双峰数是，其中。同样的方式可知。预期的投射数量是。（没有计算这也是显而易见的，因为预期的断裂数等于，每次断裂都会使投射的数量增加1。）

表3

观察到的数字和预期的数字 作为示例（）的投射大小
1	490	458.3		5	200	170.6
2	343	360.8		6	134	131.7
3	265	281.8		7	72	101.1
4	199	219.7		8	272	250.3

在实际的野外观察中，共计算了7251个孢子，来自总共个链（其中5个孢子未检测）。如果我们的概率模型适用，我们大约有或。（依据弱大树定律，这个论点取决于期望的直观含义。）观察到的投射数量应该接近预期的数量。如表3所示，差异并不令人惊讶，因此也没有理由拒绝该模型。

附：外文原文

2. EXPECTATIONS

To achieve reasonable simplicity it is often necessary to describe probability distributions rather summarily by a few “typical values.” An example is provided by the median used in the waiting-time problems of II, 7, and the central term of the binomial distribution. Among the typical values the expectation, or mean, is by far the most important. It lends itself best to analytical manipulations, and it is preferred by statisticians because of a property known as sampling stability. Its definition follows the customary notion of an average. If in a certain population families have exactly children, the total number of families is and the total number of children

.

The average number of children per family is . The analogy between probabili

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本科毕业设计（论文）

外文翻译

概率论及其应用概论

作者：威廉·费勒

国籍：美国

出处：约翰威立出版有限公司，1968年，220-227页

中文译文：

2.期望

为了实现合理的简单性，通常需要通过一些“典型值”来概括地描述概率分布。一个例子由II，7的等待时间问题中使用的中值和二项分布的中心项提供。 在典型值中，期望值或平均值是迄今为止最重要的值。它最适合分析操作，并且由于称为采样稳定性的属性，统计学家更喜欢它。其定义遵循平均值的惯用概念。如果在确定的个家庭中有个孩子，则家庭总数，孩子总数

每个家庭的平均子女数是。 概率和频率之间的类比表明如下：

定义 设为随机变量，假设具有相应概率的值。平均值或期望值被定义为

（2.1） ，

倘若该系列绝对收敛。在这种情况下，我们说有一个有限的期望。如果发散，那么我们说没有有限的期望。

有时将概率直观地视为重复实验中可观察频率的限制是方便的。这将导致对期望的以下直观解释。让实验在“相同条件下”重复次，并用表示实际观察到的值。对于大数，的平均值应接近。大数定律给这种模糊的直观描述提供了实质性和精确性。

不言而喻，最常见的随机变量有有限的期望，否则这个概念是不切实际的。然而，没有有限期望的变量与物理学中的重要循环问题有关。术语表示平均值和数学期望值是同义词。我们还谈到了分布的均值，而不是指相应的随机变量。这种符号在数学和统计学中普遍被接受。在物理学中，、和是常见的替代品。

我们希望计算诸如这样的函数期望。该函数是一个新的随机变量，假设为，一般来说，的概率不是，而是，定义为的总和。显然在任何情况下

（2.2）

如果系列收敛。相同的过程得出一般性：

定理1 任何函数定义一个新的随机变量。如果有有限的期望，那么

（2.3） ；

当且仅当存在时，该系列绝对收敛。对任何常数，我们有。

如果在同一样本空间上定义了几个随机变量，则它们的总和是一个新的随机变量。其可能的值和相应的概率可以从的联合分布中容易地找到，因此可以计算。更简单的过程由以下重要部分提供：

定理2 如果是具有期望的随机变量，则其总和的期望存在并且是他们期望的总和：

（2.4） 。

证明 只需证明（2.4）两个变量和。使用符号（1.3），我们可以写出

（2.5） ，

扩展到所有可能的值，（不必全部不同）。这两个系列绝对收敛，因此，它们的总和可以被重新安排为，也被定义为的期望。这样就完成了证明。

显然，没有相应的一般定理适用于过程，例如，通常不同于。 因此，如果用表示平衡骰子的数字得分，

， 但是 。

然而，简单的乘法规则适用于相互独立的变量。

定理3 如果和是具有有限期望的相互独立的随机变量，那么它们的乘积是具有有限期望的随机变量，并且

（2.6） 。

证明 要计算，我们必须将每个可能的值乘以相应的概率。于是

（2.7） ，

由于系列绝对收敛，重新排列是合理的。

通过归纳，相同的乘法规则适用于任意数量的相互独立的随机变量。

对于条件概率分布的期望也具有符号是方便的。如果和是具有联合分布（1.3）的两个随机变量，给定的的条件期望是在处假定该值的函数

（2.8） ，

只有对于所有的，当系列绝对收敛和时，这个定义才有意义。

条件期望是一个新的随机变量。 为了计算它的期望，我们必须通过乘以（2.8），并对求和。结果是

（2.9） 。

3.实例和应用

（a）二项分布。在成功概率为的n重伯努利试验中，让作为取得成功的数量。我们知道具有二项分布，从

中来。最后一个和包括二项分布的所有项，因此等于1。因此，二项分布的均值是

（3.1）

无需通过通常有利的方法计算就可以获得相同的结果。让作为在第k次试验中获得的成功次数。该随机变量仅假设0和1具有相应的概率和。因此

，

从那以后

（3.2） ，

我们直接从（2.4）得到（3.1）。

（b）泊松分布。如果有泊松分布（其中），那么

。

最后一个系列包含分布的所有术语，因此增加了统一性。因此，泊松分布具有均值。

（c）负二项分布。设几何分布的变量为,其中。然后。我们有一个几何系列的衍生物以至于。我们在VI，8中已经看到，可能被解释为伯努利试验序列中第一次成功之前的失败次数。更一般地说，我们研究了与伯努利试验相对应的样本空间，这些试验一直持续到第n次成功。因为，让，令为第r-l次和第r次成功之间的失败次数。然后每个都有几何分布，并且。总和

