不等式：一段线性分析之旅

——测度和积分

1.1测度

许多我们想要建立的不等式最初考虑是有限序列和有限求和。之后我们将有限序列和有限求和扩展到无穷序列和无穷求和，以及函数和积分，而正是这些更一般的结果被广泛应用。

虽然在简单的设置中这些应用很有效，例如考虑一个连续函数的黎曼积分——它的扩展由有限的步骤来完成。为此，我们需要在适当的极限定理成立的情况下，对测度论更一般的设置进行工作。对于要求的内容，我们给出了一个简单的介绍；该理论的细节将不被要求，尽管我们希望读者可以掌握最终得到的结果。如果你不熟悉测度理论，迅速阅读本章，然后在你需要的时候运用它。

假设是一个集合。用来描述的一些子集的长度。事实证明，我们通常无法用合理的方式对所有的子集做到这一点，所以必须有限制的关注可测的子集。有一些形式好的子集，包含了所有我们在实践中遇到的集合。可测集合具有丰富的结构来供我们进行可数有限操作。

的一个代数 是集合的子集的所成的集合类，满足

（i）如果（）是中的一个序列，那么

（ii）如果，那么。

从而

（iii）如果（）是中的一个序列，那么。

这些中的集合被称为可测集合；如果很明确，那么它们被简单地称为可测集合。

我们将采用两个方式来说明运用的情况。如果（）是上的序列，随后我们定义上极限和下极限：

，

那么，和也在中。接下去，你应该验证有当且仅当，而且当且仅当存在一个对使得所有。

如果是自然数集N或整数集Z，或任何可数集，然后我们把定义成所有子集的集合类。或者，将是的一个合适的子集。例如，如果（表示实数集），我们考虑博雷尔集组成的集合类，该集合类是包含所有开集的最小代数。这个集合类包含了所有我们在实践中遇到的集合，比如闭集合型集（一列开集的交集），型集（一列闭集的并集）等等。博雷尔集的代数有一个重要的缺点：我们不能给出一个简单直接的定义来描述博雷尔集的形式 —— 这导致不能用直接的方法来证明一个集合是否为博雷尔集，这一点让测度论具有其独特的魅力。

类似地，如果是一个度量空间，那么，上的博雷尔集是一组最小的包含所有开集的代数。 (复杂情况会产生，除非是离散的情况下（即有一个可数稠密真子集），所以我们一般应当对离散度量空间作出限制。)

现在对于中每一个集合，我们给出一个范围（非负的，可以取到无限或者零）。是在的代数中用来衡量上到映射的，满足

（i），并且

（ii）如（）是上不相交的集合中的一个序列，那么:是可数相加的。

我们要考虑的最重要的例子如下。存在一个上博雷尔集合的测度（博雷尔测度）满足如果是长方体，那么表示边的长度；因此赋予熟悉的几何对象以自然测度。第二个例子：如果是可数集，我们可以定义，或者，让他们表示有限或无限的点，在中：表示计数度量。这两个例子是截然不同的：用于计数度量的，一个点集是原子；每个集合都有积极的测度，同时它的任何一个子集都具有同样的测度或者是零测度。定义在上博雷尔测度是原子自由；它的任何子集都不是一个原子。这相当于要求如果是一个非零测度上的集合，同时，那么有一个可测子集满足。

可数相加意味着以下重要连续性特性：

（iii）如果是上的一个递增序列，那么

[这里或者其他地方，“递增”的概念不那么严格：如果，那么。如果，那么，我们就说是“严格递增”。对于“递减”也是一样的。]

（ⅳ）如果是上一个递减序列而且满足，那么

在这里，有限是必要的条件；例如，如果，那么对于所有的都有，但是如果，那么。

我们也有如下的结果：

（v）如果，那么；

（iv）如果是上的任意一个序列，那么

当时有许多情况下，所以只需要只取有限值，也是一样的道理。在后一种情况下，我们可以把考虑为一个概率，通常用P来表示。然后我们借用概率的语言把中的元素称之为“事件”。

一个测度空间是三元组，表示一个集合，表示（可测集合）的子集的一代数，是定义在上的一个测度。为了避免繁琐复杂，我们将着重关注测度空间：我们将假设存在一列可测集合，它的并集是。例如，如果是博雷尔测度那么我们可以令。

这是一个非常有用的结果，我们经常会要用到。

命题1.1.1（波莱尔 - 坎泰利第一引理）如果是一列可测集合，而且，那么.

