分数阶导数的儿童乐园

摘要：本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。

关键词：指数函数； 三角函数； 积分；

大学数学学报（美国），2000年3月，31卷，第2期，第82-88 页

1引言

我们都熟悉的导数的定义。通常记作 这些都是很容易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如但是像这样的记号又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz已经开始探讨。在之后的岁月里，包括Lrsquo;Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。Wheeler在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。

本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的n阶导数的例子开始，比如。然后用其他数字取代自然数字n。这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。）

随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧hellip;hellip;

2指数函数的分数阶导数

我们将首先研究指数函数的导数。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉的导数的表达式。，在一般情况下，当n为整数时，。那么我们能不能用1/2取代n，并记作呢？我们何不尝试一下？为什么不更进一步，让n是一个无理数或者复数比如1 i？

我们大胆地写作

（1）

对任意一个，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当是负整数时，考虑（1）式的意义是很有趣的。我们自然希望有成立。因为，所以我们有。同理。当是负整数时，我们将看作是n次迭代的积分是合理。当是正实数，代表导数，当是负实数，代表积分。

请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。

问题

问题1：在上述情况下，成立吗？

问题2：在上述情况下，成立吗？

问题3：上述和，真的正确吗？还是遗漏了一些东西？

问题4：用蕴含在（1）式的想法，怎样对一般性的函数求分数阶导数？

3三角函数：正弦函数和余弦函数

我们对于正弦函数的导数很熟悉：这些对于寻求，并没有明显的规律。但是，当我们画出这些函数的图形时，会挖掘出其中的规律。即每当我们求一次微分，的图像向左平移。所以对求n次微分，那么得到的图像就是向左平移，即得到。如前，我们用任意数替换正整数n。所以，我们得到正弦函数的任意次导数的表达式，同理我们也得到余弦函数的：

（2）

在得到表达式（2）之后，我们自然想，这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。为了验证这个猜测，我们可以使用欧拉公式。利用表达式（1），我们可以计算得到，这与（2）式是吻合的。

问题

问题5：是什么？

4的导数

我们现在看看x次方的导数。我们以为例有：

表达式（3）用连乘的分子和分母去替换，则得到结果如下

上式就是的一般表达式。我们通过伽玛函数，用任意数替换正整数n。当（4）式中的p和n是不是自然数时，伽玛函数使他们在替换后任然有意义。伽马函数是欧拉在18世纪引进的概念。当时是推广记号，当z不是整数时。它的定义是，它具有这样的性质。

那么我们可以将表达式（4）重新写作这使得当n不是整数式，（4）式还是有意义的。所以对于任意的，我们写作

利用（5）式，我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。因为对于任意给定的函数，我们可以利用Taylor级数展开成多项式的形式，假设我们可以对进行任意次微分，那么我们得到

最终那个表达式（6）呈现出具有作为分数阶导数定义候选项的气质。因为大量的函数都可以利用Taylor公式展开成幂级数的形式。然后，我们很快会发现它会导致矛盾的产生。

问题

问题6：是否有几何意义？

5一个神秘的矛盾

我们将的分数阶导数写为

现在让我们拿它与（6）式进行对比，看看他们是否一致。

从Taylor级数来看，结合（6）式，我们得到如下表达式

但是，（7）及（8）是不等价的，除非是整数。当是整数时，（8）式的右侧是的级数形式，只是用不同的表达方式。但是当不是整数时，我们得到两个完全不一样的函数。我们发现了历史上引起大问题的矛盾。这看起来好像我们，指数函数的分数阶导数的表达式（1）与次方函数的分数阶导数的公式（6）是相互矛盾。

正是因为有这样一个矛盾，所以分数阶微积分一般不会出现在初等阶段的教科书里面。在传统的微积分中，导数的次数是整数次的，求导的函数是初等函数。不幸的是，在分数阶微积分中，这是不正确的。通常，一个初等函数的分数阶导数是较高级的超越函数。关于分数阶导数的表格，请参阅文献[3]。

此时，您可能会问我们怎么继续探究呢？这个谜团将在之后的部分中被解决。敬请关注hellip;hellip;

6多重迭代积分

我们一直在谈论导数。积分也是反复被提及的。我们可以写，但是等式右边是不确定的。我们可以写作。第二次积分可以写成。积分区域是图1中的三角形。如果我们交换积分的顺序，那么图1的右侧图可以表现出。

