本科毕业设计（论文）

外文翻译

对数函数与psi函数之差的完全单调度

中文译文：

摘要：本文首先给出一个关于函数完全单调性的简明证明，该函数涉及对数函数和psi函数之间的差异。然后计算上述函数的完全单调度，最后对经典欧拉-伽玛函数对数的渐近公式的余数及其导数的完全单调度提出几个猜想。

关键词：完全单调度；PSI函数；对数函数；渐近公式；余数；猜想

1.引言

首先，我们从[1，第十三章]、[2，第1章]和[3，第四章]回忆起，如果在上有所有阶的导数并且满足

那么函数在区间上被称为是完全单调的。

在参考文献的[3，p.161]中的定理12b指出，在上完全单调的一个充分必要条件是：

(1)

式中，是非递减的，且上述积分收敛于。换句话说，或者简单地说，当且仅当一个函数是非负测度的拉普拉斯变换时，它在上是完全单调的。

在参考文献[4，pp.374–375，定理1]和[5，定理1]中，当且仅当时，验证了函数

(2)

在上完全单调。其中称为psi函数，表示经典的欧拉-伽玛函数，根据参考文献[5–8]，该函数可以定义为

或者可以定义为

我们设为上的完全单调函数，并将它表示为。只有当且仅当，且函数在上完全单调时，我们才认为数字是相对于xisin;(0,infin;)的完全单调度；如果对于任意的，都有函数在定义域上是完全单调的，那么我们认为相对于的完全单调度是。为了方便起见，我们设计了一个符号来表示相对于的完全单调度。关于完全单调度及其性质的更多信息，请参阅论文[9–22]及其密切相关的参考文献。

函数（2）在上完全单调的充要条件是,这意味着在上，完全单调函数的完全单调度为

在参考文献[8，定理1.7]中，证明了函数

在上严格地减少和凸面化，并且，当时，趋向于。在参考文献[23，定理1]中，提到发现了函数

(3)

在上是完全单调的。

在本文的第二部分中，受参考文献[5，定理1]的第二个证明的启发，并借助于参考文献[24]中的一些结论，我们将对上述发现给出一个简洁的证明，它比参考文献[23，定理1]中的相应证明更简单和更短，该证法常常用于证明上函数的完全单调性。

在本文的第三部分，我们将计算完全单调函数

(4)

在上的完全单调度。

而在本文的第四部分中，我们将对的渐近公式和当时的多伽玛函数的余数的完全单调度提出猜想。

2. 函数的完全单调性

本文的第一个主要结果可以表述为以下定理。

定理1. （3）中定义的函数在上是完全单调的，且有极限

和. (5)

证明 在参考文献[7，p.140，5.9.13]中，它写到：

通过分部积分法，这个公式可以重新公式化为：

其中函数

在上是凸面的，有极限：

和

有关函数的详细信息，请参阅[25–28]及其密切相关的参考文献。因此，再按照部分积分法就可以得到下面的式子：

(6)

因此，根据本文开头提到的[3，p.161，定理12b]并借助于在定义域上函数的凸面性，我们可以立即看到函数在上是完全单调的，而根据式子（6）中的极限，我们很容易得出式子（5）中的极限。

由此，定理1的证明完毕。

3. 函数的完全单调度

本文的第二个主要结果可以表述为以下定理:

定理2.（4）定义的完全单调函数在上的完全单调度为

(7)

证明 由于关系式和函数在上是完全单调的，见参考文献[29，定理1]，[23]中的定理1和上述定理1的意思是

(8)

另一方面，如果在上是完全单调的，那么它的一阶导数就不是正的，即

这个式子可以转变成

对于，这里我们使用递归关系以及在式子（5）中的第一个限制条件。这意味着

(9)

将式子（8）与式子（9）结合，得出结论上函数的完全单调度为2。由此，定理2的证明完毕。

4. 猜想

本文的第三个主要结果是对渐近公式的余数的完全单调度和这些余数的导数的完全单调度进行了猜想。

在参考文献[29，定理1]中，除其他外，函数和以下三个函数：

，，

证明了它们在上是完全单调的。这时提出一个问题：这三个函数在上的完全单调度是多少？对此，我们有以下猜想：

， (10)