证明对于每个，当时，且.

如果，那么被称为空集。我们会经常考虑除了空集以外具有的性质：如果是这样，我们就说这个性质几乎处处成立，或在概率的领域称为几乎肯定。

1.2可测函数

下面我们考虑在一个度量空间定义一个函数。对于实函数，如果集合在内对每一个实数都成立，那么称是可测，或者是简单可测。如果复函数的的实部和虚部存在，那么该复函数可测。（当P是一个概率测度，同时我们考虑概率，可测函数称为随机变量。）在任何情况下，这相当于对于任意的开集都有在内。因此，如果是一个度量空间的博雷尔-代数，那么连续函数是可测量的。如果和是可测的，那么和也是可测的；可测函数形成代数空间。如果是可测的，那么也是可测的。因此，在现实情况下，是一个格：如果和是可测的，那么和也是可测的。

我们还可以考虑一个紧凑的Hausdorff空间的博雷尔代数：但是往往研究贝尔代数更为方便：这是包含封闭型集最小的代数，并且其中所有的连续实函数是可测的。当是可度量的时候，上面所说博雷尔代数和贝尔代数就变成相同的。

一个可测函数，如果满足，那么这个可测量函数是一个空函数。空函数的集合在上是一个理想集合。在实践中，我们定义几乎处处相等的函数：也就是说，我们考虑商空间中的元素。虽然这些元素是等价的，我们将默认对具有代表性的元素进行研究，并把的元素看作是函数。

怎样判断可测函数是否收敛呢？我们经常考虑的一个基本的问题是“一列可测函数在什么时候是几乎处处收敛的？”博雷尔 - 坎泰利第一引理为我们提供了如下有用的标准。

命题1.2.1假设是一非负可测函数的递减序列。那么几乎处处成立，当且仅当对于每个和每个都有当时满足。

证明猜想：几乎处处收敛，且。然后是有限测度的集合上的一递减序列，如果，那么不收敛于0。因此，由上述条件（ⅳ）可知，当时，。

对于收敛，我们使用的博雷尔 - 坎泰利第一引理，假设条件是满足的。对于每一个，存在满足。于是因为，所以。但是如果，那么。

推论1.2.1 可测函数序列几乎处处收敛，当且仅当

当时，

对于每一个和每一个都成立。

对于函数，如果满足极限存在，则，否则，那么是可测的。证明上述判断正确是一个简单而又非常有价值的工作。

几乎处处收敛不能作为一个拓扑的一般特征。然而，存在一个与收敛密切相关的表格。如果对于每个和每个，当时，，我们就说是局部可测的（或者是概率）；同样地，如果对于每个和每个，当时，，我们就说是柯西局部可测。在想法上，前面的命题和博雷尔 - 坎泰利第一引理的另一个用法树立了如下的联系。

命题1.2.2 （i）如果几乎处处收敛于，那么局部收敛。

（ii）如果是局部柯西可测,那么存在一个序列几乎处处收敛于一个可测函数，而且局部可测。

证明（i）这段紧接推论1.2.1。

（ii）对于每个都存在满足当时，。我们可以假设该序列是严格递增的。令，那么。因此，由博雷尔-坎泰利第一引理可以得到，但是，。如果，那么，所以是一个柯西序列，因此是收敛的。

如果可以的话，令；否则，令.那么，几乎处处收敛于，且局部可测。因为，它遵循局部可测。

实际上，在存在一个完整的度量，它的柯西序列是局部柯西可测的序列，它的收敛序列是局部收敛的序列。这个结论具有完整性，在非常多关于函数空间的结论中具有至关重要的地位。

如果是可测集合，无论是定义设还是以其他的方式规定：，，它的指标函数都是可测的。单叶函数是可测函数，它只取有限个值，并消失在一个有限可测的集合之外：可以写成，其中是有限可测集合（我们可以假设它们是不相交）。

外文文献出处：D.J.H.Garling．Inequalities: A Journey into Linear Analysis 影印本 北京：世界图书出版公司北京公司 2012.1

外文文献原文附后

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1.1 Measure

Many of the inequalities that we shall establish originally concern finite sequences and finite sums. We then extend them to infinite sequences and infinite sums, and to functions and integrals, and it is these more general results that are useful in applications.