因为不是一个关于的函数，所以可以将里面的积分移到外面，即

或者。

使用相同的过程步骤，我们可以写出

在一般情况下，

现在，我们用先前做的方法，用任意数替换，用伽玛函数替换阶乘，然后得到

这个一般性的表达式（使用积分）的分数阶导数表达式，有成为定义的潜力。但是存在一个问题。如果该积分是反常积分。因为当对任意，积分是发散的。当反常积分收敛。所以当是负数时，原表达式是正确的。因此当是负数时（9）式收敛，即它是一个分数阶次积分。

在我们结束这一部分之前，需要提下，趋于零的下极限是任意的。可以简单的认为存在下极限。但是会造成最后结果表达式的不同。正因为如此，很多这个领域的研究人员使用符号。这个符号说明了极限过程是从到的。这样我们从（9）式得到

问题

问题7：如下分数阶微分的下极限是什么？

7解秘

现在，你可以开始去发现前面哪些地方出错了。我们对于分数阶积分包含极限，并不感到惊讶。因为积分是涉及到极限的。然而普通的导数不涉及积分的极限，没有人希望分数阶导数包含这样的极限。我们认为，导数是函数的局部性质。分数阶导数的符号既包含导数（是正数）又有积分（是负数）。积分是处于极限之中的。事实证明，分数阶导数也是处于极限之中的。出现该对矛盾的原因是，我们使用了两种不同的极限。

现在，我们可以解决这个谜团了。

秘密是什么？让我们停下来想一想。表达式（1）中指数函数起作用的极限是什么？记得我们要期望写成

b取什么值时，将得到这个答案？由于在（11）式中积分就是

为了得到我们想要的形式，只有当时。即如果a是正数，那么。这种类型的拥有下极限为的积分，有时也称为Weyl分数阶导数。从（10）的符号，我们可以将（1）写做

极限在公式（5）的导数中是起什么作用？我们有

同样，我们希望。当时，结论是成立的。所以我们觉得将（5）的符号写成更准确。因此，表达式（5）中隐含了的下极限为0。然而，表达式（1）中的下极限为。这个差异就是（7）和（8）为什么不等价的原因。在（7）中我们计算，在（8）中我们计算。

如果读者希望继续这一研究，我们推荐Miller的一篇很好的论文[8]，和由Oldham和Spanie合著的优秀图书[11]，以及Miller和Ross合著的优秀图书[9]。这两本书都包含了从很多文献角度分数阶微积分简短精要的历史。由Miller和Ross合著的图书[9]很好地讨论了分数阶微分方程。Wheeler的注记[14]是另一个这方面一流的介绍性文章，具有很高的推广普及价值。Wheeler给出了几个简单的应用例子，而且阅读起来非常有趣。其他的历史性文献请参考[1，2，4，5，6，10，13]。

8问题的解答

以下是文章中8个问题的简短回答。

问题1：成立的，这个性质是保持的。

问题2：成立的，这个由关系式（2.2）很容易证明。

问题3：遗漏了一些东西。遗漏的是积分常数。应该是这样的

问题4：将展开成傅立叶级数形式，。假设我们可以连续次地取分数阶微分，我们得到。

问题5： 。

问题6：我们知道表示的曲线斜率，表示曲线的凹凸性。但三阶和更高阶导数给出的几何意义很少或根本没有。那么对于这些特殊的导数，分数阶导数没有简单的几何意义对我们来说也并不感到惊讶了。

问题7：分数阶微分的下极限是。

【参考文献】

[1] A. K. Grunwald, Uber begrenzte Derivationen und deren Anwendung, Z. Angew.Math. Phys., 12 (1867), 441–480.

[2]O. Heaviside, Electromagnetic Theory, vol. 2, Dover, 1950, Chap. 7, 8.

[3]J. L. Lavoie, T. J. Osler and R. Trembley, Fractional derivatives and special functions, SIAM Rev., 18 (1976), 240–268.

[4]A. V. Letnikov, Theory of differentiation of fractional order, Mat. Sb., 3 (1868),1–68.

[5]J. Liouville, Memoire sur quelques questions de geacute;ometrie et de meacute;canique, et su run noveau gentre pour resoudre ces questions, J. Eacute;cole Polytech., 13(1832), 1–69.

[6]J. Liouville, Memoire: sur le calcul des differentielles aacute; indices quelconques, J.Eacute;cole Polytech., 13(1832), 71–162.

[7

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