， (11)

. (12)

在参考文献[4，定理8]和[30，定理2]中，证明了当时，函数

在上是完全单调的。因此，当时，函数在上是完全单调的，详细可见[31，第1.4节]和[32，定理3.1]。当时，函数是渐近公式的余数。详细可见[6, p. 257, 6.1.40]和[7, p. 140, 5.11.1]。

在[14，定理2.1]中，证明了当时，定义域在上的函数的完全单调度至少为次方程。（7）和（10）-（12）以及著名软件Wolfram Mathematica的绘图结果如下：

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，.

当时，完全单调函数在上的完全单调度是什么？我们推测

（i）当时，上的完全单调度满足

，.

并且

;

（ii）当时，上的完全单调度满足

,,

并且

；

（iii）当时，的完全单调度满足

，，

并且

.

5.备注

最后，对本文研究结果的意义和重要性作了几点评述。

备注1：完全单调函数的意义可以从上述等式（1）中看出，引用自参考文献[3，定理12b]。其中，完全单调度是近年来引入的一个新概念。具体可见[9–22]和密切相关的参考文献。这一新概念可以更准确地度量和区分完全单调性。例如，函数和当并且时，在上都是完全单调的。但它们是完全不同的单调函数。如何定量测量它们的差异？如何定量区分它们？完全单调度的概念是有用的：当且时，和这两个函数的完全单调度分别是和。

另一方面，满足和的经典伽玛函数和多伽玛函数是数学和数学科学的基础。这些满足的经典伽玛函数和多伽玛函数的渐近展开式在几乎所有数学科学中都有广泛的应用。德国、丹麦、罗马尼亚、塞浦路斯、中国等国的几位数学家都证明了（13）中余数在当时在上是完全单调的。如何定量区分这些余数的完全单调性？这是本文主要的贡献

备注2：这篇论文是预印本的一个大范围扩展版本[33]。

致谢

作者感谢匿名推荐人对本文原版的认真更正和宝贵意见。

参考文献

[1] D.S. Mitrinović, J.E. Pečarić, A.M. Fink, Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1993..

[2] R.L. Schilling, R. Song, Z. Vondraček, Bernstein Functions—Theory and Applications, second ed., in: de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 37, Walter de Gruyter, Berlin, Germany, 2012.

[3] D.V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press, Princeton, 1946.

[4] H. Alzer, On some inequalities for the gamma and psi functions, Math. Comp. 66 (217) (1997) 373–389.

[5] B.-N. Guo, F. Qi, Two new proofs of the complete monotonicity of a function involving the psi function, Bull. Korean Math. Soc. 47 (1) (2010) 103–111.

[6] M. Abramowitz, I.A. Stegun (Eds), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, tenth ed., in: National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, vol. 55, Dover Publications, New York and Washington, 1972.

[7] F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, C.W. Clark (Eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, New York, 2010.

[8] S.-L. Qiu, M. Vuorinen, Some properties of the gamma and psi functions with applications, Math. Comp. 74 (250) (2005) 723–742.

[9] B.-N. Guo, F. Qi, A completely monotonic function involving the tri-gamma function and with degree one, Appl. Math. Comput. 218 (19) (2012) 9890–9897.

[10] S. Koumandos, Monotonicity of some functions involving the gamma and psi functions, Math. Comp. 77 (264) (2008) 2261–2275.

[11] S. Koumandos, M. Lamprecht, Some completely monotonic functions of positive order, Math. Comp. 79 (271) (2010) 1697–1707.

[12] S. Koumandos, M. Lamprecht, Complete monotonicity and related properties of some special functions, Math. Comp. 82 (282) (2013) 1097–1120.

[13] S. Koumandos, H.L. Pedersen, Absolutely monotonic functions related to Eulerrsquo;s gamma function and Barnesrsquo; double and triple gamma function, Monatsh. Math. 163 (1) (2011) 51–69.

[14] S. Koumandos, H.L. Pedersen, Completely monotonic functions of po

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

英语原文共 6 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

资料编号：[271833]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word

对数函数与psi函数之差的完全单调度