是第r次成功之前的失败次数。换句话说，是一个随机变量，其分布是由两个等价公式VI，（8.1）或VI，（8.2）中的任何一个定义的负二项式。由此得出这个负二项式的平均值是。这可以通过直接计算来验证。从VI，（8.2）可以清楚地看出

，

并且分布增加了统一性。这种直接计算的优点在于它也适用于非整数r。另一方面，第一个论证导致了不需要知道分布的明确形式的结果。

（d）抽样的等待时间。通过替换对个不同元素进行采样。由于重复，大小为的随机样本通常包含少于个不同的元素。随着样本量的增加，新元素将越来越少地进入样本。我们对获取个不同元素所需的样本量感兴趣。（作为一个特殊情况，考虑种可能的生日总体，这里表示样本包含个不同生日的那一刻的抽样人数。对于随机放置球进入细胞，可以进行类似的解释。我们的问题对于可以将收购与随机抽样进行比较的收集优惠券和其他项目特别感兴趣。）

为了简化语言，如果它导致样本添加新元素，则我们就称作投入成功。 然后是投入的数量，包括r次成功。令。然后是第k次和第（k 1）次成功之间的不成功投入的数量。在这些投入中，包含个尚未进入样本的元素，所以是使用进行伯努利试验中首次成功之前的失败次数。因此，根据示例（c），。因为，我们最终得到

（3.3） 。

特别地，是耗尽整个总体所需的预期数量的投入。时，我们有和。这意味着，平均而言，七个投入足以覆盖数量为10的总体的前半部分，但后半部分将需要平均约23个投入。

为了得到（3.3）的近似值，我们将其解释为矩形的区域，其基础是以为中心的单位区间，其高度是该点的纵坐标。用图表下面的区域替换这个矩形的区域，我们得到近似值

（3.4） 。

作为一个应用任意选择，并考虑预期的投入数量，以获得包含整个总体的部分的样本。当是的最小整数时，这等于。当时，（3.4）中错误地趋于0，我们在限制中找到了想要的期望值。注意，所有这些结果都是在不使用概率分布本身的情况下获得的。[后者可以很容易地从IV，（2.3）中的占用概率得出。]

（e）估计问题。一个瓮包含编号为1到N的球。当使用随机取样替换时，设为n次投入中的最大数字。 事件意味着投入的n个数中的每一个都小于或等于，因此。 因此的概率分布由下式给出

（3.5） 。

它遵循

（3.6）

。

对于大数N，最后的和大约是曲线下的从到的面积，即。 因此，对于大数N，它满足

（3.7） 。

如果一个城镇有辆汽车并且观察到的样本，那么观察到的最高牌照（假设随机性）的预期数量约为910。实际上统计学家使用观察到的最大值来估计一个样本中未知的真实数N。这个方法是在上次战争期间用来估计敌人的数量（参见问题8-9。）

（f）统计检验的适用范围。这个例子说明了实际运用期望来避免繁琐的概率计算分布。

真菌Sordaria的孢子以八个链的形式生产。链可能分成几个部分，最终孢子在含有1至8个孢子的投射中逃逸。有理由假设七个链路的断裂是随机独立的，并且链路具有相同的断开概率。在这个假设下，理论上可以计算单峰，双峰等等的联合分布，但这将涉及繁琐的计算。另一方面，对于假设的经验检验，足以知道单峰，双峰等等的预期数量，并且这些很容易被找到.例如，位于链末端的孢子有的可能成为单峰，而对于所有其他孢子，这个概率等于。因此，通过加法规则，由一条链产生的预期单峰的数量为。类似的论点表明预期的双峰数是，其中。同样的方式可知。预期的投射数量是。（没有计算这也是显而易见的，因为预期的断裂数等于，每次断裂都会使投射的数量增加1。）

表3

观察到的数字和预期的数字 作为示例（）的投射大小
1	490	458.3		5	200	170.6
2	343	360.8		6	134	131.7
3	265	281.8		7	72	101.1
4	199	219.7		8	272	250.3

在实际的野外观察中，共计算了7251个孢子，来自总共个链（其中5个孢子未检测）。如果我们的概率模型适用，我们大约有或。（依据弱大树定律，这个论点取决于期望的直观含义。）观察到的投射数量应该接近预期的数量。如表3所示，差异并不令人惊讶，因此也没有理由拒绝该模型。

附：外文原文

2. EXPECTATIONS

To achieve reasonable simplicity it is often necessary to describe probability distributions rather summarily by a few “typical values.” An example is provided by the median used in the waiting-time problems of II, 7, and the central term of the binomial distribution. Among the typical values the expectation, or mean, is by far the most important. It lends itself best to analytical manipulations, and it is preferred by statisticians because of a property known as sampling stability. Its definition follows the customary notion of an average. If in a certain population families have exactly children, the total number of families is and the total number of children

.

The average number of children per family is . The analogy between probabili

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