Although the applications can be useful in simple settings - concerning the Riemann integral of a continuous function, for example - the extensions are usually made by a limiting process. For this reason we need to work in the more general setting of measure theory, where appropriate limit theorems hold. We give a brief account of what we need to know; the details of the theory will not be needed, although it is hoped that the results that we eventually establish will encourage the reader to master them. If you are not familiar with measure theory, read through this chapter quickly, and then come back to it when you find that the need arises.

Suppose that is a set. A measure ascribes a size to some of the subsets of . It turns out that we usually cannot do this in a sensible way for all the subsets of , and have to restrict attention to the measurable subsets of . There are the lsquo;goodrsquo; subsets of , and include all the sets that we meet in practice. The collection of measurable sets has a rich enough structure that we can carry out countable limiting operations.

A is a collection of subsets of a set which satisfies

(i) if () is a sequence in then , and

(ii) if then the complement .

Thus

(iii) if () is a sequence inthen .

The sets in are called -measurable sets; if it is clear what is, they are simply called the measurable sets.

Here are two constructions that we shall need, which illustrate how the conditions are used. If () is a sequence in then we define the upper limit and the lower limit :

and .

Then and are in . You should verify that if and only if for infinitely many indices , and that if and only if there exists an index such that for all .

If is the set N of natural numbers, or the set Z of integers, or indeed any countable set, then we take to be the collection of all subsets of . Otherwise, will be a proper subset of . For example, if (where R denotes the set of real numbers), we consider the collection of Borel sets; the sets in the smallest that contains all the open sets. This includes all the sets that we meet in practice, such as the closed sets, the sets (countable intersections of open sets), the sets (countable unions of closed sets), and so on. The Borel has the fundamental disadvantage that we cannot give a straightforward definition of what a Borel set looks like – this has the consequence that proofs must be indirect, and this gives measure theory its own particular flavor.

Similarly, if is a metric space, then the Borel sets of are sets in the smallest that contains all the open sets. [Complications can arise unless is separable (that is, there is a countable set which is dense in ), and so we shall generally restrict attention to separable metric spaces.]

We now give a size (non-negative, but possibly infinite or zero) to each of the sets in . A measure on a is a mapping from into satisfying

(i) , and

(ii) if () is a sequence of disjoint sets in then : is countably additive.

The most important example that we shall consider is the following. There exists a measure (Borel measure) on the Borel sets of with the property that if is the rectangular parallelopiped then is the product of the length of its sides; thus gives familiar geometric objects their natural measure. As a second example, if is a countable set, we can define , or , to be the number of points, finite or infinite, in ; is counting measure. These two examples are radically different: for counting measure, the one-point sets are atoms; each has positive measure, and any subset of it has either the same measure or zero measure. Borel measure on is atom-free; no subset is an atom. This is equivalent to requiring that if is a set of non-zero measure , and if then there is a measurable subset of with .

Countable additivity implies the following important continuity properties:

(iii) if is an increasing sequence in then

[Here and elsewhere, we use lsquo;increasingrsquo; in the weak sense: if then . If for , then we say that is lsquo;strictly increasingrsquo;. Similarly for lsquo;decreasingrsquo;.]

(iv) if is a decreasing sequence in and then

The finiteness condition here is necessary and important; for example, if, then for all , but , so that .

We also have the following consequences:

(v) if then ;

(iv) if is any sequence in then .

There are many circumstances where , so that only takes finite values, and many where . In this latter case, we can consider as a probability, and frequently denote it by P. We then use probabilistic language, and call the elements of lsquo;eventsrsquo;.

A measure space is then a triple , where is a set, is a of subset of (the measurable sets) and is a measure defined on . In order to avoid tedious complications, we shall restrict our attention to measure spaces: we shall suppose that there is an increasing sequence of measurable sets of finite measure whose union is . For example, if is Borel measure then we can take .

Here is a useful result, which we shall need from time to time.

Proposition 1.1.1 (The first Borel-Cantelli lemma) If is a sequence of measurable sets and then .

Proof For each , , and as .

If , is called a null set. We shall frequently consider properties w

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